第4章一次函數(shù)（壓軸題專練）（原卷版）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記巧練（北師大版）

第4章一次函數(shù)（壓軸題專練）題型1：一次函數(shù)與全等三角形1．如圖，直線分別交軸、軸于，兩點(diǎn)，直線分別交軸、軸于，，交于點(diǎn)．(1)直接寫出坐標(biāo)：______，：______，：______；(2)如圖，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，在的條件下，過點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，連接、、，求證：．2．如圖，直線分別交軸、軸于、兩點(diǎn)，直線分別交軸、軸于、兩點(diǎn)．(1)直接寫出、、的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，直線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；(3)如圖2，直線交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，求的值．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交兩坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，直線y＝－2x＋2分別交兩坐標(biāo)軸于C、D兩點(diǎn)

（1）求A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)（2）如圖1，點(diǎn)E為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，OF⊥OE交直線AB于點(diǎn)F，求證：OE＝OF（3）如圖2，直線y＝kx＋k交x軸于點(diǎn)G，分別交直線AB、CD于N、M兩點(diǎn)．若GM＝GN，求k的值4．如圖1，直線y=x+6分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C、P分別是線段OB，AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D，E分別在直線CP和線段AB上，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，線段CD的長(zhǎng)為n（n>0），且m+n=6，以DO，DE為鄰邊作ODEF．(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C左側(cè)，且n=2時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．(3)當(dāng)點(diǎn)F落在△AOB的邊OB或AB上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．5．等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，(1)如圖1，求證：∠BCO＝∠CAO(2)如圖2，若OA＝4，OC＝2，M是AB與y軸交點(diǎn)，求的面積．(3)如圖3，點(diǎn)C（0，2），Q、A兩點(diǎn)均在x軸上，且S△CQA＝6a．分別以AC、CQ為腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，連接MN交y軸于P點(diǎn)，問：是否發(fā)生改變？若不變，求出的值；若變化，求的取值范圍．題型2：一次函數(shù)與等腰三角形、勾股定理6．如圖1，一次函數(shù)y＝x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．(1)則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為______；(2)如圖2，點(diǎn)P為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑畫弧，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接PE，已知PB＝PE，求證：∠BPE＝2∠OAB；(3)在（2）的條件下，如圖3，連接PA，以PA為腰作等腰三角形PAQ，其中PA＝PQ，∠APQ＝2∠OAB．連接OQ．①則圖中（不添加其他輔助線）與∠EPA相等的角有______；（都寫出來(lái)）②試求線段OQ長(zhǎng)的最小值．7．如圖1，已知函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱．

(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線于點(diǎn)P，交直線于點(diǎn)Q．①若的面積為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②連接，如圖2，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．8．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，．為y軸上一點(diǎn)，P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)①連接，若的面積為面積的，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______；②若射線平分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)恰好落在x軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．（直接寫出所有答案）9．如圖，A，B是直線y=x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，直線y=2x+b過點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D是折線A—B—C上一動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，在x軸上找一點(diǎn)E，使ED+EB的和最小，用直尺和圓規(guī)畫出點(diǎn)E的位置（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明），并求E點(diǎn)的坐標(biāo)．②是否存在點(diǎn)D，使△ACD為直角三角形，若存在，直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由題型3：存在性問題10．如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點(diǎn)，分別過A，C兩點(diǎn)作x軸，y軸的垂線相交于B點(diǎn)，且OA，OC（OA＞OC）的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．11．已知：直線分別與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A、B．

(1)如圖1，若直線過，求．(2)如圖2，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，將線段沿軸正半軸移動(dòng)到，直線交直線于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求的值．(3)如圖3，在（1）的條件下，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．已知直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線、交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．(1)如圖，過點(diǎn)作軸的垂線，若點(diǎn)為垂線上的一個(gè)點(diǎn)，是軸上一動(dòng)點(diǎn)，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)若在過作軸的垂線上，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求此時(shí)的坐標(biāo)．(3)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的直線剛好過點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線，點(diǎn)、分別為直線；上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)、，使得是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型4：動(dòng)點(diǎn)問題13．如圖1，已知直線與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是縱坐標(biāo)的倍.(1)求的值.(2)為線段上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn),若，求點(diǎn)坐標(biāo).(3)如圖2，為點(diǎn)右側(cè)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)，為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的位置是否發(fā)生變化?若不變，請(qǐng)求出它的坐標(biāo);如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.14．如圖①所示，直線L:yax10a與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn).（1）當(dāng)OAOB時(shí)，試確定直線L的解析式；（2）在（1）的條件下，如圖②所示，設(shè)Q為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，作直線OQ，過A、B兩點(diǎn)分別作AMOQ于M，BNOQ于N，若AM8,BN6，求MN的長(zhǎng).（3）當(dāng)a取不同的值時(shí)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以O(shè)B、AB為邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角OBF和等腰直角ABE，連接EF交y軸于P點(diǎn)，如圖③，問：當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想PB的長(zhǎng)是否為定值，若是，請(qǐng)求出其值，若不是，說(shuō)明理由.題型5：最值問題15．如圖，已知直線交、軸于、兩點(diǎn)，以為邊作等邊、、三點(diǎn)逆時(shí)針排列，、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，連接、，則的最小值為（

）A． B． C． D．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，且E是y軸正半軸上的一點(diǎn)，．(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（用含m的式子表示）(2)如備用圖1，已知，連接，若，則：①求m的值；②如備用圖2，若P，Q分別是線段，射線上的一點(diǎn)，求的最小值．17．如圖，直線與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)為，將B點(diǎn)向右平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到點(diǎn)D，直線交直線于點(diǎn)E．

(1)求直線的表達(dá)式；(2)我們定義：如果一個(gè)三角形中有一個(gè)內(nèi)角為，則稱這個(gè)三角形為“天府三角形”①點(diǎn)F是直線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，若為“天府三角形”，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②在①的條件下，當(dāng)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)大于時(shí)，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)Q為線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．題型6：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用18．某學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買若干臺(tái)電腦，現(xiàn)從兩家商場(chǎng)了解到同一種型號(hào)的電腦報(bào)價(jià)均為6000元，并且多買都有一定的優(yōu)惠.各商場(chǎng)的優(yōu)惠條件如下表所示：商場(chǎng)優(yōu)惠條件甲商場(chǎng)第一臺(tái)按原價(jià)收費(fèi)，其余的每臺(tái)優(yōu)惠25%乙商場(chǎng)每臺(tái)優(yōu)惠20%(1)設(shè)學(xué)校購(gòu)買臺(tái)電腦，選擇甲商場(chǎng)時(shí)，所需費(fèi)用為元，選擇乙商場(chǎng)時(shí)，所需費(fèi)用為元，請(qǐng)分別求出，與之間的關(guān)系式.(2)什么情況下，兩家商場(chǎng)的收費(fèi)相同？什么情況下，到甲商場(chǎng)購(gòu)買更優(yōu)惠？什么情況下，到乙商場(chǎng)購(gòu)買更優(yōu)惠？(3)現(xiàn)在因?yàn)榧毙?，?jì)劃從甲乙兩商場(chǎng)一共買入10臺(tái)電腦，已知甲商場(chǎng)的運(yùn)費(fèi)為每臺(tái)50元，乙商場(chǎng)的運(yùn)費(fèi)為每臺(tái)60元，設(shè)總運(yùn)費(fèi)為元，從甲商場(chǎng)購(gòu)買臺(tái)電腦，在甲商場(chǎng)的庫(kù)存只有4臺(tái)的情況下，怎樣購(gòu)買，總運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少？19．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上：學(xué)校科技小組進(jìn)行機(jī)器人行走性能試驗(yàn)，在試驗(yàn)場(chǎng)地一條筆直的賽道上有A，B，C三個(gè)站點(diǎn)，A，B兩站點(diǎn)之間的距離是90米（圖1）．甲、乙兩個(gè)機(jī)器人分別從A，B兩站點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向終點(diǎn)C行走，乙機(jī)器人始終以同一速度勻速行走．圖2是兩機(jī)器人距離C站點(diǎn)的距離y（米）出發(fā)時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)圖像，其中為折線段．請(qǐng)結(jié)合圖像回答下列問題：

(1)乙機(jī)器人行走的速度是___________米/分鐘；(2)在時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，6分鐘后，甲機(jī)器人又恢復(fù)為原來(lái)出發(fā)時(shí)的速度．①圖2中m的值為___________．②請(qǐng)求出在時(shí)，甲、乙兩機(jī)器人之間的距離為60米時(shí)時(shí)間t的值．題型7：一次函數(shù)新定義題20．在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)，．若，a為常數(shù)，且，則稱點(diǎn)B為點(diǎn)A的“a級(jí)上升點(diǎn)”．如點(diǎn)為點(diǎn)的“級(jí)上升點(diǎn)”．(1)點(diǎn)C為點(diǎn)的“1級(jí)上升點(diǎn)”，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________；(2)若點(diǎn)的“2級(jí)上升點(diǎn)”為點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q恰好在y關(guān)于x的一次函數(shù)的圖象上，求t的值；(3)若直線上恰有一點(diǎn)的“級(jí)上升點(diǎn)”在y關(guān)于x的函數(shù)的圖象上，求n的取值范圍．21．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)我們將稱為點(diǎn)M與點(diǎn)N的“直角距離”，記作．例如：點(diǎn)與點(diǎn)的“直角距離”(1)已知點(diǎn)，在這三個(gè)點(diǎn)中，與原點(diǎn)O的“直角距離“等于4的點(diǎn)是(2)若直線上恰好有兩個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O的“直角距離”等于4.直接寫出b的取值范圍；(3)已知點(diǎn)，若線段上有且只有一點(diǎn)C，使得直接寫出m的取值范圍．

22．問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小斐根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是小斐的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是______；(2)下