專題2.4等腰三角形（舉一反三）（浙教版）（原卷版）

專題2.4等腰三角形【八大題型】【浙教版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用等腰三角形的性質(zhì)求角度】 1【題型2利用等腰三角形的性質(zhì)求線段長度】 2【題型3等腰三角形中的多結(jié)論問題】 3【題型4利用等腰三角形的判定確定等腰三角形的個(gè)數(shù)】 4【題型5等腰三角形的證明】 5【題型6等腰三角形中的新定義問題】 6【題型7等腰三角形中的規(guī)律問題】 7【題型8等腰三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題】 9【知識點(diǎn)1等腰三角形】（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.【題型1利用等腰三角形的性質(zhì)求角度】【例1】（2022?南關(guān)區(qū)校級開學(xué)）已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為60°，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于（）A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°【變式11】（2022秋?南昌期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，則∠MBC的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【變式12】（2022春?柯橋區(qū)期末）在△ABC中，已知D為直線BC上一點(diǎn)，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，則β與α之間不可能存在的關(guān)系式是（）A．β＝90°-32α B．β＝180°-32α C．β=32α-90°【變式13】（2022春?撫州期末）已知∠ABC＝30°，點(diǎn)P是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABP沿AP折疊，B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)△ABP是等腰三角形時(shí)，∠ABD的度數(shù)為．【題型2利用等腰三角形的性質(zhì)求線段長度】【例2】（2022春?源城區(qū)期末）已知等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長分為9cm和15cm兩部分，則這個(gè)等腰三角形的腰長為（）A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm【變式21】（2022秋?蚌埠期末）已知等腰三角形的周長是20，其中一邊長為6，則其它兩邊的長度分別是（）A．6和8 B．7和7 C．6和8或7和7 D．3和11【變式22】（2022春?溫江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于E，交AC于F，連接BF，已知∠A＝48°，AB+BC＝15cm，求△BCF的周長和∠BFE度數(shù)．【變式23】（2022秋?倉山區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E在CA延長線上，EP⊥BC于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)F，若AF＝2，EC＝7，求BF的長度．【題型3等腰三角形中的多結(jié)論問題】【例3】（2022秋?定陶區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E，以下四個(gè)結(jié)論：①∠CDE＝∠BAD；②當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，DE⊥AC；③當(dāng)△ADE為等腰三角形時(shí)，∠BAD＝20°；④當(dāng)∠BAD＝30°時(shí)，BD＝CE．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式31】（2022秋?密山市期末）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＝CF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①【變式32】（2022秋?覃塘區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別在BA、BC的延長線上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分線相交于點(diǎn)D．對于以下結(jié)論：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB與∠ADC互余．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式33】（2022秋?北安市校級期末）已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB＝AO+AP．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④【題型4利用等腰三角形的判定確定等腰三角形的個(gè)數(shù)】【例4】（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，△ABC中，直線l是邊AB的垂直平分線，若直線l上存在點(diǎn)P，使得△PAC，△PAB均為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)共有（）A．1 B．3 C．5 D．7【變式41】（2022秋?鐘樓區(qū)期中）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D、Q均為格點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中存在個(gè)位置使得△BPQ是腰長為5的等腰三角形．【變式42】（2022秋?克東縣期末）如圖，直線a，b相交形成的夾角中，銳角為52°，交點(diǎn)為O，點(diǎn)A在直線a上，直線b上存在點(diǎn)B，使以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，這樣的點(diǎn)B有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式43】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A，B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是個(gè)．【題型5等腰三角形的證明】【例5】（2022秋?鎮(zhèn)賚縣期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一點(diǎn)，BE＝CD，EF∥AD交AB于F點(diǎn)，交CA的延長線于P，CH∥AB交AD的延長線于點(diǎn)H．①求證：△APF是等腰三角形；②猜想AB與PC的大小有什么關(guān)系？證明你的猜想．【變式51】（2022秋?鄂州期末）如圖，E在△ABC的AC邊的延長線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，BD＝CE，求證：△ABC是等腰三角形．【變式52】（2022春?乳山市期末）如圖，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于點(diǎn)P，且分別平分∠ABC，∠ACB．（1）求∠BPC的度數(shù)；（2）連接EF，求證：△EFP是等腰三角形．【變式53】（2022秋?海滄區(qū)期末）定義：一個(gè)三角形，若過一個(gè)頂點(diǎn)的線段將這個(gè)三角形分為兩個(gè)三角形，其中一個(gè)是直角三角形，另一個(gè)是等腰三角形，則稱這個(gè)三角形是等直三角形，這條線段叫做這個(gè)三角形的等直分割線段．例如：如圖1，在△ABC中，∵AD⊥BC于D，且BD＝AD，∴△ACD是直角三角形，△ABD是等腰三角形，∴△ABC是等直三角形，AD是△ABC的一條等直分割線段．（1）如圖2，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，請說明AD是△ABC的一條等直分割線段；（2）若△ABC是一個(gè)等直三角形，恰好有兩條等直分割線，∠B和∠C均小于45°，求證：△ABC是等腰三角形．【題型6等腰三角形中的新定義問題】【例6】（2022春?高新區(qū)期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角度數(shù)是另一內(nèi)角度數(shù)12，我們稱這樣的三角形為“半角三角形”．若等腰△ABC為“半角三角形”，則△ABC的頂角度數(shù)為【變式61】（2022秋?亳州期末）定義：過△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)作一條直線m，若直線m能將△ABC恰好分成兩個(gè)等腰三角形，則稱△ABC為“奇妙三角形”．如圖，下列標(biāo)有度數(shù)的四個(gè)三角形中，不是“奇妙三角形”的是（）A． B． C． D．【變式62】（2022秋?蘇州期末）定義：等腰三角形的一個(gè)底角與其頂角的度數(shù)的比值k（k＞1）稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A＝36°，則它的優(yōu)美比k為（）A．32 B．2 C．52 D【變式63】（2022秋?海安市校級月考）定義：如果一個(gè)三角形能被過頂點(diǎn)的一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形，則稱這個(gè)三角形為特異三角形，如圖，△ABC中，∠A＝36°，∠B為鈍角，則使得△ABC是特異三角形所有可能的∠B的度數(shù)為．【題型7等腰三角形中的規(guī)律問題】【例7】（2022秋?咸豐縣期末）等腰三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)A（﹣6，0），B在原點(diǎn)，CA＝CB＝5，把等腰三角形ABC沿x軸正半軸作無滑動(dòng)順時(shí)針翻轉(zhuǎn)，第一次翻轉(zhuǎn)到位置①，第二次翻轉(zhuǎn)到位置②，…，依此規(guī)律，第23次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是．【變式71】（2022秋?克東縣期末）在如圖①所示的鋼架∠MAN中，需要焊上等長的鋼條來加固鋼架．若自左至右擺放，只能擺放7根，且AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P7P8．為了進(jìn)一步加固該鋼架，自點(diǎn)P8開始自右向左再焊上等長的鋼條，如圖②，且P8P9＝P9P10＝…＝P13P14＝AP14，則∠A的度數(shù)是（）A．不存在的 B．10° C．12° D．15°【變式72】（2022?長春模擬）如圖1，是我們平時(shí)使用的等臂圓規(guī)，即CA＝CB．若n個(gè)相同規(guī)格的等臂圓規(guī)的兩腳依次擺放在同一條直線上如圖2所示，其張角度數(shù)變化如下：∠A1C1A2＝160°，∠A2C2A3＝80°，∠A3C3A4＝40°，∠A4C4A5＝20°，…．，根據(jù)上述規(guī)律請你寫出∠An+1AnCn＝°．（用含n的代數(shù)式表示）【變式73】（2022秋?定西期末）如圖，已知∠AOB＝α，在射線OA、OB上分別取點(diǎn)A1、B1，使OA1＝OB1，連接A1B1，在A1B1、B1B上分別取點(diǎn)A2、B2，使B1B2＝B1A2，連接A2B2，…，按此規(guī)律下去，記∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，則θn＝(2n-1)?180°+【題型8等腰三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題】【例8】（2022秋?涪城區(qū)校級期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝12cm，現(xiàn)有M，N兩點(diǎn)分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿△ABC的邊按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，M，N兩點(diǎn)重合？兩點(diǎn)重合在什么位置？（2）當(dāng)點(diǎn)M，N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，請說明理由．【變式81】（2022春?花都區(qū)期末）“長度”和“角度”是幾何學(xué)研究的核心問題．相交線與平行線的學(xué)習(xí)，讓我們對“角度轉(zhuǎn)化”有了深刻的體會．某數(shù)學(xué)興趣小組受此啟發(fā)，試圖溝通“角度”與“長度”間的關(guān)系．在研究過程中他們發(fā)現(xiàn)了一條關(guān)于三角形的重要結(jié)論﹣﹣“等角對等邊”，即：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等．如右圖，在△EBD中，若∠B＝∠D，則ED＝EB．以此為基礎(chǔ)，該興趣小組邀請你加入研究，繼續(xù)解決如下新問題：在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，0），已知（a+3）2+b-3=0，點(diǎn)C（1）如圖1，若∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D，已知點(diǎn)D（﹣2，2），BC上有一點(diǎn)E（1，2）．則①DE與x軸的位置關(guān)系為；②求BE的長度；（2）如圖2，AH、BH分別平分∠CAB、∠CBA，過H點(diǎn)作AB的平行線，分別交AC、BC于點(diǎn)F、G．若F（m，n），G（m+4，n），求四邊形ABGF的周長；（3）當(dāng)點(diǎn)C為x軸上方的一動(dòng)點(diǎn)（不在y軸上）時(shí)，連接CA、CB．若∠CAB鄰補(bǔ)角的角平分線和∠CBA的角平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作AB的平行線，分別交直線AC、直線BC于點(diǎn)M、N．隨著點(diǎn)C移動(dòng)，圖形狀及點(diǎn)P、M、N的位置也跟著變化，但線段MN、AM和BN之間卻總是存在著確定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．【變式82】（2022秋?定西期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．