專題11 特殊的平行四邊形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（原卷版）

專題11特殊的平行四邊形中的最值模型之瓜豆模型（原理）動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ徒庾x】瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，估只對(duì)瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線_上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為直線1）如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段?！咀钪翟怼縿?dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過以下三種方法進(jìn)行確定：=1\*GB3①觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變，若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；=2\*GB3②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；=3\*GB3③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知軌跡的線段求值。例1．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．則______，若正方形的邊長為2，則點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是______．例2．（2023·四川內(nèi)江·?？家荒＃┤鐖D，矩形中，已知，點(diǎn)F是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為________．例3．（2023·綿陽市·八年級(jí)期中）如圖，菱形中，，，點(diǎn)在邊上，且，動(dòng)點(diǎn)在邊上，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，連接，則線段長的最小值為__．例4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，矩形的邊，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．例5．（2023·江蘇宿遷·校考期中）如圖，正方形的邊長為4，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為_____．例6．（2023春·江蘇·八年級(jí)?？计谥校?，，E為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為鄰邊作，的最小值為_________．

例7．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，點(diǎn)H、G分別是邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)．連接AH、HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF則EF的最大值與最小值的差為__________．例8．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖在菱形中，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的任一點(diǎn)（不與、重合），過點(diǎn)分別作，，、為垂足，則可以判斷四邊形的形狀為___________．若菱形的邊長為，，則的最小值為___________．（用含的式子表示）課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023上·河北保定·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，且，點(diǎn)D是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，連接，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，則線段的最小值為（

）

A． B．5 C． D．2．（2023上·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，分別是，的中點(diǎn)，則的最小值為（

）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.83．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接，則的最小值是_________．5．（2023上·天津河?xùn)|·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，長方形中，，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，則的最小值為

6．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，是的中點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的最小值為．7．（2023下·廣東佛山·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，，，點(diǎn)是射線上的任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連，則線段的最小值為．8．（2023上·陜西延安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長為是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段的長的最小值為．9．（2022·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，則的最小值為__________．10．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（含B，C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為_____．11．（2023·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，則的最小值為__________．12．（2023·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，菱形中，，，點(diǎn)在邊上，且，動(dòng)點(diǎn)在邊上，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段，連接，則線段長的最小值為.

13．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，線段的長為12，點(diǎn)在上（不與端點(diǎn)重合），以為邊向上作等邊，過作與垂直的射線，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），以、為邊作矩形，對(duì)角線與交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為．

14．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，正方形的邊長是8，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)F是線段上不與點(diǎn)D，E重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，則線段的最小值為．

15．（2023上·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，