北京市豐臺(tái)區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

北京市豐臺(tái)區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在數(shù)列中，，則等于A. B.C. D.2．已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（）A. B.C. D.3．正方體的棱長為，為側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則△面積的最小值為（）A. B.C. D.4．如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是面對(duì)角線與的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.5．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（）A. B.C. D.6．設(shè)，則的一個(gè)必要不充分條件為（）A. B.C. D.7．已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（）A.2 B.3C.6 D.98．棱長為1的正四面體的表面積是（）A. B.C. D.9．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（）A.與互為對(duì)立事件 B.與互斥C.與相等 D.10．若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.C. D.11．橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則離心率（）A. B.C. D.12．十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學(xué)新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)正數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個(gè)數(shù)應(yīng)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則___________.14．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，，則歐拉線的方程為______15．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝__________.16．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值18．（12分）已知等差數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)與間插入個(gè)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，求及.19．（12分）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍.20．（12分）如圖，已知圓錐SO底面圓的半徑r=1，直徑AB與直徑CD垂直，母線SA與底面所成的角為.（1）求圓錐SO的側(cè)面積；（2）若E為母線SA的中點(diǎn)，求二面角E-CD-B的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）21．（12分）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，（1）證明：平面；（2）求直線平面所成的角的正弦值22．（10分）已知橢圓，離心率為，短半軸長為1（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線，問：在橢圓C上是否存在點(diǎn)T，使得點(diǎn)T到直線l的距離最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大距離；若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析：已知逐一求解詳解：已知逐一求解．故選D點(diǎn)睛：對(duì)于含有的數(shù)列，我們看作擺動(dòng)數(shù)列，往往逐一列舉出來觀察前面有限項(xiàng)的規(guī)律2、A【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得公比，然后由等比數(shù)列的性質(zhì)得結(jié)論【詳解】設(shè)的公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，，或（舍去，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正）所以故選：A3、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)由，得出點(diǎn)的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)所以，得，所以因?yàn)槠矫?，所以故△面積的最小值為故選：B4、D【解析】由空間向量運(yùn)算法則得,利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，分別是面對(duì)角線與的中點(diǎn)，，，，所以故選:D.5、B【解析】根據(jù)“凹函數(shù)”的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可解出【詳解】對(duì)A，，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，在上恒成立，所以B正確；對(duì)C，，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤故選：B6、C【解析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】A選項(xiàng)：，，，所以是的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，，所以是的非充分非必要條件，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，，所以是必要不充分條件，C正確；D選項(xiàng)：，，，所以是的非充分非必要條件，D錯(cuò)誤.故選：C.7、C【解析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用拋物線的定義計(jì)算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.8、D【解析】采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)邊長，結(jié)合正四面體的概念，計(jì)算出正三角形的面積，可得結(jié)果【詳解】如圖由正四面體的概念可知，其四個(gè)面均是全等的等邊三角形，由其棱長為1，所以，所以可知：正四面體的表面積為，故選：D9、D【解析】利用互斥事件和對(duì)立事件的定義分析判斷即可【詳解】因?yàn)閽仈S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對(duì)立，也不相等，，所以ABC錯(cuò)誤，D正確，故選：D10、C【解析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)檎归_式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.11、D【解析】根據(jù)長軸長是短軸長的2倍，得到，利用離心率公式即可求得答案.【詳解】∵，∴，故，故選：D12、C【解析】先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】用表示這個(gè)數(shù)列，依題意，，則，，第四個(gè)數(shù)即.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即得.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，因點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，所以.故答案為：14、【解析】根據(jù)給定信息，利用三角形重心坐標(biāo)公式求出的重心，再結(jié)合對(duì)稱性求出的外心，然后求出歐拉線的方程作答.【詳解】因的頂點(diǎn)，，，則的重心，顯然的外心在線段AC中垂線上，設(shè)，由得：，解得：，即點(diǎn)，直線，化簡整理得：，所以歐拉線的方程為.故答案：15、－.【解析】因?yàn)椋?，所以，即，又，即，所以?shù)列是首項(xiàng)和公差都為的等差數(shù)列，所以，所以考點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)定知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解答中得到，，確定數(shù)列是首項(xiàng)和公差都為的等差數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生靈活變形能力和推理與論證能力，平時(shí)應(yīng)注意方法的積累與總結(jié)，屬于中檔試題16、【解析】利用“當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，"即可得出.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不適合上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.18、（1）；（2），.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以有，因成等比數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】由題意可知：在和之間插入個(gè)，在和之間插入個(gè)，，在和之間插入個(gè)，此時(shí)共插入的個(gè)數(shù)為：，在和之間插入個(gè)，此時(shí)共插入的個(gè)數(shù)為：，因此.19、（1）（2）【解析】（1）由“”是“”的充分條件，可得，從而可得關(guān)于的不等式組，解不等式組可得答案；（2）“”是“”的必要條件，可得，然后分和兩種情況求解即可【小問1詳解】由題意得到A＝[1，5]，由“x∈A”是“x∈B”的充分條件可得A?B，則，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【小問2詳解】由“x∈A”是“x∈B”的必要條件可得B?A，當(dāng)時(shí)，2-a＞1+2a，即a＜時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，即a≥時(shí)，則，解得≤a≤1.綜上a≤1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.20、（1）（2）【解析】（1）先根據(jù)母線與底面的夾角求出圓錐的母線長，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即可（2）利用三角形的中位線性質(zhì)，先求出二面角，然后利用二面角與二面角的互補(bǔ)關(guān)系即可求得【小問1詳解】根據(jù)母線SA與底面所成的角為，且底面圓的半徑可得：則圓錐的側(cè)面積為：【小問2詳解】如圖所示，過點(diǎn)作底面的垂線交于，連接，則為的中位線則有：，，易知，則，又直徑AB與直徑CD垂直，則則有：為二面角可得：又二面角與二面角互為補(bǔ)角，則二面角的余弦值為故二面角大小為21、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由已知條件可得，，則，，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接，可證得平面，從而是與平面所成的角，然后在求解即可【詳解】（1）證明：由，，，，得，所以，由由，，，，得，由，得，由，得，所以，故，又，因此平面（2）解如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接由平面，平面，得平面平面，由，得平面，所以是與平面所成的角由，，得，，所以，故因此，直線與平面所成的角的正弦值是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面垂直的判定和線面角的求法，解題的關(guān)鍵是通過過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接，然后結(jié)合條件可證得是與平面所成的角，從而在三角形中求解即可，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題22、（1）；（2）存在，最大距離為.，理由見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及短軸長求