專題02 相似三角形重要模型-母子型（共邊共角模型）（原卷版）

專題02相似三角形重要模型--母子型（共邊共角模型）相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件:如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，，結(jié)論：；例1．（2023·四川成都·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，；若AD＝6，BD＝2，則CD＝．例2．（2023春·山東威?！ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考期中）如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長為．例3.（2022.山西九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．例4．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．交于，交的延長線于．（1）求證：；（2）若，，求．例5．（2022.浙江中考模擬）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）圖1中共有對(duì)相似三角形，寫出來分別為（不需證明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，請(qǐng)你求出CD的長：（3）在（2）的情況下，如果以AB為x軸，CD為y軸，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q出B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BA運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)即刻同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例6．（2022·陜西漢中·九年級(jí)期末）如圖，是等腰直角斜邊的中線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與、的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)、，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖2，過作于點(diǎn)，若，，求的長．例7．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)?？计谥校净A(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，四邊形為平行四邊形，在邊上，，點(diǎn)在延長線上，連結(jié)，，，若，，，求的長；【拓展提高】（3）如圖3，在中，是上一點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)，分別在，上，連結(jié)，，，若，，，，，求的值．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·北京延慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，要使得與相似，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．B．C．D．2．（2022秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，其中，，則（

）A．2 B． C． D．43．（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．設(shè)，，則圖中可以表示為的線段是（）

A． B． C． D．4．（2023秋·浙江金華·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，D是的邊上一點(diǎn)，連接，若，則的長．

5．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：如圖，中，，，D為邊上一點(diǎn)，．(1)求證：

．(2)若的周長為11，請(qǐng)求出的長．

6．（2022·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）已知，點(diǎn)D在的邊上，連接．(1)如圖1，若．求證：；(2)如圖2，若，，，．求線段的長；(3)如圖3，M、N分別是上的兩點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，當(dāng)，時(shí)，若，直接寫出的值______．

7．（2023秋·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在梯形中，，，點(diǎn)E是邊中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，，且．(1)求證：；(2)求證：．

8．（2023秋·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在的邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

(1)直接寫出的形狀______；(2)若垂足為D，證明：；(3)拓展應(yīng)用：在A時(shí)測得某樹（垂直于地面）的影長為4米，C時(shí)又測得該樹的影長為16米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為______米．（直接寫出結(jié)果）9．（2022春·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，是的直徑，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若平分，求證：．10．（2022·湖南長沙·?？既＃┘s定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個(gè)小三角形中有一個(gè)三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”．例如，如圖1，在中，為邊上的中線，與相似，那么稱為關(guān)于邊的“華益美三角”．

(1)如圖2，在中，，求證：為關(guān)于邊的“華益美三角”；(2)如圖3，已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為直徑的⊙恰好經(jīng)過點(diǎn)．①求證：直線與相切；②若的直徑為，求線段的長；(3)已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，求的面積．11．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，①求證：；②若，，求的長；(2)已知，若，求的長．

12．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖所示，點(diǎn)在同一直線上，滿足，，且．求證：．13．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖1，中，，D為上一點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)A作于M，交于點(diǎn)E，若，求的值；(3)如圖3，N為延長線上一點(diǎn)，連接、，若，，則的值為_．14．（2023·吉林·九年級(jí)階段練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．15．（2023·福建九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．16．（2022秋·廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，且△PCD是等邊三角形．∠APB＝120°．（1）求證：△ACP∽△PDB；（2）當(dāng)AC＝4，BD＝9時(shí)，試求CD的值．17．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，平分，連接交于.(1)求證