專題03 相似三角形重要模型-手拉手模型（解析版）

專題03相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。手拉手模型相似是手拉手模型當中相對于手拉手全等模型較難的一種模型，在實際的應用和解題當中出現(xiàn)時，對于同學們來說，都比較困難。而深入理解模型內(nèi)涵，靈活運用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點講解相似三角形的“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）。手拉手相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復第③步。模型1.“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.例1．（2023春·貴州銅仁·九年級校聯(lián)考階段練習）在中，，D、E分別時、邊上的點，．將繞點A旋轉(zhuǎn)．（一）發(fā)現(xiàn)問題（1）如圖①，、、滿足的數(shù)量關(guān)系為________；（二）探究問題（2）如圖②，，相交于點M，連接，求證：平分；（三）拓展應用（3）如圖③，在四邊形中，，，，求的度數(shù)．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)，，等量代換可得結(jié)果；（2）首先證明，推出，證明，得到，，過點A作于，于，根據(jù)三角形面積公式，得到，再利用角平分線的判定定理即可證明；（3）延長至，使得，連接，證明，得到，，從而證明是等邊三角形，便可得．【詳解】解：（1）在與中，，，，故答案為：；（2）在原圖中，∵，∴，∴，又，∴，，，，∴，，∴，∴，∴平分；

（3）如圖，延長至，使得，連接，

，，，，，，，，，，，即是等邊三角形，，．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．例2．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）如圖（1），等腰三角形中，，．點，分別在，上，．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：將圖（1）中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，當點落在邊上時，交于點，如圖（2）．發(fā)現(xiàn)：．請證明這個結(jié)論．(2)實踐探究：將圖（1）中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)（），當，，三點在同一條直線上時，連接，如圖（3）．請解答以下問題：①求證：；②探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，推得，根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，即可證明；（2）①根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，推得，，根據(jù)全等三角形的判定即可證明；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，推得，即可求解．【詳解】（1）解：在圖（1）中，∵，∴；在圖（2）中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：①在圖（1）中，∵，∴，∵，∴，∵，∴在圖（3）中，，∴，在和中，，∴；②，理由：∵，∴，∵，∴在圖（1）中，，∴，即，∵，，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等邊對等角，平行線分線段成比例定理，熟練掌握等腰三角形共點旋轉(zhuǎn)模型是解本題的關(guān)鍵，例3．（2022·四川達州·中考真題）某校一數(shù)學興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點F，連接．該數(shù)學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：(1)【初步探究】如圖2，當時，則_____；(2)【初步探究】如圖3，當點E，F(xiàn)重合時，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；(3)【深入探究】如圖4，當點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由見解析(4)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)題意可得，根據(jù)等原三角形的性質(zhì)可得平分，即可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；（2）證明，可得，根據(jù)等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，過點，作，交于點，證明，，可得，即可得出；（4）過點作，交于點，證明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案為：(2)在與中，又重合，故答案為：(3)同（2）可得，過點，作，交于點，則，，在與中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在與中，，，，，即，(4)過點作，交于點，，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例4．（2021·四川樂山·中考真題）在等腰中，，點是邊上一點（不與點、重合），連結(jié)．（1）如圖1，若，點關(guān)于直線的對稱點為點，結(jié)，，則________；（2）若，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．①在圖2中補全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）30°；（2）①見解析；②；見解析；（3），見解析【分析】（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計算即可（2）①按要求補全圖即可②先根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明，即可得出（3）先證明，再證明，得出，從而證明，得出，從而證明【詳解】解：（1）∵，∴△ABC是等邊三角形∴∠B=60°∵點關(guān)于直線的對稱點為點∴AB⊥DE，∴故答案為：；（2）①補全圖如圖2所示；②與的數(shù)量關(guān)系為：；證明：∵，．∴為正三角形，又∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵，，∴，∴，∴．（3）連接．∵，，∴．∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴．【點睛】本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對稱，熟練進行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點例5．（2023·四川·九年級專題練習）如圖1，已知線段，，線段繞點在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長；(3)如圖3，若，，，當?shù)闹底畲髸r，求此時的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）在中，，，且，，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）延長交于點，如圖所示，在中，求得，進而求得的長，根據(jù)（1）的結(jié)論，得出，在中，勾股定理求得，進而根據(jù)，即可求解．（3）如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，同（1）可得，進而得出在以為圓心，為半徑的圓上運動，當點三點共線時，的值最大，進而求得，，根據(jù)得出，過點作，于點，分別求得,然后求得，最后根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，且，，∴，，∴，，∴∴∴，故答案為：．（2）∵，且，，∴，，延長交于點，如圖所示，

∵，∴，∴在中，，，∴，由（1）可得，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，

同（1）可得則，∵，則，在中，，，∴在以為圓心，為半徑的圓上運動，∴當點三點共線時，的值最大，此時如圖所示，則，

在中，∴,，∵，∴，過點作，于點，∴，，∵，∴，∴，中，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求圓外一點到圓的距離的最值問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例6.（2023·浙江·九年級專題練習）一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到嗎？若能，請給出證明，請說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問當與的大小滿足怎樣的關(guān)系時，；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出，，，，得出，則可證明，從而可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得出，，則可證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）設(shè)與交于Q，與交于點P，證明，得出，得出，連接，，由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）∵四邊形為正方形，∴，，又∵四邊形為正方形，∴，，∴∴，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（2）當時，，理由如下：∵，∴∴，又∵四邊形和四邊形均為菱形，∴，，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（3）設(shè)與交于Q，與交于點P，由題意知，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，連接，，∴，∵，，，∴，，在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，∴．【點撥】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由(3)可得結(jié)論：當四邊形的對角線相互垂直時，四邊形兩組對邊的平方和相等．例7．（2023春·廣東·九年級專題練習）已知在ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將AOC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA，連接DE，當AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長．【答案】（1）；（2）成立，證明見解析；（3）【分析】（1）結(jié)論．證明，可得結(jié)論．（2）結(jié)論成立．證明方法類似（1）．（3）首先證明，再利用相似三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：．理由：如圖1中，，，，，，，，，，，．（2）結(jié)論成立．理由：如圖2中，，，，，，，，，．（3）如圖3中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．課后專項訓練1、（2023.重慶.九年級月考）如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．40° D．無法確定【答案】B【解答】ACAE=23，ABAD=∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故選：B．2、（2023.廣東.九年級期中）如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB與DE交于點O，AB＝4，AC＝3，F(xiàn)是DE的中點，連接BD，BF，若點E是射線CB上的動點，下列結(jié)論：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AEA．①② B．③④ C．②③ D．②③④【解答】∵△ABC∽△ADE，∴∠ADO＝∠OBE，∵∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△EOB，∴ODOB=∴ODOA=OBOE，∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△EOA∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，∵∠ADO+∠AEO＝90°，∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，∵DF＝EF，∴FD＝FB＝FE，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正確，在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，∴BC=32+42=5，∵△ABC∵BF=12DE，∴2BFAE=53，∴BF∵∠ADO＝∠OBE，∴∠ADO≠∠OBF，∴無法判斷△AOD∽△FOB，故①錯誤．故選：D．3、（2023.江蘇.九年級期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，D、E分別在邊AC、BC上，CD＝1，DE∥AB，將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后點D、E對應的點分別為D′、E′，當點E′落在線段AD′上時，連接BE′，此時BE′的長為（）A．2 B．3 C．2 D．3【分析】如圖，作CH⊥BE′于H，設(shè)AC交BE′于O．首先證明∠CE′B＝∠D′＝60°，解直角三角形求出HE′，BH即可解決問題．【詳解】解：如圖，作CH⊥BE′于H，設(shè)AC交BE′于O．∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，∵DE∥AB，∴＝，∠CDE＝∠CAB＝∠D′＝60°∴＝，∵∠ACB＝∠D′CE′，∴∠ACD′＝∠BCE′，∴△ACD′∽△BCE′，∴∠D′＝∠CE′B＝∠CAB，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝，∵DE∥AB，∴＝，∴＝，∴CE＝，∵∠CHE′＝90°，∠CE′H＝∠CAB＝60°，CE′＝CE＝∴E′H＝CE′＝，CH＝HE′＝，∴BH＝＝＝∴BE′＝HE′+BH＝3，故選：B．【點撥】本題考查了相似三角形的綜合應用題，涉及了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線分線段成比例、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識點，解題的關(guān)鍵是靈活運用上述知識點進行推理求導．4、（2023.綿陽市.九年級期末）已知正方形DEFG的頂點F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連結(jié)AG，CE交于點H，若，，則CH的長為________.【分析】連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，證明△ANG∽ADM，得到，從而求出DM的長，再通過勾股定理算出AM的長，通過證明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，從而說明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的長.【詳解】解：連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，∴△ANG∽ADM，∴，∵，∴DF=EG=2,∴DN=NG=1，∵AD=AB=3，∴，解得：DM=，∴MC=，AM=，∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠EDC，在△ADG和△CDE中，，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG=∠DCE，∵∠AMD=∠CMH，∴∠ADM=∠CHM=90°，∴△ADM∽△CHM，∴，即，解得：CH=.【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過其性質(zhì)計算出CH的長.5．（2022·浙江·九年級課時練習）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究：如圖2，在等邊中，點M是延長線上任意一點（不含端點C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請說明理由．(3)拓展延伸：如圖3，在等腰中，，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)成立(3)【分析】（1）利用可證明，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過證明，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．（3）首先得出，從而判定，得到，根據(jù)，，得到，從而判定，得出結(jié)論．（1）證明：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（2）解：結(jié)論仍成立；理由如下：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（3）解：；理由如下：，，∴，又∵，，∴，，又，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．6．（2022湖北·九年級專題練習）如圖，為等邊三角形，D為AC邊上一點，連接BD，M為BD的中點，連接AM．(1)如圖1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面積；(2)如圖2，過點M作與AC交于點E，與BC的延長線交于點N，求證：AD＝CN；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AM翻折得，連接B'N，當B'N取得最小值時，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)【分析】（1）過點D作DH⊥AB，根據(jù)∠ABD＝45°，∠BAC＝60°解三角形求出，可得再結(jié)合三角形中學性質(zhì)即可解得；（2）過點A作AG⊥BC，垂足為G，連接MG，又中位線性質(zhì)和，得，再通過四點共圓證明，進而可得，從而可證明為等邊三角形，延長AM到P，使MP=AM，連接PN，構(gòu)造，得AD=BP，繼而證明（SAS），從而可得，由此即可得出結(jié)論；（3）取AC的中點Q，連接BQ，取BQ的中點K，連接KM，通過構(gòu)造，得出即D為AC的中點時，取最小值，再結(jié)合題目條件解三角形即可求解．(1)解：如解圖1，過點D作DH⊥AB，∵∠ABD＝45°，∴，∵在△ABC為等邊三角形中，∠BAC＝60°，∴，∴，∴，

又∵AB＝2+2，∴，∴，∴，∴，∵M為BD的中點，∴；(2)如解圖2，過點A作，垂足為G，連接MG，∵△ABC為等邊三角形，∴BG=GC，∵BM=DM，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴A、M、G、N四點共圓，∴，∴，又∵MP=AM，，∴，又∵，∴為等邊三角形，，∵，∴，∴，如解圖2，延長AM到P，使MP=AM，連接PN，∵BM=DM，，∴（SAS）∴AD=BP，在和中，，∴（SAS）∴，∴；(3)取AC的中點Q，連接BQ，取BQ的中點K，連接KM，∵將△ABM沿AM翻折得△AB'M，∴，，又∵，∴，∴，即：，又∵，，∴，∴，∴，又∵BM=MD，BK=KQ，∴，又∵AB=BC，∴，∴，∴，當M點與K點重合時，取最小值，此時取最小值，∴D點與Q點重合，即D為AC的中點時，取最小值，如解圖3-2；設(shè)AD=a，∵是等邊三角形，D點是AC的中點，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴

【點睛】本題主要考查了三角形綜合，涉及了等邊三角形、全等三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定以及解三角形等知識點，難度大，綜合性強，需要平時積累和訓練．解題關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件添加輔助線構(gòu)造適當?shù)娜切无D(zhuǎn)化線段和角的關(guān)系．7．（2023·廣西·九年級課時練習）某校數(shù)學活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學問題作如下探究：（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點是邊上任意一點，連接，以為邊作等邊，連接CQ，BP與CQ的數(shù)量關(guān)系是________；（2）變式探究：如圖2，在等腰中，，點是邊上任意一點，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：如圖3，在正方形中，點是邊上一點，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長為5，，求正方形的邊長．【答案】（1）；（2）；理由見解析；（3）4．【分析】（1）利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）先證明，得到，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）連接、，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：（1）問題發(fā)現(xiàn)：∵和都是等邊三角形，∴A，，，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）變式探究：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解決問題：連接、，如圖所示:∵四邊形是正方形，∴，，∵是正方形的中心，∴，，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，（舍去），，∴正方形的邊長為：．【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)、勾股定理的應用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·河南開封·九年級期末）某數(shù)學興趣小組在學習了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識后，在等腰△ABC中，其中，如圖1，進行了如下操作：第一步，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交BA的延長線和AC于點E，F(xiàn)，如圖2；第二步，分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，作射線AD；第三步，以D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交射線AE于點G；(1)填空；寫出∠CAD與∠GAD的大小關(guān)系為___；(2)①請判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由．②當時，連接DG，請直接寫出___；(3)如圖3，根據(jù)以上條件，點P為AB的中點，點M為射線AD上的一個動點，連接PM，PC，當時，求AM的長．【答案】(1)∠CAD=∠GAD；(2)①AD∥BC；②3(3)9【分析】（1）根據(jù)題目的尺規(guī)作圖發(fā)現(xiàn)AD平分∠CAG即可得到∠CAD=∠GAD；（2）①由AD平分∠CAG再結(jié)合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC；②易證，可得（3）以M為圓心，MA的長為半徑畫弧，交射線BA于點N，由（2）可得，即可用一線三等角模型構(gòu)造相似解題．(1)由尺規(guī)作圖步驟發(fā)現(xiàn)AD平分∠CAG∴∠CAD=∠GAD；(2)①∵∴∵∠CAD=∠GAD,∴∴AD∥BC②∵∴∵∴∴∴∵∴(3)以M為圓心，MA的長為半徑畫弧，交射線BA于點N，如圖由（1）（2）可得,設(shè)則∵點P為AB的中點∴∵∴∴∴∴∴，解得∴．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖中的作角平分線以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟判斷是作角平分線．9．（2022·山東濟南·一模）在中與中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接，點分別是的中點，連接．（1）觀察猜想：如圖1，當點與點重合時，與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；（2）類比探究：當點與點不重合時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請僅就圖2的情形給出證明；如果不成立，請說明理由．（3）問題解決在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出的面積的最大值與最小值．【答案】（1）CG=CF，CF⊥CG；（2）成立，CG=CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面積最大值，最小值．【分析】（1）觀察猜想：由直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半再結(jié)合30°直角三角形三邊比即可證明；（2）類比探究：先證明△BCD∽△ACE，再證明△ACG∽△BCF，可得結(jié)論；（3）問題解決：延長BC至H，使BC=CH=1，連接DG，由三角形中位線定理結(jié)合三角形面積公式可求△CFG的面積=，求出DH最小值即可．【詳解】（1）觀察猜想∵在Rt△ABC中與Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，∴AE=2DC=2，AC=BC=，AB=2BC，∠CDE=60°，∴BC=1，AB=2，∵點F，G分別是BD，AE的中點，∴CG=AE=，CG=AG，CF=AB=1，CF=AF，∴CG=CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°，∴∠FCG=90°，∴CF⊥CG，故答案為：CG=CF，CF⊥CG；（2）類比探究仍然成立，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，∴∠BCD=∠ACE，AC=BC，CE=CD，∴，∴△BCD∽△ACE，∴，∠CAE=∠CBD，∵點F，G分別是BD，AE的中點，∴BF=BD，AG=AE，∴∴△ACG∽△BCF，∴，∠BCF=∠ACG，∴CG=CF，∠ACB=∠FCG=90°，∴CF⊥CG；（3）問題解決：如圖，延長BC至H，使BC=CH=1，連接DH，∵點F是BD中點，BC=CH=1∴CF=DH，由（2）可知，CF⊥CG，∴△CFG的面積=×CF×CG=CF2，∴△CFG的面積=，∴當DH取最大值時，△CFG的面積有最大值，當DH取最小值時，△CFG的面積有最小值，∵CD=，∴點D在以點C為圓心，為半徑的圓上，∴當點D在射線HC的延長線上時，DH有最大值為+1，∴△CFG的面積最大值=，∴當點D在射線CH長線上時，DH有最小-1，∴△CFG的面積最小值=．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積公式，證明△ACG∽△BCF是本題的關(guān)鍵．10．（2022?萊蕪區(qū)一模）在△ACB中，∠ACB＝120°，AC＝BC，點P在AB邊上，AP＝AB，將線段AP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)至PD，記旋轉(zhuǎn)角為a，連接BD，以BD為底邊，在線段BD的上方找一點E，使∠BED＝120°，ED＝EB，連接AD、CE．（1）如圖1，當旋轉(zhuǎn)角a＝180°時，請直接寫出線段CE與線段AD的數(shù)量關(guān)系；（2）當0＜a＜180°時，①如圖2，（1）中線段CE與線段AD的數(shù)量關(guān)系是否還成立？并說明理由．②如圖3，當點A、D、E三點共線時，連接CD，判斷四邊形CDBE的形狀，并說明理由．【分析】（1）作EH⊥AB于H，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得BD＝BE，再利用平行線分線段成比例定理可得答案；（2）利用△ABD∽△CBE，可得；（3）設(shè)AE與BC交于F，作PQ⊥AD于Q，BH⊥AD，交AD的延長線于H，與（2）知，△ABD∽△CBE，得∠BAD＝∠BCE，可證明CE∥BD，設(shè)EH＝x，則BE＝2x，BH＝x，DE＝BE＝2x，BD＝2x，再利用平行線分線段成比例可得AD＝6x，從而證明CE＝BD，進而解決問題．【解答】解：（1）AD＝CE，理由如下：∵∠BED＝∠ACB＝120°，∴DE∥AC，∴，∴，作EH⊥AB于H，∵BE＝DE，∠BED＝120°，∴∠B＝30°，BD＝2BH，∴，∴BD＝BE，∴，∴AD＝CE；（2）仍然成立，∵∠ABC＝∠DBE＝30°，∴∠ABD＝∠CBE，由（1）知，，∴△ABD∽△CBE，∴，∴AD＝CE；（3）四邊形CDBE是平行四邊形，理由如下：設(shè)AE與BC交于F，作PQ⊥AD于Q，BH⊥AD，交AD的延長線于H，與（2）知，△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE，∴∠CEF＝∠ABC＝30°，∵∠BDE＝30°，∴∠BDE＝∠CED，∴CE∥BD，∵∠BED＝120°，∴∠BEH＝60°，設(shè)EH＝x，則BE＝2x，BH＝x，∴DE＝BE＝2x，BD＝2x，∵AP＝PD，PQ⊥AD，∴AQ＝DQ，∵AP＝AB，PQ∥BH，∴AQ＝QH，∴AQ＝DQ＝DH＝3x，∴AD＝6x，由（2）知，AD＝CE，∴CE＝2x，∴CE＝BD，∴四邊形CDBE是平行四邊形．【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定等知識，證明CE＝BD是解決問題（3）的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇·九年級課時練習）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究：如圖2，在等邊中，點M是延長線上任意一點（不含端點C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請說明理由．(3)拓展延伸：如圖3，在等腰中，，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)成立(3)【分析】（1）利用可證明，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過證明，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．（3）首先得出，從而判定，得到，根據(jù)，，得到，從而判定，得出結(jié)論．（1）證明：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（2）解：結(jié)論仍成立；理由如下：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（3）解：；理由如下：，，∴，又∵，，∴，，又，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．12、（2023.湖北.九年級期末）如圖1，在中，，，，點D，E分別為，的中點．繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（，記直線與直線的交點為點P．（1）如圖1，當時，與的數(shù)量關(guān)系為_________，與的位置關(guān)系為_______；（2）當時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由；（3）繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線距離的最大值．【分析】（1）分別求出AD，BE的長，即可求解；

（2）通過證明△BCE∽△ACD，可得，∠CBO=∠CAD，可得結(jié)論；

（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長公式可求P點運動軌跡的長度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點到直線BC距離的最大值．【詳解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，

∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE，∵點D，E分別為AC，BC的中點，

∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=，∴AD=BE，故答案為：AD=BE，AD⊥BE；

（2）結(jié)論仍然成立，

理由如下：∵AC=，BC=1，CD=，EC=，

∴，，∴，

∵△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE∽△ACD，

∴，∠CBO=∠CAD，∴AD=BE，

∵∠CBO+∠BOC=90°，∴∠CAD+∠AOP=90°，∴∠APO=90°，∴BE⊥AD；

（3）∵∠APB=90°，∴點P在以AB為直徑的圓上，

如圖3，取AB的中點G，作⊙G，以點C為圓心，CE為半徑作⊙C，當BE是⊙C切線時，點P到BC的距離最大，過點P作PH⊥BC，交BC的延長線于H，連接GP，

∵BE是⊙C切線，∴CE⊥BE，∵sin∠EBC=，∴∠EBC=30°，∴∠GBP=30°，

∵GB=GP，∴∠GBP=∠GPB=30°，∴∠BGP=120°，

∵點P的運動軌跡為點C→點P→點C→點B→點C，∴P點運動軌跡的長度=，

∵∠ABP=30°，BP⊥AP，∴AP=AB=1，BP=AP=，

∵∠CBP=30°，PH⊥BH，∴PH=BP=．∴P點到直線BC距離的最大值．【點撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，確定點P的運動軌跡是本題的關(guān)鍵．13、（2023.廣東.九年級期末）嘗試：如圖①，中，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點B、C的對應點分別為、，連接、，直接寫出圖中的一對相似三角形_______；拓展：如圖②，在中，，，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點B、C的對應點分別為、，連接、，若，求的長；應用：如圖③，在中，，，，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，當點B的對應點恰好落在的邊所在的直線上時，直接寫出此時點C的運動路徑長．【詳解】嘗試：；【解法提示】∵，∴，，，∴，，∴.拓展：∵在中，，，∴，∴，易得，∴.又∵，∴.應用：或或或或.【解法提示】在中，，，∴，，當點落在所在直線上時，有兩種情況：①若點在延長線上時，如解圖①，，∴弧；②若點在的延長線上時，如解圖②，此時點，，三點共線，∴旋轉(zhuǎn)角，∴??；當點落在邊所在直線上時，如解圖③，，∴??；當點落在邊所在直線上時，如解圖④，此時點，，三點共線，旋轉(zhuǎn)角為，∴弧.當點與點重合時，點旋轉(zhuǎn)一周，∴弧.∴當點的對應點恰好落在的邊所在直線上時，點的運動路徑長為或或或或.圖①圖②圖③圖④14、（2023.浙江.九年級期中）問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應用：如圖（2），在和中，，，與相交于點．點在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點，，，，，直接寫出的長．【分析】問題背景：通過得到，，再找到相等的角，從而可證；嘗試應用：連接CE，通過可以證得，得到，然后去證，，通過對應邊成比例即可得到答案；拓展創(chuàng)新：在AD的右側(cè)作∠DAE=∠BAC，AE交BD延長線于E，連接CE，通過，，然后利用對應邊成比例即可得到答案．【詳解】問題背景：∵，∴∠BAC=∠DAE，，∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴；嘗試應用：連接CE，∵，，∴，∴，∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴，∴，由于，，∴，即，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，又∵∴，∴；拓展創(chuàng)新：如圖，在AD的右側(cè)作∠DAE=∠BAC，AE交BD延長線于E，連接CE，∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，∴∠ADE=∠ABC，又∵∠DAE=∠BAC，∴，∴，又∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∴，∴，設(shè)CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，∴，，∴，∴，∵，∴，∴【點撥】本題考查了相似三角形的綜合問題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵15、（2023.山東.九年級期末）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得，進而根據(jù)對頂角的性質(zhì)得，再結(jié)合公共角，根據(jù)相似三角形的判定得結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，再證明其夾角相等，便可證明；（3）由已知條件求得正方形的邊長，進而由勾股定理求得的長度，再由，求得，進而求得正方形的對角線長，便可求得其邊長．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，，，；（2）四邊形是正方形，，，，同理可得，，，，；（3），，，，，，即，，，，即正方形的邊長為．【點撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵是掌握相似模型及證明方法和正方形性質(zhì)．16．（2022?南山區(qū)校級一模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②進行說明．（3）【解決問題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O為AC的中點．若點D在直線BC上運動，連接OE，則在點D的運動過程中，線段OE長的最小值為（直接寫出結(jié)果）．【分析】（1）連接AF，由正方形的性質(zhì)可得點A、F、C三點共線，AC＝，AF＝AG，從而得出答案；（2）連接AF，AC，利用△CAF∽△DAG，得CF＝DG，∠ACF＝∠ADG，從而解決問題；（3）連接CE，利用