湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,若,則實(shí)數(shù)()A. B.C.2 D.2.已知公差不為0的等差數(shù)列中,(m,),則mn的最大值為()A.6 B.12C.36 D.483.已知長方體的底面ABCD是邊長為8的正方形,長方體的高為,則與對(duì)角面夾角的正弦值等于()A. B.C. D.4.若是函數(shù)的極值點(diǎn),則函數(shù)()A.有最小值,無最大值 B.有最大值,無最小值C.有最小值,最大值 D.無最大值,無最小值5.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國古典文學(xué)瑰寶,并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況,隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生,其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位,閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位,閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位,則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A. B.C. D.6.已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上,點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A.6 B.7C. D.57.設(shè)是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在平面內(nèi)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8.?dāng)?shù)列滿足,且,是函數(shù)的極值點(diǎn),則的值是()A.2 B.3C.4 D.59.若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),則m的取值范圍是()A. B.C.或 D.或10.已知向量,,則等于()A. B.C. D.11.設(shè)、是向量,命題“若,則”的逆否命題是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則12.正方體的棱長為,為側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn),且滿足,則△面積的最小值為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,且,則的值是_________.14.若,,都為正實(shí)數(shù),,且,,成等比數(shù)列,則的最小值為______15.已知橢圓,為其右焦點(diǎn),過垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為,則橢圓的方程為________.16.在某項(xiàng)測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布(),若ξ在內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在內(nèi)取值的概率為______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,平面ABCD,E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)求證:(1)共面;(2)求證:18.(12分)已知點(diǎn)F為拋物線:()的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上且在x軸上方,.(1)求拋物線的方程;(2)已知直線與曲線交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A,B與點(diǎn)P不重合),直線PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn),直線PB與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)四邊形CDMN的面積最小時(shí),求直線l的方程.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax-2lnx(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x-2,若存在,使得f(x)≤g(x),求a的取值范圍20.(12分)已知拋物線的準(zhǔn)線方程是,直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)(1)求拋物線的方程;(2)求弦長;(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:21.(12分)經(jīng)觀測,某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車流量(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度(千米/小時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系:(1)在該時(shí)段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)車流量最大?最大車流量為多少?(精確到)(2)為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為千輛/小時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?22.(10分)如圖,在四棱錐中,側(cè)面底面ABCD,側(cè)棱,底面ABCD為直角梯形,其中,,,(1)求證:平面ACF;(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)H,使得CH與平面ACF所成角的正弦值為?若存在,求出線段PH的長度;若不存在,請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因,,又,則,解得,所以實(shí)數(shù).故選:D2、C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,再應(yīng)用基本不等式求mn的最大值,注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)及等差數(shù)列的性質(zhì)知:,又m,,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以mn的最大值為.故選:C3、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長為8的正方形,,∴,,,因?yàn)?且,所以平面,∴,平面的法向量,∴與對(duì)角面所成角的正弦值為故選:A.4、A【解析】對(duì)求導(dǎo),根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)a,再由導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并判斷其最值情況.【詳解】由題設(shè),且,∴,可得.∴且,當(dāng)時(shí),遞減;當(dāng)時(shí),遞增;∴有極小值,無極大值.綜上,有最小值,無最大值.故選:A5、C【解析】根據(jù)題先求出閱讀過西游記人數(shù),進(jìn)而得解.【詳解】由題意得,閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70,則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7.故選C【點(diǎn)睛】本題考查容斥原理,滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取去重法,利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題6、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【詳解】如圖,圓的圓心為,半徑為1,,,當(dāng),,三點(diǎn)共線時(shí),最小,最小值為,而,所以故選:A7、A【解析】計(jì)算出復(fù)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由于,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,在第一象限,故選:A.8、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的極值點(diǎn),再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】由,得,因?yàn)?,是函?shù)的極值點(diǎn),所以,是方程兩個(gè)實(shí)根,所以,因?yàn)閿?shù)列滿足,所以,所以數(shù)列為等差數(shù)列,所以,所以,故選:C9、D【解析】根據(jù)曲線方程的特征,發(fā)現(xiàn)曲線表示在軸上方的圖象,畫出圖形,根據(jù)圖形上直線的三個(gè)特殊位置,當(dāng)已知直線位于直線位置時(shí),把已知直線的解析式代入橢圓方程中,消去得到關(guān)于的一元二次方程,由題意可知根的判別式等于0即可求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值;當(dāng)已知直線位于直線及直線的位置時(shí),分別求出對(duì)應(yīng)的的值,寫出滿足題意得的范圍,綜上,得到所有滿足題意得的取值范圍【詳解】根據(jù)曲線,得到,解得:;,畫出曲線的圖象,為橢圓在軸上邊的一部分,如圖所示:當(dāng)直線在直線的位置時(shí),直線與橢圓相切,故只有一個(gè)交點(diǎn),把直線代入橢圓方程得:,得到,即,化簡得:,解得或(舍去),則時(shí),直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)直線在直線位置時(shí),直線與曲線剛好有兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí),當(dāng)直線在直線位置時(shí),直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí),則當(dāng)時(shí),直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),綜上,滿足題意得的范圍是或故選:D10、C【解析】根據(jù)題意,結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,即可求解.【詳解】由,,得,因此.故選:C.11、C【解析】利用原命題與逆否命題之間的關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】由原命題與逆否命題之間的關(guān)系可知,命題“若,則”的逆否命題是“若,則”.故選:C.12、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)由,得出點(diǎn)的軌跡方程,由幾何性質(zhì)求得,再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:則,,設(shè)所以,得,所以因?yàn)槠矫?,所以故△面積的最小值為故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)空間向量可得,結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】由題意知,,所以,解得.故答案:314、##【解析】利用等比中項(xiàng)及條件可得,進(jìn)而可得,再利用基本不等式即得.【詳解】∵,,都為正實(shí)數(shù),,,成等比數(shù)列,∴,又,∴,即,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即取等號(hào).故答案為:.15、##【解析】將代入橢圓的方程,可得出,可得出關(guān)于的等式,求出的值,進(jìn)而可求得的值,由此可得出橢圓的方程.【詳解】將代入橢圓的方程可得,可得,由已知可得,整理可得,,解得,所以,,因此,橢圓的方程為.故答案為:.16、4##【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解【詳解】因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布(),即正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性,可知ξ在與取值的概率相同,所以ξ在內(nèi)取值的概率為0.4.故答案為:0.4三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】(1)以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),,,求出,,,,0,,,,,從而,由此能證明共面(2)求出,0,,,,,由,能證明【詳解】證明:如圖,以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),,,則0,,0,,2b,,2b,,0,,為AB的中點(diǎn),F(xiàn)為PC的中點(diǎn),0,,b,,b,,,2b,,共面.(2),【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)向量共面的證明,考查兩直線垂直的證明,是基礎(chǔ)題18、(1);(2)或.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義求出p即可作答.(2)聯(lián)立直線l與拋物線的方程,用點(diǎn)A,B坐標(biāo)表示出點(diǎn)C,D,M,N的坐標(biāo),列出四邊形CDMN面積的函數(shù)關(guān)系,借助均值不等式計(jì)算得解.【小問1詳解】拋物線的準(zhǔn)線:,由拋物線定義得,解得,所以拋物線的方程為.【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在上,且,則,即,依題意,,設(shè),,由消去并整理得,則有,,直線PA的斜率是,方程為,令,則,令,則,即點(diǎn)C,點(diǎn)D,同理點(diǎn)M,點(diǎn)N,則,,四邊形的面積有:,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,所以當(dāng)時(shí)四邊形CDMN的面積最小值為4,直線l的方程為或.19、(1)答案見解析;(2).【解析】(1)根據(jù)實(shí)數(shù)a的正負(fù)性,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論求解即可;(2)利用常變量分離法,通過構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】當(dāng)a≤0時(shí),在(0,+∞)上恒成立;當(dāng)a>0時(shí),令得;令得;綜上:a≤0時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;a>0時(shí),f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;【小問2詳解】由題意知ax-2lnx≤x-2在(0,+∞)上有解則ax≤x-2+2lnx,令,xg'(x)+0-g(x)↗極大值↘所以,因此有所以a的取值范圍為:【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:運(yùn)用常變量分離法利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.20、(1);(2);(3)詳見解析.【解析】(1)根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程求解;(2)由直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用弦長公式求解;(3)結(jié)合韋達(dá)定理,利用數(shù)量積運(yùn)算證明;【小問1詳解】解:因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程是,所以,解得,所以拋物線的方程是;【小問2詳解】由,得,設(shè),則,所以;【小問3詳解】因?yàn)?,,,所以,?21、(1)當(dāng)(千米/小時(shí))時(shí),車流量最大,最大值約為千輛/小時(shí);(2)汽車的平均速度應(yīng)控制在這個(gè)范圍內(nèi)(單位:千米/小時(shí)).【解析】(1)利用基本不等式可求得的最大值,及其對(duì)應(yīng)的值,即可得出結(jié)論;(2)解不等式即可得解.【小問1詳解】解:,(千輛/小時(shí)),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng)(千米/小時(shí))時(shí),車流量最大,最大值約為千輛/小時(shí).【小問2詳解】解:據(jù)題意有,即,即,解得,所以汽車的平均速度應(yīng)控制在這個(gè)范圍內(nèi)(單位:千米/小時(shí)).2

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