【課件】極坐標(biāo)系與參數(shù)方程

選修4－4

極坐標(biāo)系與參數(shù)方程河南省夏邑縣高級中學(xué)

姜玉杰目錄教材分析考綱要求解決高考中常見四類問題平面直角坐標(biāo)系中圖象的變換1、極坐標(biāo)系和參數(shù)方程是“平面解析幾何”和“圓錐曲線”的延續(xù)與拓展，是解析幾何與函數(shù)、三角函數(shù)、向量等內(nèi)容的綜合應(yīng)用。2、這部分內(nèi)容作為高考的選考內(nèi)容，分值為10分，難度不大，但在培養(yǎng)綜合應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力，拓寬解題思路，靈活解題上作用很大，特別是參數(shù)方程中體現(xiàn)的參數(shù)思想，常常滲透到高考綜合題的解題過程之中.教材分析3、學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容應(yīng)該以課本知識為主，不要刻意加大難度.極坐標(biāo)應(yīng)重點(diǎn)放在極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.參數(shù)方程的重點(diǎn)是普通方程與參數(shù)方程的互化，尤其是參數(shù)方程化為普通方程；理解某些參數(shù)的幾何意義。4、參數(shù)思想在本單元體現(xiàn)簡化運(yùn)算，減少未知量的個(gè)數(shù)，在軌跡問題、最值、定值問題的解決中起到重要的作用.注意這部分內(nèi)容和三角函數(shù)及平面解析幾何的交匯.必須加強(qiáng)參數(shù)法的應(yīng)用意識，體會參數(shù)法的特點(diǎn)，進(jìn)一步體驗(yàn)參數(shù)法解決實(shí)際問題的高效性.教材分析考綱要求1.理解參數(shù)方程的概念，了解某些常用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義或物理意義，掌握參數(shù)方程與普通方程的互化方法.會根據(jù)所給出的參數(shù)，依據(jù)條件建立參數(shù)方程.2.理解極坐標(biāo)的概念.會正確進(jìn)行點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.會正確將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，會根據(jù)所給條件建立直線、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程.問題一、將參數(shù)方程化為普通方程問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式問題三、參數(shù)方程形式下的有關(guān)距離問題問題四、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用問題一：參數(shù)方程化為普通方程探究提高思維啟迪解析問題一：參數(shù)方程化為普通方程

1.參數(shù)方程化普通方程，關(guān)鍵是消參．

2.參數(shù)方程化為普通方程的四種常用方法:(1)代入法(2)加減法

(3)整體消元法

(4)三角恒等式法思維啟迪探究提高解析D問題一：參數(shù)方程化為普通方程思維啟迪溫馨提醒解析問題一：參數(shù)方程化為普通方程參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的另一種表示形式．參數(shù)方程化為普通方程關(guān)鍵在于消參，消參時(shí)要注意參變量的范圍．問題一：參數(shù)方程化為普通方程問題一：參數(shù)方程化為普通方程D問題一：參數(shù)方程化為普通方程(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,可借助于熟悉的普通方程的曲線來研究參數(shù)方程的曲線的類型、形狀、性質(zhì)等.(2)將曲線的普通方程化為參數(shù)方程,可用參變量作為中介來表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo),從而給研究與曲線有關(guān)的最大值、最小值以及取值范圍等問題帶來方便.【歸納總結(jié)】(1)代入法:利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù).(2)加減法：將參數(shù)的系數(shù)化成相等或相反，進(jìn)行加或減運(yùn)算，消去參數(shù).(3)整體消元法:根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,從整體上消去參數(shù).(4)三角函數(shù)法:利用三角恒等式消去參數(shù).1.曲線的參數(shù)方程與普通方程互化的作用2.參數(shù)方程化為普通方程的四種常用方法:參數(shù)方程化為普通方程關(guān)鍵在于消參，消參時(shí)要注意參變量的范圍(一)直線.1、標(biāo)準(zhǔn)式過定點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為α(α≠)的直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式注：參數(shù)的幾何意義：t表示直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)M(x,y)為終點(diǎn)的有向線段

的數(shù)量，又稱為點(diǎn)M0與點(diǎn)M間的有向距離.當(dāng)點(diǎn)M在M0上方時(shí)，t＞0；當(dāng)點(diǎn)M在M0下方時(shí)，t＜0；當(dāng)點(diǎn)M與M0重合時(shí)，t=0.∣t∣表示參數(shù)t對應(yīng)的動點(diǎn)與直線上的定點(diǎn)M0之間的的距離.

t只有在標(biāo)準(zhǔn)式中才有上述幾何意義.問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式題一：參數(shù)方程化為普通方程利用參數(shù)t的幾何意義可求直線與曲線的交點(diǎn)的距離問題，可簡化運(yùn)算量．根據(jù)t的幾何意義，有如下常用結(jié)論:(1)若

為直線上任意兩點(diǎn):

對應(yīng)t的值分別為

,則

(2)若

為

的中點(diǎn),則有

.(3)若

的中點(diǎn)為M,則問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式題一：參數(shù)方程化為普通方程直線的參數(shù)方程可以寫成這樣的形式:

2、一般式

表示過定點(diǎn)，斜率為的直線.（1）當(dāng)

時(shí),t的幾何意義就是有向線段的數(shù)量.（2）當(dāng)時(shí)，t不具有上述幾何意義.

問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式題一：參數(shù)方程化為普通方程

則距離之和（弦長）及距離之積為：問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式題一：參數(shù)方程化為普通方程非標(biāo)準(zhǔn)形式下也可以直接求距離：返回（二）橢圓普通方程參數(shù)方程

（三）圓普通方程參數(shù)方程（四）拋物線普通方程參數(shù)方程問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式【典例5】下列參數(shù)方程中,哪些是直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式?若是,求出直線經(jīng)過的起點(diǎn)坐標(biāo)和傾斜角,若不是參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式(其中,t為參數(shù)).問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式題一：參數(shù)方程化為普通方程【解析】是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,其中,起點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),傾斜角問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式題一：參數(shù)方程化為普通方程問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式題一：參數(shù)方程化為普通方程(2)不是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,得到直線的標(biāo)準(zhǔn)形式【典例6】已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程是.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程.(2)求直線l被曲線C截得的弦長.問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式題一：參數(shù)方程化為普通方程失誤案例問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式【典例6】已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程是(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程.(2)求直線l被曲線C截得的弦長.正確解答過程如下:【解析】(1)曲線C的極坐標(biāo)方程化為,由

得

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+(y-1)2=5.參數(shù)方程為提醒:出錯的根本原因是忽視了直線的參數(shù)方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式,導(dǎo)致計(jì)算弦長錯誤.問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(2)【方法一】因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程是所以直線l的普通方程是又曲線C表示圓心為(2,1),半徑為的圓,圓心(2,1)到直線l的距離為所以直線l被圓C截得的弦長為

問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式題一：參數(shù)方程化為普通方程問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式【方法二】將化為代入(x-2)2+(y-1)2=5得,設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為所以直線l被曲線C截得的弦長為【或者】將代入(x-2)2+(y-1)2=5得,設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則又因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程可化為問題二、常見曲線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式所以直線l被曲線C截得的弦長為|AB|=|2t1-2t2|=

問題三、參數(shù)方程形式下的有關(guān)距離問題．

【解析】問題三、參數(shù)方程形式下的有關(guān)距離問題．

【解析】問題三、參數(shù)方程形式下的有關(guān)距離問題

【解題反思】將曲線的普通方程化為參數(shù)方程,可用參變量作為中介來表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo),從而給研究與曲線有關(guān)的最大值、最小值以及取值范圍等問題帶來方便.問題三、參數(shù)方程形式下的有關(guān)距離問題問題四、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【解析】問題四、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用歸納：問題四、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用步驟：①化直線為參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，化曲線為直角坐標(biāo)方程。②將直線與曲線聯(lián)立。③設(shè)t1、t2為A、B兩點(diǎn)的參數(shù)，借助韋達(dá)定理。④代入目標(biāo)。【典例9】【解析】問題四、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【解后反思】一般地，涉及橢圓上的點(diǎn)的最值問題、定值問題、軌跡問題等，當(dāng)直接處理不好下手時(shí)，可考慮利用橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行處理，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(acosα,bsinα),將其轉(zhuǎn)化為三角問題進(jìn)行求解.問題四、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用（1）點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為由題意可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為則AD中點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為所以點(diǎn)M的軌跡E的參數(shù)方程為消去α可得E的普通方程為問題四、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用（2）橢圓C的普通方程為化為極坐標(biāo)方程為由OA⊥OB，不妨設(shè)問題四、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用問題四、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【解后反思】

本題主要考查參教方程與普通方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的關(guān)系及互化，彰顯了參數(shù)法和用極坐標(biāo)解決有關(guān)問題的優(yōu)越性，體現(xiàn)了高考在知識交匯處命題的基本思想.問題四、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用平面直角坐標(biāo)系中圖象的變換伸縮變換：設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(x′,y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換．【思路】將x,y表示出來,代入到原方程即可得到新曲線的方程.【典例1】求曲線x2+y2=1經(jīng)過

變換后得到的新曲線的方程.平面直角坐標(biāo)系中圖象的變換【典例1】求曲線x2+y2=1經(jīng)過

變換后得到的新曲線的方程.【解析】由

變換后,得代入到圓x2+y2=1的方程,可得即曲線

經(jīng)過所求新曲線的方程為平面直角坐標(biāo)系中圖象的變換【典例1】求曲線x2+y2=1經(jīng)過

變換后得到的新曲線的方程.【解析】由

變換后,得代入到圓x2+y2=1的方程,可得即曲線

經(jīng)過所求新曲線的方程為【典例2】若曲線C經(jīng)過變換后得到圓x2+y2=1,求曲線C的方程.【解析】將代入到方程x′2+y′2=1中,得

即為曲線C的方程.【典例3】若圓x2+y2=1經(jīng)過變換φ后得到曲線求變換φ的坐標(biāo)變換公式.【解析】設(shè)φ:代入到C中得與