2025屆安徽省省級示范高中高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆安徽省省級示范高中高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，，點P滿足，設(shè)點P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為B.當A，B，P三點不共線時，面積的最大值為24C.當A，B，P三點不共線時，射線是的角平分線D.在C上存在點M，使得2．中，，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，若，，，則（）A. B.C. D.3．直線的傾斜角是A. B.C. D.4．設(shè)P是拋物線上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點.若，則的最小值為（）A. B.C.4 D.55．已知、，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線的兩個焦點，，是雙曲線上一點，且，，則雙曲線的標準方程是（）A. B.C. D.7．在等差數(shù)列中，為其前n項和，，則（）A.55 B.65C.15 D.608．已知三棱錐O-ABC，點M，N分別為AB，OC的中點，且，用表示，則等于（）A. B.C. D.9．積分（）A. B.C. D.10．已知點，，直線：與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.11．如圖，正四棱柱是由四個棱長為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個點，則集合的元素個數(shù)（）A.1 B.2C.4 D.812．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為橢圓與雙曲線的交點，且，則的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方形ABCD的邊長為8，取正方形ABCD各邊的中點E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL.依此方法一直繼續(xù)下去.①從正方形ABCD開始，第7個正方形的邊長為___；②如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么作到第n個正方形，這n個正方形的面積之和為___.14．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點．若是該橢圓上的一個動點，則的最大值為_____15．已知拋物線與直線交于D，E兩點，若（點O為坐標原點）的面積為16，則拋物線的方程為______；過焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，則______16．橢圓與雙曲線有公共焦點，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，，則的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，橢圓右焦點也為，離心率為（1）求拋物線方程和橢圓方程；（2）若不經(jīng)過的直線與拋物線交于、兩點，且（為坐標原點），直線與橢圓交于、兩點，求面積的最大值18．（12分）已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點，點M在拋物線C的準線上，MF⊥AB，S△AFM＝λS△BFM（1）當λ＝3時，求|AB|的值；（2）當λ∈[]時，求|+|的最大值19．（12分）已知函數(shù)，且a0（1）當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：20．（12分）某學校高一、高二、高三的三個年級學生人數(shù)如下表，按年級分層抽樣的方法評選優(yōu)秀學生50人，其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一學生中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機抽樣的方法從高二女生中抽取8人，經(jīng)檢測她們的得分如圖所示，把這8人的得分看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5分的概率.21．（12分）如圖在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，為的中點，是棱上的一點，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知命題：，在下面①②中任選一個作為：，使為真命題，求出實數(shù)a取值范圍.①關(guān)于x的方程有兩個不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個解答計分.）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意可求出C的方程為，即可根據(jù)題意判斷各選項的真假【詳解】對A，由可得，化簡得，即，A錯誤；對B，當A，B，P三點不共線時，點到直線的最大距離為，所以面積的最大值為，B錯誤；對C，當A，B，P三點不共線時，因為，所以射線是的角平分線，C正確；對D，設(shè)，由可得點的軌跡方程為，而圓與圓的圓心距為，兩圓內(nèi)含，所以這樣的點不存在，D錯誤故選：C2、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.3、D【解析】由方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因為直線的斜率為所以其傾斜角為故選：D4、C【解析】作出圖形，過點作拋物線準線的垂線，由拋物線的定義得，從而得出，再由、、三點共線時，取最小值得解.【詳解】，所以在拋物線的內(nèi)部，過點作拋物線準線的垂線，由拋物線的定義得，，當且僅當、、三點共線時，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.5、B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，利用直線的斜率公式求出直線的斜率，進而可得出直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由斜率公式可得，，因此，.故選：B.6、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標準方程為.故選：D7、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】解析：因為為等差數(shù)列，所以，即，.故選:B8、D【解析】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算可得結(jié)果.【詳解】.故選：D9、B【解析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設(shè)，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B10、A【解析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或，故選：A.11、A【解析】用空間直角坐標系看正四棱柱，根據(jù)向量數(shù)量積進行計算即可.【詳解】建立空間直角坐標系，為原點，正四棱柱的三個邊的方向分別為軸、軸和看軸，如右圖示，，設(shè)，則AB所以集合，元素個數(shù)為1.故選：A.12、B【解析】不妨設(shè)點為第一象限的交點，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義得到，進而結(jié)合余弦定理得到，即，令然后結(jié)合三角函數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)點為第一象限的交點，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當時，有最大值，最大值為，故選：B.【點睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.1②.【解析】根據(jù)題意，正方形邊長成等比數(shù)列，正方形的面積等于邊長的平方可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的前n項和的公式即可求解.【詳解】設(shè)第n個正方形的邊長為，第n個正方形的面積為，則第n個正方形的對角線長為，所以第n+1個正方形的邊長為，，∴數(shù)列{}是首項為，公比為的等比數(shù)列，，∴，即第7個正方形的邊長為1；∴數(shù)列{}是首項為，公比為的等比數(shù)列，故答案為：1；.14、4【解析】設(shè)，寫出、的坐標，利用向量數(shù)量積的坐標表示有，根據(jù)橢圓的有界性即可求的最大值.【詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當時，.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用向量數(shù)量積的坐標表示及橢圓的有界性求最值.15、①.②.1【解析】利用的面積列方程，化簡求得的值，從而求得拋物線方程.將的斜率分成存在和不存在兩種情況進行分類討論，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得.【詳解】依題意可知，，所以，解得.所以拋物線方程為.焦點，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，，即，此時.當直線的斜率存在且不為時，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，，設(shè)，則，結(jié)合拋物線的定義可知.故答案為：；16、【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線得定義求得，再根據(jù)，可得，從而有，求出的范圍，根據(jù)，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：設(shè)，則有，所以，即，又因為，所以，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因為，當且僅當，即時，取等號，因為，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）拋物線方程為，橢圓方程為（2）【解析】（1）由，可得，繼而可得，故，再利用離心率，以及，即得解；（2）設(shè)直線方程為，與拋物線聯(lián)立，，結(jié)合韋達定理可得，再與橢圓聯(lián)立，，韋達定理代入，結(jié)合均值不等式即得解【小問1詳解】由題意，解得：，故，，，，，所以拋物線方程為，橢圓方程為【小問2詳解】設(shè)直線方程為，由消去得，，設(shè)，，則因，所以或（舍去），所以直線方程為由，消去得，設(shè)，，則設(shè)直線與軸交點為，則所以令，則，所以，當且僅當時，即時，取最大值18、（1）（2）【解析】（1）由面積之比可得向量之比，設(shè)直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，與向量的關(guān)系可得的A，B的橫坐標的關(guān)系聯(lián)立求出直線AB的斜率，再由拋物線的性質(zhì)可得焦點弦的值；（2）由（1）的解法類似的求出AB的中點N的坐標，可得直線AB的斜率與λ的關(guān)系，再由λ的范圍，求出直線AB的斜率的范圍，由題意設(shè)直線MF的方程，令y＝﹣1求出M的橫坐標，進而求出|MN|的最大值，而|+|＝2||，求出|+|的最大值【小問1詳解】當λ＝3時，即S△AFM＝3S△BFM，由題意可得＝3，因為拋物線C：x2＝4y的焦點為F（1，0），準線方程為y＝﹣1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y＝kx+1，聯(lián)立，整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，顯然，x1+x2＝4k①，x1x2＝﹣4②，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，由＝3，則（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1）可得x1＝﹣3x2③，①③聯(lián)立可得x2＝﹣2k，x1＝6k，代入②中可得﹣12k2＝﹣4，解得k2＝，由拋物線的性質(zhì)可得|AB|＝y(tǒng)1+y2+2＝4×+2＝，所以|AB|的值為；【小問2詳解】由（1）可得AB中點N（2k，2k2+2），由＝λ，則x1＝﹣λx2④，同（1）的算法：①②④聯(lián)立4k2λ＝（1﹣λ）2，因為λ∈[]，所以4k2＝λ+﹣2，令y＝λ+，λ∈[]，則函數(shù)y先減后增，所以λ＝2或時，y最大且為2+，此時4k2最大，且為，所以k2的最大值為：，直線MF的方程為：y＝﹣x+1，令y＝﹣1，可得x＝2k，即M（2k，﹣1），因為|+|＝2||，而|NM|＝|2k2+2+1|＝2k2+3≤2×+3＝，所以|+|的最大值為19、（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減（2）①；②證明見解析【解析】（1）求導，求解可得導函數(shù)恒小于等于0,即得證；（2）①分析函數(shù)的單調(diào)性，由有兩個實數(shù)根可求解；②由（1）得2lnxx?，再利用其放縮可得，由此有，問題得證.【小問1詳解】當a=1時，函數(shù)因為所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減；【小問2詳解】（i）由已知可得方程有兩個實數(shù)根記，則．當時，，函數(shù)k(x)是增函數(shù)；當時，，函數(shù)k(x)是減函數(shù)，所以，故（ii）易知，當x1時，，故．由（1）可知，當0x1時，，所以2lnxx?由，得，所以因為，所以20、（1）400（2）（3）【解析】（1）根據(jù)分層抽樣的方法，列出關(guān)系式計算即可；（2）根據(jù)分層抽樣的方法，求出抽取的女生人數(shù)，進而列舉出從樣本中抽取2人的所有情況，可根據(jù)古典概型的概率公式計算即可；（3）求出樣本平均數(shù)，進而求出與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5的數(shù)，從而利于古典概型的概率公式計算即可.【小問1詳解】設(shè)該?？?cè)藬?shù)為n人，由題意得，所以，.【小問2詳解】設(shè)所抽樣本中有m個女生，因為用分層抽樣的方法在高一學生中抽取一個容量為5的樣本，所以，解得.所以抽取了2名女生，3名男生，分別記作，；，，，則從中任取2人的所有基本事件為：，，，，，，，，，，共10個，其中至少有1名女生的基本事件有，，，，，，，共7個，所以從中任取2人，至少有1名女生的概率為.【小問3詳解】樣本的平均數(shù)為，那么與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5的數(shù)為94，86，92，87，90，93這6個數(shù)，總的個數(shù)為8，所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過5的概率為.21、（1）見解析；（2）.【解析】（1）推導出PQ⊥AD，從而PQ⊥平面ABCD，連接AC，交BQ于N，連接MN，則AQ∥BC，推導出MN∥PA，由此能