專題05 圓中的重要模型-圓中的翻折模型（解析版）

專題05圓中的重要模型-圓中的翻折模型知識儲備：1、翻折變換的性質(zhì)：翻折前后，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點之間的連線被折痕垂直平分；2、圓的性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，所對的弦也相等；同弧或等弧所對的圓周角相等；3、等圓相交：如圖，圓O和圓G為兩個相等的圓，圓O和圓G相交，相交形成的弦為AB，則弦AB為整個圖形的對稱軸，圓心O和圓心G關(guān)于AB對稱，弧ACB和弧ADB為等弧，且關(guān)于AB對稱；4、弧翻折（即等圓相交）：如圖，以弦BC為對稱軸，將弧BC翻折后交弦AB于點D，那么弧CDB所在的圓圓G與圓O是相等的圓，且兩個圓關(guān)于BC對稱，故圓心O、G也關(guān)于BC對稱。模型1.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）如圖，以圓O的一條弦BC為對稱軸將弧BC折疊后與弦AB交于點D，則CD=CA特別的，若將弧BC折疊后過圓心，則CD=CA，∠CAB=60°例1．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┮阎c，，在上，，把劣弧沿著直線折疊交弦于點．若，，則的長為（

）A． B．9 C． D．【答案】C【分析】取點D在上的對應(yīng)點E，連接、、、，過C點作于F點，根據(jù)四邊形內(nèi)接于，有，根據(jù)根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，可證明，即是等腰三角形，則有，進(jìn)而有，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】取點D在上的對應(yīng)點E，連接、、、，過C點作于F點，如圖，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵點D在上的對應(yīng)點為點E，∴根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，∵，∴，∵，∴，∴是等腰三角形，∵，，∴，∵，∴，∵，∴是直角三角形，∵，∴在中，，∵在中，，∴，∴，（負(fù)值舍去），故選：C．【點睛】本題考查圓中折疊的問題，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，作出輔助線，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，是解答本題關(guān)鍵．例2．（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，以為直徑的半圓沿弦BC折疊后，與相交于點D．若，則．【答案】【分析】如圖，根據(jù)題意補出半圓，點A的對應(yīng)點為點E，點O的對應(yīng)點為，連接，，由題意得到，進(jìn)而求得，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得到，繼而求得的大小即可求得答案．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意補出半圓，點A的對應(yīng)點為點E，點O的對應(yīng)點為，連接，．則，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴故答案為：【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，翻折變換等知識，正確作出輔助線、熟練運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿弦折疊交直徑于圓心O，則度．

【答案】120【分析】過O點作交于D，交于E，連接，．根據(jù)折疊可得，，根據(jù)三角形中位線定理可得，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及鄰補角的定義即可求解．【詳解】解：過O點作交于D，交于E，連接，．

由折疊可得：，，則為的中位線，∵是直徑，∴，，則，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴．故答案為：120．【點睛】考查了翻折變換（折疊問題），圓周角定理，三角形中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及鄰補角的定義，綜合性較強，構(gòu)造輔助線是是解決問題的關(guān)鍵．例4．（2023春·廣西·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為，，，點為圓上一點，，將沿弦翻折，交于點，圖中陰影部分的面積．【答案】【分析】如圖，連接，將陰影部分沿翻折，點的對應(yīng)點為，過點作于點，可求出的半徑，由對稱性可知，，，連接，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：如圖，連接，將陰影部分沿翻折，點的對應(yīng)點為，過點作于點，為的直徑，，，，∵，，垂足為，設(shè)的半徑為，則，∴，解得：或（舍去），，即的半徑是，連接，則，，過點作于點，∴，∴，即，即圖中陰影部分的面積是：．故答案為：．【點睛】本題主要考查直角三角形的，圓，扇形面積的計算，折疊知識的綜合，理解圓的基礎(chǔ)知識，直角三角形的勾股定理，扇形面積的計算方法，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例5．（2022·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，且，點是上一點，連接，過點作于點，將沿直線翻折．若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，連接OC，BC．證明△OBC是等邊三角形，利用分割法求解即可．【詳解】解：如圖，連接OC，BC．可得OB=OC=4，∵∠CAO=∠CAB，∴，∴OC=BC=OB，∴∠COB=60°，∴∠AOC=180°-60°=120°，∵，∴∠COD=60°，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．例6．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧上，將沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D，連接AC，CD．則下列結(jié)論中錯誤的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD＝CD；根據(jù)線段中點的定義可得AD＝BD；根據(jù)垂徑定理可作判斷③；延長OD交⊙O于E，連接CE，根據(jù)垂徑定理可作判斷④．【詳解】過D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，連接CD'、BD'，由折疊得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正確；∵點D是AB的中點，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正確；∴，由折疊得：，∴；故③正確；延長OD交⊙O于E，連接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了圓周角定理和垂徑定理．例7．（2022秋·山東九年級課時練習(xí)）如圖，將⊙O上的沿弦BC翻折交半徑OA于點D，再將沿BD翻折交BC于點E，連接DE．若AD＝2OD，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接AC，CD，OC，過點C作CH⊥AB于H．設(shè)OA＝3a，則AB＝6a．首先證明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AC，CD，OC，過點C作CH⊥AB于H．設(shè)OA＝3a，則AB＝6a．∵在同圓或等圓中，∠ABC所對的弧有，，，∴AC＝CD＝DE，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a，在Rt△OCH中，CH＝，在Rt△ACH中，AC＝，∴．故選：D．【點睛】本題考查圓周角定理，翻折變換，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)解決問題．例8．（2023秋·四川南充·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，將劣弧沿弦折疊得弧，P是弧上一動點，過點P作弧的切線與交于C，D兩點，若⊙O的半徑為13，，則的長度最大值為．【答案】【分析】過點O作于點M，交于點N，交于點P，此時過點P的切線最長，連接，，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)勾股定理求出，求出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】解：過點O作于點M，交于點N，交于點P，此時過點P的切線最長，連接，，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，根據(jù)折疊可知，，∴，∵是弧的切線，∴，∴，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使最大時，點P的位置．例9．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，CD是⊙O的切線，∠CDB＝90°，BD交⊙O于點E．（1）求證：．（2）若AE＝12，BC＝10．①求AB的長；②如圖2，將沿弦BC折疊，交AB于點F，則AF的長為【答案】（1）證明見解析；（2）①；②9.【分析】（1）連接OC交AE于M，由DC與⊙C相切于點C可得∠OCD＝90°，又因為AB是⊙O的直徑，所以∠CDB＝90°，易得OC⊥AE，可證弧AC=弧CE（2）①由（1）易得四邊形CMED是矩形，所以CD＝ME＝AM＝AE＝6，由勾股定理求出BD的長，由cos∠DBC=cos∠CAM可求出AC的長，即可求出答案②由勾股定理可求出BE的長，由折疊知BF＝BE，根據(jù)AF＝AB﹣BF即可求出答案【詳解】解：（1）如圖1，連接OC交AE于M，∵DC與⊙C相切于點C，∴OC⊥DC，即：∠OCD＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵∠CDB＝90°，∴CD∥AE，∴OC⊥AE，∴弧AC=弧CE；（2）①由（1）知，∠D＝∠OCD＝∠DEM＝∠EMC＝90°，∴四邊形CMED是矩形，∴CD＝ME＝AM＝AE＝6，在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得，BD＝＝8，∴cos∠DBC＝，∵∠CAM＝∠DBC，∴cos∠CAM＝＝，∴AC＝，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AB＝；②如圖2，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，BE＝＝連接EF，∵弧AC=弧CE，∴∠ABC＝∠DBC，由折疊知，BF＝BE，∴AF＝AB﹣BF＝﹣＝9，故答案為9．【點睛】此題主要考查圓的綜合運用課后專項訓(xùn)練1．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）將半徑為5的如圖折疊，折痕長為8，C為折疊后的中點，則長為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】延長交于點D，交于點E，連接、、、，根據(jù)圓心角、弧、弦、的關(guān)系由得到，可以判斷是的垂直平分線，則，再利用勾股定理求出，所以，然后利用點C和點D關(guān)于對稱得出，最后計算即可得出答案．【詳解】解：延長交于點D，交于點E，連接、、、，如圖，∵C為折疊后的中點，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴，在中，,∴，∵沿折疊得到，，∴點C和點D關(guān)于對稱，∴，∴，故選C【點睛】本題主要考查了圖形的折疊變換，圓的對稱性，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性及折疊前后的對應(yīng)關(guān)系．2．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，將劣弧沿AC折疊后剛好經(jīng)過弦BC的中點D．若AC＝6，∠C＝60°，則⊙O的半徑長為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】取折疊后的弧所在圓圓心為O′，則⊙O與⊙O′設(shè)等圓，∠ACD是公共的圓周角，所以可以證得AB＝AD，過A作AM⊥BC于M，則M為BD的中點，在Rt△AMC中，利用勾股定理，可以求出AM和CM的長度，由于D是BC中點，可以證明MC＝3BM，所以BM可以求，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AB的長度，連接OA，OB，由于△AOB是頂角為120°的等腰三角形，過O作OG⊥AB于G，利用30度的特殊角和勾股定理，可以證明AB＝3OA，由此圓O半徑可求．【詳解】解：如圖1，設(shè)折疊后的所在圓的圓心為O′，連接O′A，O′D，∴∠AO′D＝2∠ACB＝120°，連接OA，OB，同理，∠AOB＝120°，∴∠AOB＝∠AO′D，∵⊙O與⊙O′是等圓，∴AB＝AD，設(shè)⊙O的半徑為R，過O作OG⊥AB于G，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，AB＝2AG，∴OG＝OA＝R，∴AG＝＝R，∴AB＝2AG＝R，如圖2，過A作AM⊥BC于M，∵AB＝AD，∴可設(shè)BM＝DM＝x，則BD＝2x，∵D為BC的中點，∴CD＝BD＝2x，∴MC＝DM+CD＝3x，∵AM⊥BC，∠ACB＝60°，∴∠MAC＝30°，在Rt△AMC中，MC＝AC＝3，∴3x＝3，∴x＝1，∴AM＝＝3，BM＝x＝1，在Rt△ABM中，AB＝＝2，∵AB＝R，∴R＝，故⊙O的半徑長為，故選：A．【點睛】本題是圓的一道綜合題型，考查圓中的折疊變換，注意等圓中的公共角，公共弦、公共弧，這些都是相等的，利用這些等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形紙片中，點M，N在上，將紙片沿折疊，折疊后使點A和點D重合于點I，的外接圓分別交于點P，Q．若，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先證明是等邊三角形，得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)推出，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到，，過點作，則OH平分BC，利用勾股定理求出OB，再利用弧長公式計算即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，由折疊知：，，∴，，∴，∵圓是的外接圓，∴點是的內(nèi)心，∴OB平分，OC平分，∴，，過點作，則OH平分BC．則：，在中：，由勾股定理得：，即，解得：，（舍），∴．故選B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外接圓，內(nèi)心的有關(guān)性質(zhì)，弧長公式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)定理，掌握求弧長所需的條件．4．（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，為直徑，點為圖上一點，將劣弧沿弦翻折交于點，連接，如果，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，然后根據(jù)所對的圓周角為，所對的圓周角為，可得，結(jié)合即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵是直徑，∴，∵，∴，根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對的圓周角為，所對的圓周角為，∴，∵，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)以及圓周角定理的應(yīng)用，掌握圓周角定理及翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿弦折疊，點，分別是兩條弧的中點，與的度數(shù)之比為，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與的度數(shù)之比為，點C，D分別是兩條弧的中點，可知的度數(shù)，進(jìn)一步可知優(yōu)弧的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可得的度數(shù)．【詳解】解：∵與的度數(shù)之比為，點C，D分別是兩條弧的中點，∴的度數(shù)為，根據(jù)折疊，優(yōu)弧的度數(shù)為，∴，故選：A．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），圓周角定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于圓，D是上一點，將沿翻折，B點正好落在圓上的點E處，若，則（

）

A．40° B．50° C．55° D．65°【答案】B【分析】首先連接，由折疊的性質(zhì)可得：，結(jié)合已知，由三角形內(nèi)角和定理得出的度數(shù)，再由同弧上圓周角相等求得的度數(shù)．【詳解】連接，如圖所示：由折疊的性質(zhì)可得：，∴，∵（同弧所對的圓周角相等）∴．故選B．

【點睛】本題考查了圓周角定理，折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．（2023·湖北黃石·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好經(jīng)過點O，交于點D，連接，若，，則的半徑長是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，，過點B作于點E，過點O作于點F，求出，根據(jù)圓周角定理求出，證明為等邊三角形，得出，根據(jù)，得出，根據(jù)勾股定理求出，，根據(jù)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接，，，過點B作于點E，過點O作于點F，如圖所示：

則，∵劣弧沿弦翻折恰好經(jīng)過點O，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，且由翻折而成，∴∴，∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明為等邊三角形．8．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為的中點，D、E為圓上動點，且D、E關(guān)于AB對稱，將沿AD翻折交AE于點F，使點C恰好落在直徑AB上點處，若⊙O的周長為10，則的長為（）A．1 B．1.25 C．1.5 D．2【答案】B【分析】連接再利用軸對稱的性質(zhì)求解設(shè)的圓心為,則與關(guān)于對稱，求解從而可得答案.【詳解】解：連接為圓的直徑，點C為的中點，將沿AD翻折交AE于點F，使點C恰好落在直徑AB上點處，是的垂直平分線，D、E關(guān)于AB對稱，垂直平分設(shè)的圓心為,則與關(guān)于對稱，連接則在上，而的周長為10，的半徑為：的長為：故選B【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，弧長的計算，熟練的運用軸對稱的性質(zhì)得出是解本題的關(guān)鍵.9．（2023·浙江溫州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將⊙O上的沿弦BC翻折交半徑OA于點D，再將沿BD翻折交BC于點E，連結(jié)DE．若AB＝10，OD＝1，則線段DE的長為（）A．5 B．2 C．2 D．+1【答案】B【分析】連接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，則AD＝4，先利用折疊的性質(zhì)和圓周角定理得到，再利用弧、弦、圓心角的關(guān)系得到AC＝CD＝DE，則AF＝DF＝2，然后利用勾股定理計算出CF，接著再計算出CD即可．【詳解】解：連接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如圖，∵⊙O上的沿弦BC翻折交半徑OA于點D，再將沿BD翻折交BC于點E，∴為等圓中的弧，∵它們所對的圓周角為∠ABC，∴，∴AC＝CD＝DE，∴AF＝DF＝2，在Rt△OCF中，CF＝＝4，在Rt△CDF中，CD＝＝，．故選：B．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，圓周角定理及弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，掌握圓周角定理及弧，弦，圓心角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，且，是上一點，將弧沿直線翻折，若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點，取，，，那么由線段、和弧所圍成的曲邊三角形的面積與下列四個數(shù)值最接近的是（

）A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2【答案】C【分析】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，連接CO，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OE＝OF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠CAB，再得到∠COB，再分別求出S△ACO與S扇形BCO即可求解.．【詳解】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，由折疊的性質(zhì)可知，EF＝OE＝OF，∴OE＝OA，在Rt△AOE中，OE＝OA，∴∠CAB＝30°，連接CO，故∠BOC=60°∵∴r=2，OE=1,AC=2AE=2×=2∴線段、和弧所圍成的曲邊三角形的面積為S△ACO+S扇形BCO===≈3.8故選C.【點睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、圓周角定理，扇形的面積求解，解題的關(guān)鍵是熟知折疊是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．11．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在半徑為5的⊙O中；弦AC＝8，B為上一動點，將△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延長CD交⊙O于點E，F(xiàn)為DE中點，連接AE，OF．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①AE＝AB；②∠AED=∠ADE；③∠ADC＝2∠AED；④OF的最小值為2，其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，結(jié)合圓周角定理可得出進(jìn)而推出正確；假設(shè)，推出是等邊三角形，進(jìn)而推出，為定值，這與是變角相矛盾；作于M，并延長交于G，連接FM、OC、AF，先根據(jù)垂徑定理求出OM的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出FM長，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出，則可解決問題．【詳解】解：折疊得到，，，又在中，和所對的弦分別是AB和AE，又，，在中，，，故正確；由可得，假設(shè)，，，∴是等邊三角形，，，是定值，而B是動點，A、C兩點固定，則是變化的，兩者矛盾，故錯誤；如圖，作于M，并延長交于G，連接FM、OC、AF，，，由得，F(xiàn)為ED的中點，，，，當(dāng)O、F、M三點共線時，OF最小，這時OF=1，故錯誤；綜上所述，正確的是．故答案為：．【點睛】本題考查了圓的綜合，涉及圖形的翻著的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系等，熟練掌握以上性質(zhì)，靈活運用是解題的關(guān)鍵．12．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖①，為半圓的直徑，點在上從點向點運動，將沿弦，翻折，翻折后的中點為，設(shè)點，間的距離為，點，間的距離為，圖②是點運動時隨變化的關(guān)系圖象，則的長為．

【答案】8【分析】由圖可知，當(dāng)時，，此時，，點與點重合，由此即可解題．【詳解】解：由圖可知，當(dāng)時，，此時，，點與點重合，如圖，

取的中點，連接、，，根據(jù)對稱性，得，，，是等邊三角形，，，為直徑，，在中，，，，長為．故答案為：．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象、圓周角定理及含角的直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖2得到時，點與點重合，此題難度一般．13．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在扇形中，點C，D在上，將沿弦折疊后恰好與，相切于點E，F(xiàn)．已知，，則的度數(shù)為；折痕的長為．【答案】60°/60度【分析】根據(jù)對稱性作O關(guān)于CD的對稱點M，則點D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上，再結(jié)合切線的性質(zhì)和垂徑定理求解即可．【詳解】作O關(guān)于CD的對稱點M，則ON=MN連接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N∵將沿弦折疊∴點D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上∵將沿弦折疊后恰好與，相切于點E，F(xiàn)．∴ME⊥OA，MF⊥OB∴∵∴四邊形MEOF中即的度數(shù)為60°；∵，∴（HL）∴∴∴∵M(jìn)O⊥DC∴∴故答案為：60°；【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，點C是半徑OA上一點，點D是弧AB上一點．將扇形AOB沿CD對折，使得折疊后的圖形恰好與半徑OB相切于點E．若∠OCD＝45°，OC＝+1，則扇形AOB的半徑長是．【答案】2+【分析】作關(guān)于的對稱點，連接、，則為扇形的半徑，由折疊的性質(zhì)得：，，得出是等腰直角三角形，得出，，，由切線的性質(zhì)得出，得出，由三角函數(shù)即可得出結(jié)果．【詳解】解：作關(guān)于的對稱點，連接、，如圖1所示：則為扇形的半徑，由折疊的性質(zhì)得：，，，是等腰直角三角形，，，，折疊后的圖形恰好與半徑相切于點，，，，如圖2所示：；故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)，證出是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2023·河北·九年級校聯(lián)考專題練習(xí)）已知⊙O的直徑AB=4，點C在⊙O上，連接AC，沿AC折疊劣弧，記折疊后的劣弧為．（1）如圖1，當(dāng)經(jīng)過圓心O時，求的長．（2）如圖2，當(dāng)與AB相切于A時．①畫出所在的圓的圓心P．②求出陰影部分弓形的面積．

【答案】（1）的長=；（2）①P點為所求，見解析；②S陰=π-2．【分析】（1）只要證明△EAO是等邊三角形即可解決問題；（2）①過A點作AP⊥AB，再截取AP=2，則P點為所求，如圖2；②只要證明四邊形AOCP是正方形即可解決問題；【詳解】（1）作半徑OE⊥AC于F，連接AE，如圖1，∵沿AC折疊劣弧，記折疊后的劣弧為，∴OF=OE=OF，∵OE⊥AC，∴AE=AO，∵OA=OE，∴AE=AO=OE，∴△AOE是等邊三角形，∴∠AEO=60°，∴的長=．（2）①過A點作AP⊥AB，再截取AP=2，則P點為所求，如圖2，

②連接PC、OC，∵AP=OA=OC=PC=2，∴四邊形PAOC為菱形，而∠PAO=90°，∴四邊形PAOC為正方形，∴S陰=×2×2=π-2．【點睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和切線的性質(zhì)；會利用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計算；理解折疊的性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì).16．（2023·江蘇徐州·九年級階段練習(xí)）小明在研究由矩形紙片折疊等邊三角形之后，經(jīng)過探究，他用圓形紙片也折疊出了等邊三角形，以下是他的折疊過程：第一步：將圓形紙片沿直徑AM對折，然后打開；第二步：將紙片沿折痕BC翻折使點M落在圓心I處，然后打開，連接AB、AC．（1）在圖③中BC與IM的位置關(guān)系是；（2）小明折疊出的△ABC是等邊三角形嗎？請你說明理由．【答案】（1）互相垂直平分；（2）△ABC為等邊三角形．【詳解】試題分析：（1）利用折疊的性質(zhì)易得IM垂直平分BC，BC垂直平分IM，即BC和IM互相垂直平分；（2）連結(jié)IB、BM、MC，如圖，由BC和IM互相垂直平分可判斷四邊形BMCI為菱形，易得△IBM和△TMC為等邊三角形，則∠BIM=∠CIM=60°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=∠BIC=60°，加上AB=AC，于是可判斷△ABC為等邊三角形．解：（1）∵圓形紙片沿直徑AM對折，∴IM垂直平分BC，∵紙片沿折痕BC翻折使點M落在圓心I處，∴BC垂直平分IM，即BC和IM互相垂直平分；故答案為互相垂直平分；（2）△ABC為等邊三角形．理由如下：連結(jié)IB、BM、MC，如圖，∵BC和IM互相垂直平分，∴四邊形BMCI為菱形，∴IB=BM=MC=IC，∴IB=BM=MC=IC=IM，∴△IBM和△TMC為等邊三角形，∴∠BIM=∠CIM=60°，∴∠BAC=∠BIC=60°，而AM垂直平分BC，∴AB=AC，∴△ABC為等邊三角形．考點：翻折變換（折疊問題）．17．（2023·江西萍鄉(xiāng)·萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖（1）是的直徑，且，點是半圓的中點，點是上一動點，將沿直線折疊交于點，連接，．(1)求證：；(2)當(dāng)點與點重合時，如圖（2），求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，根據(jù)圓周角定理可知，，可得，