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深圳市育才中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知兩條平行直線:與:間的距離為3,則()A.25或-5 B.25C.5 D.21或-92.已知正三棱柱中,,點(diǎn)為中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.3.如圖,已知正方體,點(diǎn)P是棱中點(diǎn),設(shè)直線為a,直線為b.對于下列兩個(gè)命題:①過點(diǎn)P有且只有一條直線l與a、b都相交;②過點(diǎn)P有且只有兩條直線l與a、b都成角.以下判斷正確的是()A.①為真命題,②為真命題 B.①為真命題,②為假命題C.①為假命題,②為真命題 D.①為假命題,②為假命題4.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則()A0 B.2C.4 D.65.拋物線上有兩個(gè)點(diǎn),焦點(diǎn),已知,則線段的中點(diǎn)到軸的距離是()A.1 B.C.2 D.6.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,著作中有這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0,0),A(3,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿,則動(dòng)點(diǎn)P軌跡與圓的位置關(guān)系是()A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切7.已知是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列結(jié)論正確的是()A.若,則 B.若,則C若,則 D.若,則8.“且”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件9.“”是“直線與直線垂直”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在雙曲線上,下列結(jié)論不正確的是()A.該雙曲線的離心率為B.該雙曲線的漸近線方程為C.點(diǎn)P到兩漸近線的距離的乘積為D.若PF1⊥PF2,則△PF1F2的面積為3211.“”是“直線與圓相切”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.下列雙曲線中,漸近線方程為的是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式中的系數(shù)是___________.14.已知函數(shù)在R上連續(xù)且可導(dǎo),為偶函數(shù)且,其導(dǎo)函數(shù)滿足,則不等式的解集為___.15.已知直線l的方向向量,平面的法向量,若,則______16.定義在R上的函數(shù)滿足,其中為自然對數(shù)的底數(shù),,則滿足的a的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線,圓.(1)求證:直線l恒過定點(diǎn);(2)若直線l的傾斜角為,求直線l被圓C截得的弦長.18.(12分)如圖,P為圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A坐標(biāo)為,線段AP的垂直平分線交直線BP于點(diǎn)Q(1)求點(diǎn)Q的軌跡E的方程;(2)過點(diǎn)A的直線l交E于C,D兩點(diǎn),若△BCD內(nèi)切圓的半徑為,求直線l的方程.19.(12分)已知橢圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn),且離心率為.(1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且,求的面積.20.(12分)已知橢圓的短軸長是2,且離心率為(1)求橢圓E的方程;(2)已知,若直線與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,是否存在常數(shù),使恒成立,并說明理由21.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2(1)求C的方程;(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q滿足,求直線斜率最大值.22.(10分)已知圓與直線(1)若,直線與圓相交與,求弦長(2)若直線與圓無公共點(diǎn)求的取值范圍
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)平行直線的性質(zhì),結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€:與:平行,所以有,因?yàn)閮蓷l平行直線:與:間距離為3,所以,或,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故選:A2、A【解析】根據(jù)異面直線所成角的定義,取中點(diǎn)為,則為異面直線和所成角或其補(bǔ)角,再解三角形即可求出【詳解】如圖所示:設(shè)中點(diǎn)為,則在三角形中,為中點(diǎn),為中位線,所以有,,所以為異面直線和所成角或其補(bǔ)角,在三角形中,,所以由余弦定理有,故選:A.3、A【解析】①由正方形的性質(zhì),可以延伸正方形,再利用兩條平行線確定一個(gè)平面即可;②一組鄰邊與對角面夾角相等,在平面內(nèi)繞P轉(zhuǎn)動(dòng),可以得到二條直線與a、b的夾角都等于.【詳解】如下圖所示,在側(cè)面正方形和再延伸一個(gè)正方形和,則平面和在同一個(gè)平面內(nèi),所以過點(diǎn)P,有且只有一條直線l,即與a、b相交,故①為真命題;取中點(diǎn)N,連PN,由于a、b為異面直線,a、b的夾角等于與b的夾角.由于平面,平面,,所以平面,所以與與b的夾角都為.又因?yàn)槠矫妫耘c與b的夾角都為,而,所以過點(diǎn)P,在平面內(nèi)存在一條直線,使得與與b的夾角都為,同理可得,過點(diǎn)P,在平面內(nèi)存在一條直線,使得與與的夾角都為;故②為真命題.故選:A4、D【解析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù),再計(jì)算導(dǎo)數(shù)值【詳解】由題意,,所以故選:D5、B【解析】利用拋物線的定義,將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,即可求出線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即得到答案.【詳解】由已知可得拋物線的準(zhǔn)線方程為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和,由拋物線的定義得,即,線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,故線段的中點(diǎn)到軸的距離是.故選:.6、A【解析】首先求得點(diǎn)的軌跡,再利用圓心距與半徑的關(guān)系,即可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】由條件可知,,化簡為:,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心,2為半徑的圓,圓是以為圓心,為半徑的圓,兩圓圓心間的距離,所以兩圓相交.故選:A7、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,逐一核對四個(gè)選項(xiàng)得答案【詳解】解:對于A:若,則或,故A錯(cuò)誤;對于B:若,則或與相交,故B錯(cuò)誤;對于C:若,根據(jù)面面垂直的判定定理可得,故C正確;對于D:若則與平行、相交、或異面,故D錯(cuò)誤;故選:C8、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷,“且”能否推出“”,以及“”能否推出“且”,判斷得到正確答案,【詳解】當(dāng)且時(shí),成立,反過來,當(dāng)時(shí),例:,不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷,重點(diǎn)考查基本判斷方法,屬于基礎(chǔ)題型.9、A【解析】求出兩直線垂直的充要條件后再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由,得,即或所以,反之,則不然所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選:A10、D【解析】根據(jù)雙曲線的離心率、漸近線、點(diǎn)到直線距離公式、三角形的面積等知識來確定正確答案.【詳解】由題意可知,a=3,b=4,c=5,,故離心率e,故A正確;由雙曲線的性質(zhì)可知,雙曲線線的漸近線方程為y=±x,故B正確;設(shè)P(x,y),則P到兩漸近線的距離之積為,故C正確;若PF1⊥PF2,則△PF1F2是直角三角形,由勾股定理得,由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a=6(不妨取P在第一象限),∴2|PF1||PF2|=100﹣2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=32,可得,故D錯(cuò)誤.故選:D11、A【解析】根據(jù)題意,結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求出,即可求解.【詳解】根據(jù)題意,由直線與圓相切,知圓心到直線的距離,解得或,因此“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選:A.12、A【解析】由雙曲線的漸進(jìn)線的公式可行選項(xiàng)A的漸進(jìn)線方程為,故選A.考點(diǎn):本題主要考查雙曲線的漸近線公式.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,可知展開式中含的項(xiàng),以及展開式中含的項(xiàng),再根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】解:由題意可得,展開式中含的項(xiàng)為,而展開式中含的項(xiàng)為,所以的系數(shù)為.故答案為:.14、【解析】由已知條件可得圖象關(guān)于對稱,在上遞增,在上遞減,然后分四種情況討論求解即可【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以的圖象關(guān)于軸對稱,所以的圖象關(guān)于對稱,因?yàn)椋援?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上遞增,在上遞減,由,得,或,或,或,解得,或,或,或,綜上,,所以等式的解集為故答案為:15、【解析】由,可得∥,從而可得,代入坐標(biāo)列方程可求出,從而可求出【詳解】因?yàn)橹本€l的方向向量,平面的法向量,,所以∥,所以存在唯一實(shí)數(shù),使,所以,所以,解得,所以,故答案為:16、【解析】設(shè),求出其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出在上單調(diào)遞減,將問題轉(zhuǎn)化為求解,由的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè),則由,則所以在上單調(diào)遞減.又由,即,即,所以故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】(1)直線方程變形后令的系數(shù)等于0消去參數(shù)即可求得定點(diǎn)坐標(biāo).(2)先求出圓心C到直線l距離,然后用勾股定理即可求得弦長.【小問1詳解】,聯(lián)立得:即直線l過定點(diǎn)(.【小問2詳解】由題意直線l的斜率,即,∴,圓,圓心,半徑,圓心C到直線l的距離,所以直線l被圓C所截得的弦長為.18、(1)(2)【解析】(1)連接,由,利用橢圓的定義求解;(2)設(shè)點(diǎn),,直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理,利用等面積法求解.【小問1詳解】解:連接,由題意知:,,即的軌跡為橢圓,其中,,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;【小問2詳解】設(shè)點(diǎn),,直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,消去整理得,顯然成立,故,,由橢圓定義得的周長為,則的面積,又由,得,從而得,即,整理得,解得,故,故直線的方程為.19、(1)(2)【解析】(1)由題意求出即可求解;(2)由橢圓的定義和三角形面積公式求解即可【小問1詳解】因?yàn)闄E圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn),所以橢圓C的焦點(diǎn),,,又,所以,,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由,,得,,而,所以,所以20、(1);(2)存在,理由見解析.【解析】(1)利用離心率,短軸長求出a,b,即可求得橢圓方程.(2)聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理計(jì)算判定,由M為線段AB中點(diǎn)即可確定存在常數(shù)推理作答.【小問1詳解】因橢圓的短軸長是2,則,而離心率,解得,所以橢圓方程為.【小問2詳解】存在常數(shù),使恒成立,
由消去y并整理得:,設(shè),,則,,又,,,則有,而線段AB的中點(diǎn)為M,于是得,并且有所以存在常數(shù),使恒成立.21、(1);(2)最大值為.【解析】(1)由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解;(2)設(shè),由平面向量的知識可得,進(jìn)而可得,再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】(1)拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,由題意,該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,所以該拋物線的方程為;(2)[方法一]:軌跡方程+基本不等式法設(shè),則,所以,由在拋物線上可得,即,所以直線的斜率,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),因?yàn)椋藭r(shí),當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立;當(dāng)時(shí),;綜上,直線斜率的最大值為.[方法二]:【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為設(shè)直線的方程為,則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),其斜率k取到最值.聯(lián)立得,其判別式,解得,所以直線斜率的最大值為[方法三]:軌跡方程+換元求最值法同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為設(shè)直線的斜率為k,則令,則的對稱軸為,所以.故直線斜率的最大值為[方法四]參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)因,所以于是,所以則直線的斜率為當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號成立,所以直線斜率的最大值為【整體點(diǎn)評】方法一根據(jù)向量關(guān)系,利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程,得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式,然后利用分類討論,結(jié)合基本不等式求得最大值;方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程,然后利用數(shù)形結(jié)合法,利用判別式求得直線OQ的斜
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