（挑戰(zhàn)壓軸）專項2.10二次函數(shù)中角度有關(guān)問題（三大類）（原卷版）

（挑戰(zhàn)壓軸）專項2.10二次函數(shù)中角度有關(guān)問題（三大類）【方法技巧】類型一：將等角問題轉(zhuǎn)化成等腰三角形或平行線問題。如例1：拋物線y=x+3x+4,與坐標軸交于點A、B、C，CP⊥y軸交拋物線與點P，點M為A、C間拋物線上一點（包括端點），求滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標。分析：顯然符合條件的點M有兩個，OP上方一個，OP下方一個、當(dāng)M在OP上方時，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,則M與C點重合。當(dāng)M在OP下方時，∠MPO=∠POA，這兩角組成的三角形是等腰三角形。設(shè)PM與x軸交于點D，坐標為D(n,0)，由兩點間距離公式可表示出OD、PD長，根據(jù)OD=PD列方程即可求出D點坐標，再求出PD直線表達式與拋物線表達式聯(lián)立，進而求出M點坐標。類型二：將等角問題轉(zhuǎn)化成等角所在三角形相似或等角對應(yīng)的三角函數(shù)（通常是正切值）相等問題。這類問題有兩種情況：一種是所求角的一邊與坐標軸平行（重合）；例2如圖，拋物線y=+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OB=OC=6.（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動點，當(dāng)∠FAB=∠EDB時，求點F的坐標；解析：通過已知條件易得拋物線表達式為及各定點坐標，第二問中的F有兩種情況：x軸上方一個，x軸下方一個。在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=，則tan∠FAB=，過F作x軸垂線，構(gòu)造∠FAB所在直角三角形，接著通過設(shè)F點坐標，表示FH和AH長，根據(jù)tan∠FAB=列方程，或利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式，從而求出點F坐標，由于表示FH時加了絕對值，已經(jīng)考慮到了上下兩種情況，這樣兩個F就都求出來了。還可以從圖形的角度發(fā)現(xiàn)一對反8的相似三角形，推出AF與BD是垂直關(guān)系，進而求出AF的直線表達式與拋物線表達式聯(lián)立求出交點F的坐標，這也是不錯的方法。另一種是所求角的邊不與坐標軸平行。例3:如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=x+bx+c經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）x軸上有一點E（，0），連接CE，點D為直線AC上方拋物線上一動點，過點D作DF⊥AC，垂足為點F，連接CD，是否存在點D，使得△CDF中的某個角恰好等于∠AEC？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由。分析：通過已知條件易得拋物線表達式為y=xx+2及各定點坐標。第二問要分類討論，當(dāng)∠CDF=∠AEC或是∠DCF=∠AEC時，先來討論∠CDF=∠AEC的情況。在Rt⊿COE中，可知tan∠AEC=，當(dāng)∠CDF=∠AEC時，tan∠CDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角頂點F處構(gòu)建一線三垂直模型，由CF:DF=4：3，設(shè)CF=3m,DF=4m，由△CFH∽△CAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=24m，可得DI=2+2m,從而寫出D點坐標（11m,2+2m）,將其代入拋物線表達式求得D點坐標?；蚴窃贏處作垂直構(gòu)建一線三垂直模型，利用相似寫出K點坐標，在求出CK直線表達式與拋物線表達式聯(lián)立從而求出交點D的坐標。當(dāng)∠DCF=∠AEC時,可用同樣方法求出D點坐標。類型三：二倍角或半角的存在性問題.二倍角的構(gòu)造方法如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造，在BC邊上找一點D，使得BD=AD，則.這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)（一般用正切）計算就可以了。半角的構(gòu)造方法如圖，已知，構(gòu)造半角可以用下面兩種方法：方法一：和前面二倍角的構(gòu)造相對應(yīng)，利用外角定理，如圖，延長CB至D，使得BD=BA，則，若AC、BC的長度已知，則容易求出tan∠D的值，從而進行相關(guān)計算。方法二：如圖，直接做的角平分線BE，若AC、BC的長度已知，則容易求出tan∠EBC的值。1．（2022秋?紅安縣期中）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達式；（2）D為拋物線上第一象限內(nèi)一點，求△DCB面積的最大值；（3）點P是拋物線上的一動點，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時，求點P的坐標．2．（2020秋?周村區(qū)期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝x+2交于C、D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為（3，）．點P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P的橫坐標為m，當(dāng)m為何值時，以O(shè)、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．（3）若存在點P，使∠PCF＝45°，請直接寫出相應(yīng)的點P的坐標．3．（2022秋?洪山區(qū)期中）如圖1所示，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求△ABC的面積；（2）如圖2所示，點P是拋物線上第一象限的一點，且∠PAB＝∠ACO，求點P的坐標；4．（2021?武進區(qū)校級自主招生）如圖1，直線y＝﹣x+n交x軸于點A，交y軸于點C（0，4），拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A，交y軸于點B（0，﹣2）．點P為拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D，連接PB，設(shè)點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長；（3）如圖2，將△BDP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′＝∠OAC，當(dāng)點P的對應(yīng)點P′落在坐標軸上時，請直接寫出點P的坐標．5（2020?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸相交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸相交于點C（0，3），作直線BC．