河北省衡水中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

河北省衡水中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.4C.3 D.22．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點(diǎn)P滿足，則（）A. B.1C. D.23．已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，并交軸于點(diǎn)．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.4．如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F(xiàn)分別為SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.5．在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心6．經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.7．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）（1）是為雙曲線的充要條件；（2）若，則；（3）若，，則；（4）橢圓上的點(diǎn)距點(diǎn)最近的距離為；A.個(gè) B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)8．在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做“等和數(shù)列”，這個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的公和．已知等和數(shù)列{an}中，，公和為5，則（）A.2 B.﹣2C.3 D.﹣39．已知拋物線，過拋物線的焦點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且為直角三角形，則以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.10．對于公差為1的等差數(shù)列，；公比為2的等比數(shù)列，，則下列說法不正確的是（）A.B.C.數(shù)列為等差數(shù)列D.數(shù)列的前項(xiàng)和為11．若變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)最大值為（）A.1 B.-5C.-2 D.-712．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關(guān)系不確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題的否定是____________________.14．如圖，在長方體ABCD﹣A'B'C'D'中，點(diǎn)P，Q分別是棱BC，CD上的動點(diǎn)，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直線CC'與平面PQC'所成的角為30°，則△PQC'的面積的最小值是__15．已知數(shù)列滿足，，若，則_______16．定義點(diǎn)到曲線的距離為該點(diǎn)與曲線上所有點(diǎn)之間距離的最小值，則點(diǎn)到曲線距離為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓的方程為：.（1）求的值，使圓的周長最小；（2）過作直線，使與滿足（1）中條件的圓相切，求的方程，并求切線段的長.18．（12分）排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和5個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單.（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？19．（12分）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，直線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別交直線于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，若，求的值20．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求取值范圍.21．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，分別是上的點(diǎn)，滿足.（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.22．（10分）2021年7月29日，中國游泳隊(duì)獲得了女子米自由泳接力決賽冠軍并打破世界紀(jì)錄.受奧運(yùn)精神的鼓舞，某游泳俱樂部組織100名游泳愛好者進(jìn)行自由泳1500米測試，并記錄他們的時(shí)間（單位：分鐘），將所得數(shù)據(jù)分成5組：，，，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中m的值；（2）利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)這100位游泳愛好者1500米自由泳測試時(shí)間的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】化簡復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進(jìn)而求的模即可.【詳解】由純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C2、D【解析】設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合點(diǎn)P的唯一性有求參數(shù)a，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖空間直角坐標(biāo)系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點(diǎn)P滿足，所以，則，故，可得，此時(shí)，所以.故選：D3、A【解析】由條件建立a，b，c的關(guān)系，由此可求離心率的值.【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.4、B【解析】利用空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為SA，BC的中點(diǎn)，所以,故選：B5、B【解析】利用三角形面積公式，推出點(diǎn)O到三邊距離相等?！驹斀狻坑淈c(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.故選：B6、B【解析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)所求直線的方程為，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.7、A【解析】利用方程表示雙曲線求出的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系可判斷（1）的正誤；直接判斷命題的正誤，可判斷（2）的正誤；利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷（3）的正誤；利用橢圓的有界性可判斷（4）的正誤.【詳解】對于（1），若曲線為雙曲線，則，即，解得或，因?yàn)榛颍虼?，是為雙曲線的充分不必要條件，（1）錯；對于（2），若，則或，（2）錯；對于（3），，則，（3）對；對于（4），設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則且，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，（4）錯.故選：A.8、C【解析】利用已知即可求得，再利用已知可得：，問題得解【詳解】解：根據(jù)題意，等和數(shù)列{an}中，，公和為5，則，即可得，又由an﹣1+an＝5，則，則3；故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了新概念知識，考查理解能力及轉(zhuǎn)化能力，還考查了數(shù)列的周期性，屬于中檔題9、B【解析】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，求得直線的方程，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線的對稱性可得出，進(jìn)而可得出直線的斜率為，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以，點(diǎn).為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性可得出，則直線的斜率為，即，解得.因此，以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10、B【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判定選項(xiàng)A正確；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，即判定選項(xiàng)B錯誤；利用對數(shù)的運(yùn)算和等差數(shù)列的定義判定選項(xiàng)C正確；利用錯位相減法求和，即判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對于A:由條件可得，，即選項(xiàng)A正確；對于B：由條件可得，，即選項(xiàng)B錯誤；對于C：因?yàn)?，所以，則，即數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，即選項(xiàng)C正確；對于D：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，上面兩式相減可得，所以，即選項(xiàng)D正確.故選：B.11、A【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可【詳解】解：由得作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分平移直線，由圖象可知當(dāng)直線，過點(diǎn)時(shí)取得最大值，由，解得，所以代入目標(biāo)函數(shù)，得，故選：A12、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)槠矫妫姆ㄏ蛄糠謩e為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因?yàn)?，即即不平行，則，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識寫出正確答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，要注意否定結(jié)論，所以命題否定是：故答案為：14、8【解析】設(shè)三棱錐C﹣C′PQ的高為h，CQ＝x，CP＝y(tǒng)，由體積法求得的關(guān)系，由直線CC’與平面C’PQ成的角為30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的面積的最小值【詳解】解：設(shè)三棱錐C﹣C′PQ的高為h，CQ＝x，CP＝y(tǒng)，由長方體性質(zhì)知兩兩垂直，所以，，，，，所以，由得，所以，∵直線CC’與平面C’PQ成的角為30°，∴h＝2，∴，，∴xy≥8，再由體積可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，得，S△C′PQ＝xy，∴△PQC'的面積的最小值是8故答案為：815、【解析】由遞推式，結(jié)合依次求出、即可.【詳解】由，可得：，又，可得：.故答案為：.16、2【解析】設(shè)出曲線上任意一點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)出，利用基本不等式求出最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故，此時(shí)，設(shè)曲線任意一點(diǎn)，則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)即為最小值.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）直線方程為或，切線段長度為4【解析】（1）先求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由半徑最小則周長最?。唬?）由，則圓的方程為：，直線和圓相切則圓心到直線的距離等于半徑，分直線與軸垂直和直線與軸不垂直兩種情況進(jìn)行討論即可得解.進(jìn)一步，利用圓的幾何性質(zhì)可求解切線的長度.【小問1詳解】，配方得：，當(dāng)時(shí)，圓的半徑有最小值2，此時(shí)圓的周長最小.【小問2詳解】由（1）得，，圓的方程為：.當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，此時(shí)直線與圓相切，符合條件；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)為，由直線與圓相切得：，解得，所以切線方程為，即.綜上，直線方程為或.圓心與點(diǎn)的距離，則切線長度為.18、（1）（2）【解析】(1)用插空法，現(xiàn)排唱歌，利用產(chǎn)生的空排跳舞；（2）先排唱歌再排舞蹈.【小問1詳解】解：先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有7個(gè)空位，從中選5個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有種方法，所以任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有種方法.【小問2詳解】解：先排舞蹈節(jié)目有種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位，恰好供6個(gè)歌唱節(jié)目放入.所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有種方法.19、（1）（2）【解析】（1）先求出拋物線的準(zhǔn)線，作于由拋物線的定義，可得，從而當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小，得出答案.（2）設(shè)，，設(shè)：與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，設(shè)出直線的方程分別與直線的方程聯(lián)立得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到，的表達(dá)式，由條件可得答案.【小問1詳解】的準(zhǔn)線為：，作于，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，所以，解得，所以的方程為【小問2詳解】由題意可知的斜率一定存在，且不為0，設(shè)：（），聯(lián)立消去得，由，即，得，結(jié)合，知記，，則直線的方程為由得易知，所以同理可得由，可得，即，化簡得，結(jié)合，解得20、（1）或；（2）.【解析】（1）解不含參數(shù)的一元二次不等式即可求出結(jié)果；（2）二次函數(shù)的恒成立問題需要對二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行分類討論，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，解