直角三角形（分層作業(yè)）（解析版）

11.2.2直角三角形夯實基礎(chǔ)篇一、單選題：1．在RtABC中，∠C=90°，∠B=44°，則∠A=（

）A．36° B．46° C．56° D．66°【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝44°，∴∠A＝90°－∠B＝90°﹣44°＝46°．故選：B．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，熟知直角三角形的兩銳角互余是解答此題的關(guān)鍵．2．在中，BC是斜邊，∠B＝35°，則∠C＝（

）A．45° B．55° C．65° D．75°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵中，BC是斜邊，∴，∵∠B＝35°，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形兩銳角互余，是解題的關(guān)鍵．3．在中，若，則是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．斜三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合得出即可判斷．【詳解】解：在中，，，，即，，即是直角三角形，故選B．【點睛】本題考查三角形形狀的判定，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理及直角三角形角內(nèi)角特征是解決問題的關(guān)鍵．4．有下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④．能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的判定，對各個條件進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：A、∠A+∠B＝∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本選項正確；B、∠A:∠B:∠C＝1:2:3，則∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本選項正確；C、∵∠A+∠B＝90°，∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本選項正確；D、設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，故3x＝90°，△ABC是直角三角形，故本選項正確．故選：D．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的判定，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．5．如圖，把一副三角板疊放在一起．則∠1的大小為（

）A．105° B．115° C．120° D．125°【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)三角板的性質(zhì)得出∠A＝45°，∠E＝30°，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖∵圖中是一副直角三角板，∴∠A＝45°，∠E＝30°，∵∴∴∵∴．故選：A．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、對頂角相等，互余的定義，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．6．如圖，直線l1∥l2，直線交于點A，交于點B，過點A的直線，交于點C．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC=∠1=56°，再由，可得∠ACB=90°-∠ABC=34°，然后根據(jù)對頂角相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵l1∥l2，∠1=56°，∴∠ABC=∠1=56°，∵，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=90°-∠ABC=34°，∴∠2=∠ACB=34°．故選：A【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，直角三角形兩銳角互余，對頂角相等，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．7．如圖，BD是△ABC的角平分線交BC于點E，若，，則∠CAE的度數(shù)為（

）A．12.5° B．17.5° C．22.5° D．27.5°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝90°，∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，即可得出∠CAE．【詳解】解：∵BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝=17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，∵∠C=50°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，∴∠CAE=∠BAC-∠BAF=95°-72.5°=22.5°故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義和垂直的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用以上性質(zhì)，進(jìn)行推理計算．二、填空題：8．在中，，比大則______．【答案】35°【解析】【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，然后解方程組即可．【詳解】解：，，比大，，得，，．故答案為．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并列出關(guān)于、的兩個方程是解題的關(guān)鍵．9．如圖，線段AF⊥AE，垂足為點A，線段GD分別交AF、AE于點C，B，連接GF，ED，則∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度數(shù)為__________.【答案】270°##270度【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及對頂角的性質(zhì)可求得∠GCF+∠DBE=90°，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，進(jìn)而可求解∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度數(shù)．【詳解】解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∵∠GCF=∠ACB，∠DBE=∠ABC，∴∠GCF+∠DBE=90°，∵∠G+∠F+∠GCF=∠D+∠B+∠DBE=180°，∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED=270°，故答案為：270°．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，點D在△ABC邊BC的延長線上，DE⊥AB于E，交AC于F，∠B=50°，∠CFD=60°，則∠ACB=__．【答案】100°【解析】【分析】根據(jù)對頂角的定義、直角三角形的性質(zhì)可以求得∠A=30°．然后由△ABC的內(nèi)角和定理可以求得∠ACB=100°．【詳解】解：如圖，∵DE⊥AB，∠CFD=60°，∴∠AEF=90°，∠AFE=60°，∴∠A=90°﹣∠AFE=30°，∴∠ACB=180°﹣∠B﹣∠A=100°故答案為100°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和直角三角形的性質(zhì)．由垂直得到直角、三角形內(nèi)角和是180度是隱含在題中的已知條件．11．如圖，是的高，是角平分線．若，，則______°．【答案】50【解析】【分析】在中，先利用三角形的內(nèi)角和求出，再利用角平分線的性質(zhì)求出，最后利用三角形的內(nèi)角和即可求出．【詳解】解：是的高，．．．是的角平分線，．，．在中，．故填50．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知識點，靈活應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．12．將一副三角板如圖放置，若，則________度．【答案】75【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)及三角板的特征進(jìn)行做題．【詳解】因為，∠B=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°；因為兩角重疊，則∠ACE=90°+45°-120°=15°，90°-15°=75°．故的度數(shù)是75度．故答案為：75．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板的知識，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題：13．如圖，已知在中，，AE是BC邊上的高，AD是的角平分線，求的度數(shù)．【答案】10°【解析】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAE的度數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴，∵AE是BC邊上的高，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．14．如圖，直線，與，分別相交于點A，，且，交直線于點．(1)若∠1=58°，求的度數(shù)；(2)若，，，求直線與的距離．【答案】(1)32°(2)【解析】【分析】（1）先求出∠ABC，再利用平行線的性質(zhì)求解即可；（2）利用等面積法即可求解．(1)∵，∴∠BAC=90°，∵∠1=58°，∴∠ABC=90°-58°=32°,∵,∴∠2=∠ABC=32°．(2)如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D所以線段AD的長度等于a與b之間的距離，因為AB⊥AC所以AB·AC=BC·AD，所以AD=，所以a與b的距離為．【點睛】本題考查了垂直的定義、直角三角形兩個銳角互余，平行線的性質(zhì)、三角形的面積公式等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)．15．如圖，中，、是角平分線，它們相交于點O，是高，，求及的度數(shù)．【答案】∠DAC=

40°，∠BOA=

115°．【解析】【分析】由直角三角形兩銳角互余知∠DAC=40度，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠CAB+∠ABC=130°，AF、BE是角平分線，則∠BAO+∠ABO=

(∠CAB+∠ABC)=65°，從而得出答案．【詳解】解：∵AD是高，∠C=50°∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°-50°=40°，∵∠C=50°，∴∠CAB+∠ABC=130°，∵AF、BE是角平分線，∴∠BAO+∠ABO=

(∠CAB+∠ABC)=×（180°-50°）=×130°=65°，∴∠BOA=180°-65°=115°．【點睛】本題主要考查了高的概念、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做題的關(guān)鍵是角平分線性質(zhì)的運(yùn)用．能力提升篇一、單選題：1．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，則∠DAE＝（

）A．5° B．4° C．8° D．6°【答案】A【解析】【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出∠C，利用直角三角形兩個銳角互余求出∠DAC，利用角平分線的定義求出∠EAC，∠EAC減去∠DAC即可求出∠DAE．【詳解】解：△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，AD是BC邊上的高，，，AE是∠BAC的平分線，∠BAC＝50°，，．故選A．【點睛】此題主要考查三角形內(nèi)的角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線、高及三角形的內(nèi)角和定理的性質(zhì)．2．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD與CE所在直線交于點H，則∠BHC的度數(shù)是（）A．45° B．45°或135° C．45°或125° D．135°【答案】B【解析】【分析】①△ABC是銳角三角形時，先根據(jù)高線的定義求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式進(jìn)行計算即可得解；②△ABC是鈍角三角形時，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BHC=∠A，從而得解．【詳解】①如圖1，△ABC是銳角三角形時，∵BD、CE是△ABC的高線，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，在△ABD中，∵∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；②如圖2，△ABC是鈍角三角形時，∵BD、CE是△ABC的高線，∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∵∠ACE=∠HCD（對頂角相等），∴∠BHC=∠A=45°．綜上所述，∠BHC的度數(shù)是135°或45°．故選B.【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高線，難點在于要分△ABC是銳角三角形與鈍角三角形兩種情況討論，作出圖形更形象直觀．3．如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結(jié)論：①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠CGE．其中正確的結(jié)論是（

）A．只有①③ B．只有②④C．只有①③④ D．①②③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線、角平分線、垂直的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理依次判斷即可得出答案．【詳解】解：①∵EG//BC，∴∠CEG＝∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分線，∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本選項正確；②無法證明CA平分∠BCG，故本選項錯誤；③∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠GCD，故本選項正確；④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故本選項正確．故正確的是①③④故選：C．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知直角三角形的兩銳角互余是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題：4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，將其折疊，E是點A落在邊BC上的點，折痕為CD，則∠EDB的度數(shù)為_____．【答案】6°【解析】【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，在△BDE中，利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式進(jìn)行計算即可得解．【詳解】∵∠ACB＝90°，∠A＝48°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣48°＝42°，∵△CDE是△CDA翻折得到，∴∠CED＝∠A＝48°，在△BDE中，∠CED＝∠B+∠EDB，即48°＝42°+∠EDB，∴∠EDB＝6°．故答案為：6°．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.5．如圖1，△ABC中，有一塊直角三角板PMN放置在△ABC上（P點在△ABC內(nèi)），使三角板PMN的兩條直角邊PM、PN恰好分別經(jīng)過點B和點C.若∠A＝52°，則∠1＋∠2＝__________；【答案】38°【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易求∠ABC＋∠ACB的度數(shù)．已知∠P＝90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易求∠PBC＋∠PCB的度數(shù)，進(jìn)而得到∠1＋∠2的度數(shù)．【詳解】∵∠A＝52°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°?52°＝128°，∵∠P＝90°，∴∠PBC＋∠PCB＝90°，∴∠ABP＋∠ACP＝128°?90°＝38°，即∠1＋∠2＝38°．故答案為：38°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及直角三角形的性質(zhì)等知識，注意運(yùn)用整體法計算，解決問題的關(guān)鍵是求出∠ABC＋∠ACB，∠PBC＋∠PCB的度數(shù)．6．在△ABC中，AB＝AC，將△ABC折疊，使A，B兩點重合，折痕所在直線與AC邊所在直線的夾角為50°，則∠A的度數(shù)為_____．【答案】40°或140°【解析】【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，如圖1：由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，所以∠A+∠AFE＝90°，從而可求得∠A＝40°，如圖2；由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，∠D+∠DAE＝90°，故此∠DAE＝40°，即得∠BAC＝140°．【詳解】解：如圖1：由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，∴∠A+∠AFE＝90°．∵∠AFE＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，如圖2，由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，∴∠D+∠DAE＝90°．∵折痕所在直線與AC邊所在直線的夾角為50°，∴∠EDA＝50°，∴∠DAE＝90°﹣50°＝40°，∴∠BAC＝140°，故答案為：40°或140°．【點睛】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．7．如圖，C為∠AOB的邊OA上一點，過點C作CD∥OB交∠AOB的平分線OE于點F，作CH⊥OB交BO的延長線于點H，若∠EFD＝α，現(xiàn)有以下結(jié)論：①∠COF＝α；②∠AOH＝180°﹣2α；③CH⊥CD；④∠OCH＝2α﹣90°．其中正確的是__（填序號）．【答案】①②③④【解析】【分析】分別根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，直角三角形兩銳角互余進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵CD∥OB，∠EFD＝α，∴∠EOB＝∠EFD＝α，∵OE平分∠AOB，∴∠COF＝∠EOB＝α，故①正確；∠AOB＝2α，∵∠AOB+∠AOH＝180°，∴∠AOH＝180°﹣2α，故②正確；∵CD∥OB，CH⊥OB，∴CH⊥CD，故③正確；∴∠HCO+∠HOC＝90°，∠AOB+∠HOC＝180°，∴∠OCH＝2α﹣90°，故④正確．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，直角三角形兩銳角互余等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．三、解答題：8．如圖，在中，，于點D，AE平分∠BAC交BC于點E．(1)若，求∠DAE的度數(shù)?(2)若，交AC于點F，請補(bǔ)全圖形，并在第（1）問的條件下，求∠FEC的度數(shù)．【答案】(1)20°；(2)圖見解析，20°【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠B=60°，再利用角平分線的定