專題08 相似三角形重要模型-一線三等角模型（原卷版）

專題08相似三角形重要模型-一線三等角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一對(duì)角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對(duì)角也相等，從而得到兩個(gè)三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED.2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．例2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．已知．(1)證明：．(2)求線段的長(zhǎng)．

例3．（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期中）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形相似時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．（1）如圖1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線I，CE上直線l，垂足分別為D、E．求證：＝k．（2）組員小劉想，如果三個(gè)角都不是直角，那么結(jié)論是否仍然成立呢？如圖2，將（1）中的條件做以下修改：在ABC中，＝k，D、A、E三點(diǎn)都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3，在ABC中，沿ABC的邊AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．①求證：I是EG的中點(diǎn)．②直接寫出線段BC與AI之間的數(shù)量關(guān)系：．例4．（2022·四川·一模）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形：（1）如圖1，已知：在△ABC中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有．試猜想DE、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）老師鼓勵(lì)學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探索相似的情形．于是，學(xué)習(xí)小組又研究以下問(wèn)題：如圖2，△ABC中，．將一把三角尺中30°角頂點(diǎn)P放在BC邊上，當(dāng)P在BC邊上移動(dòng)時(shí)，三角尺中30°角的一條邊始終過(guò)點(diǎn)A，另一條邊交AC邊于點(diǎn)Q，P、Q不與三角形頂點(diǎn)重合．設(shè)．當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時(shí)，取何值總有△ABP∽△PCQ？當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時(shí)，取何值總有△ABP∽△QCP？（3）試探索有無(wú)可能使△ABP、△QPC、△ABC兩兩相似？若可能，寫出所有、的值（不寫過(guò)程）；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．例5．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過(guò)、向經(jīng)過(guò)點(diǎn)直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．（1）探究問(wèn)題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請(qǐng)你說(shuō)明理由．（2）學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)，且兩直線夾角為，且，請(qǐng)你求出直線的解析式．（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上—個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)在矩形外部時(shí)，連接，．若為直角三角形時(shí)，請(qǐng)你探究并直接寫出的長(zhǎng)．

例6．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，延長(zhǎng)FE與直線CD相交于點(diǎn)G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例7．（2023·江蘇南京·校考三模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：

【觀察與猜想】(1)如圖，在正方形中，，分別是，上的兩點(diǎn)，連接，，若，則的值為___________；(2)如圖，在矩形中，，，是上的一點(diǎn)，連接，，若，則的值為___________；【類比探究】(3)如圖，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，連接，過(guò)作的垂線交的延長(zhǎng)線于，交的延長(zhǎng)線于，求證：；【拓展延伸】(4)如圖4，在中，，，將沿翻折，落在處，得到，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作，交于，垂足為，連接．若，則的最小值為___________．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接將沿折疊得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，現(xiàn)在有如下五個(gè)結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時(shí)，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若AP⊥DP，則BP的長(zhǎng)為．3．（2022·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，取BE的中點(diǎn)G，點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，連接CF，在點(diǎn)E從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑=，△CEF面積的最小值是．4．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知是等邊三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)點(diǎn)分別在邊上，，同時(shí)平分和，則的長(zhǎng)為．5．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，將沿對(duì)折，點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，與對(duì)角線交于點(diǎn)，連結(jié)．若，．則．6．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E，且cos∠α＝，下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD＝6時(shí)，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結(jié)論是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）7．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點(diǎn)，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長(zhǎng)．8．（2023·四川·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，．（1）求的長(zhǎng)．（2）求證：．9．（2022春·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長(zhǎng)．38．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，∠APB、∠APC的角平分線PE、PF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EF．（1）求證：△BEP∽△CPF；（2）當(dāng)∠PAB＝30°時(shí)，求△PEF的面積．10．（2023·重慶九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求證：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的長(zhǎng)．11．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）【操作與探究】已知矩形，給出如下操作過(guò)程：如圖①所示．將四邊形沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使折疊后的點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處，折痕為，將沿過(guò)點(diǎn)G的直線折疊，使點(diǎn)A，點(diǎn)D分別落在邊，上，折痕為，得到一個(gè)新的矩形．【問(wèn)題探究】（1）若圖①中的四邊形是正方形，則矩形的長(zhǎng)寬比為______，______．（2）如圖②，將如圖①中的矩形按照“操作與探究”中的方法再次操作，得到的新矩形，則矩形的長(zhǎng)寬比為__________，__________．【問(wèn)題解決】若將長(zhǎng)寬比（n為正整數(shù)）矩形沿用上述方式操作m次后，得到一個(gè)矩形，則__________，________．12．（2022·山東濟(jì)寧·二模）情境觀察:將含45°角的三角板的直角頂點(diǎn)R放在直線上，分別過(guò)兩銳角的頂點(diǎn)M，N作的垂線，垂足分別為P，Q，（1）如圖1.觀察圖1可知：與NQ相等的線段是______________，與相等的角是_____(2)問(wèn)題探究直角中，，在AB邊上任取一點(diǎn)D，連接CD，分別以AC，DC為邊作正方形ACEF和正方形CDGH，如圖2，過(guò)E，H分別作BC所在直線的垂線，垂足分別為K，L.試探究EK與HL之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)拓展延伸：直角中，，在AB邊上任取一點(diǎn)D，連接CD，分別以AC，DC為邊作矩形ACEF和矩形CDGH，連接EH交BC所在的直線于點(diǎn)T，如圖3.如果，，試探究TE與TH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.13．（2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題提出（1）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)G．若，則的面積為_________．問(wèn)題探究（2）如圖2，在矩形中，，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)將．沿著折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將沿著折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)D到的距離為，且．若過(guò)點(diǎn)D作，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接．設(shè)的長(zhǎng)為，四邊形的面積為．①根據(jù)題意求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低．已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)60元，請(qǐng)你幫忙求出這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低費(fèi)用．14．（2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題提出：（1）如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)F在AB上，過(guò)點(diǎn)E作EGAB交FC于點(diǎn)G．若EG＝7．則S△EFC＝．問(wèn)題探究：（2）如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點(diǎn)P是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)P．使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)DP的長(zhǎng)度．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點(diǎn)C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)50元．請(qǐng)問(wèn)這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低是多少元？（≈1.73）15．（2023春·四川廣安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1和圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn)．把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到AB．過(guò)B作x軸的垂線、過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，兩直線交于點(diǎn)D，直線DB交x軸于點(diǎn)E．設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．（1）求證：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；若m=﹣3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（3）若m＞0，△BCD的面積為S，則m為何值時(shí)，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（2020·四川雅安·中考真題）如圖，已知邊長(zhǎng)為10的正方形是邊上一動(dòng)點(diǎn)（與不重合），連結(jié)是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的角平分線于點(diǎn)，若．（1）求證：；（2）若，求的面積；（3）請(qǐng)直接寫出為何值時(shí)