數(shù)學成長訓練：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精主動成長夯基達標1.若函數(shù)f（x）=sin（kx+)的最小正周期為，則正常數(shù)k的值為（）A。2B。3C.4解析：,∴k=3.答案:B2.已知函數(shù)y=2sinωx（ω＞0）的圖象與直線y+2=0的相鄰的兩個公共點之間的距離為,則ω的值為（)A.3B.C.D。解析:,∴ω=3。答案：A3。圖1—5-4是周期為2π的三角函數(shù)y=f(x）的圖象,那么f（x)可以寫成（)圖1—5-4A。sin(1+x)B。sin(—1-x）C。sin（x-1）D.sin(1-x)解析:函數(shù)y=f（x）的圖象過點(1，0），即f(1）=0，可排除A,B，又因為y=f（x)的圖象過點（0，b），b＞0，即f(0)＞0,可排除C，故選D.答案:D4。若函數(shù)f（x）=sin(ωx+φ）的圖象(部分）如圖1—5—5所示，則ω和φ的取值是（)圖1—5-5A。ω=1，φ=B。ω=1，φ=-C。ω=,φ=D.ω=,φ=-解析:相鄰關(guān)鍵點相差四分之一個周期，即—（—)=π,T=4π，ω==.又×+φ=+2kπ,∴φ=.答案:C5.下列四個函數(shù)中,最小正周期是π且圖象關(guān)于x=對稱的是()A.y=sin（+)B。y=sin(2x+）C.y=sin(2x-)D。y=sin（2x—)解析：對于A，T==4π,舍去.對于B，T==π，令2x+=kπ+,∴2x=kπ+.∴x=+(k∈Z)，舍去。對于C，T==π，令2x—=kπ+，∴2x=kπ+?！鄕=+（k∈Z）,不合題意,舍去.對于D，T==π，令2x-=kπ+,∴2x=kπ+.∴x=+(k∈Z).令k=0,得x=?！噙xD。答案：D6。ω是正實數(shù),函數(shù)f（x）=2sinωx在［—，］上是增函數(shù),那么（)A。0＜ω≤B.0＜ω≤2C。0＜ω≤D.ω≥2解析:函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是2kπ-≤ωx≤2kπ+,∵ω＞0,∴≤x≤(k∈Z）.由題意知∴0＜ω≤.答案:A7。已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0）,在一個周期內(nèi),當x=時,取得最大值2，當x=時，取得最小值—2，那么（)A。y=sin(x+)B.y=2sin(2x+）C。y=2sin（2x+）D。y=sin（+)解析:由已知得A=2,T=2()=π，∴ω=2.又點（，2)在圖象上，可驗證y=2sin（2x+).答案:B8。函數(shù)y=3sin(2x+）的圖象，可由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過下述_________變換而得到。（)A。向右平移個單位,橫坐標縮小到原來的,縱坐標擴大到原來的3倍B.向左平移個單位，橫坐標縮小到原來的,縱坐標擴大到原來的3倍C。向右平移個單位,橫坐標擴大到原來的2倍,縱坐標縮小到原來的D.向左平移個單位，橫坐標縮小到原來的，縱坐標縮小到原來的解析:y=sinxy=sin(x+)y=sin(2x+)y=3sin(2x+）。答案：B9.函數(shù)y=2sin(—x)的單調(diào)遞增區(qū)間為______________;單調(diào)遞減區(qū)間為______________。解析：y=2sin（-x）=-2sin(x-).∵y=sinu(u∈R)的遞增,遞減區(qū)間分別為[2kπ-,2kπ+］（k∈Z）,[2kπ+,2kπ+］(k∈Z）.∴函數(shù)y=-2sin（x—)的遞增,遞減區(qū)間分別由下面的不等式確定:2kπ+≤x—≤2kπ+(k∈Z)，2kπ—≤x-≤2kπ+(k∈Z）,得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）,2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z）.∴函數(shù)y=2sin(-x)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間分別為[2kπ+,2kπ+］(k∈Z)，[2kπ—，2kπ+](k∈Z).答案：［2kπ+,2kπ+］（k∈Z）[2kπ-，2kπ+］（k∈Z)10。關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+）(x∈R）有以下命題：①由f（x1)=f(x2）=0有x1-x2必是π的整數(shù)倍；②y=f(x）的表達式可改寫為y=4cos（2x-)；③y=f（x）的圖象關(guān)于點（—，0)對稱；④y=f(x）的圖象關(guān)于直線x=—對稱。其中正確的命題是___________。解析:對于①，f(x1)=4sin（2x1+）=0,f(x2)=4sin（2x2+)=0，∴2x1+=k1π，2x2+=k2π.∴x1=，x2=.∴x1-x2=(k1π--k2π+）=。k1-k2不一定為偶數(shù),∴x1-x2不一定為π的整數(shù)倍.∴①錯誤.對于②,y=4sin（2x+）=4cos(—2x—)=4cos（—2x）=4cos(2x—)，∴②正確.對于③,令2x+=kπ，∴2x=kπ-.∴x=—.令k=0,∴一個對稱中心為(—，0）,③正確.對于④,令2x+=kπ+，∴2x=kπ+.∴x=，故④錯誤.故選②③.答案:②③11.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0,|φ｜＜)的圖象的一個最高點為（2，),由這個最高點到相鄰最低點，圖象與x軸交于點（6,0)，試求這個函數(shù)的解析式.解：已知函數(shù)最高點為(2,），所以A=.又由題意知從最高點到相鄰最低點時與x軸相交于點(6,0)，而最高點與此交點沿橫軸方向的距離正好為個周期長度,所以=6—2=4，即T=16。所以ω=。所以y=sin(x+φ).將點(6，0)的坐標代入,有sin(×6+φ）=0.所以sin(+φ)=0。又因為|φ｜＜,所以φ=.所以函數(shù)的解析式為y=sin（x+).12。已知函數(shù)f（x)=sin（ωx+φ）(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M(，0)對稱,且在區(qū)間［0,］上是單調(diào)函數(shù),求φ和ω的值。解:由f(x）是偶函數(shù)，得f(—x）=f（x)，即sin(—ωx+φ)=sin(ωx+φ)，所以—cosφsinωx=cosφsinωx,對任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0.依題設(shè)0≤φ≤π，所以解得φ=.由f（x）的圖象關(guān)于點M對稱得f(-x)=—f（+x）,取x=0,得f()=sin(+）=cos,∴cos=0。又ω＞0,得=+kπ，k=1,2，3，…，∴ω=(2k+1)，k=0，1，2，…當k=0時,ω=,f(x)=sin(x+）在［0，］上是減函數(shù)；當k=1時，ω=2,f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù);當k≥0時，ω=,f（x)=sin（ωx+）在［0，］上不是單調(diào)函數(shù).所以綜合得ω=或ω=2.走近高考13.(2006江蘇高考,4)為了得到函數(shù)y=2sin（+），x∈R的圖象，只需把函數(shù)y=2sinx，x∈R的圖象上所有的點()A.向左平移個單位長度,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)B。向右平移個單位長度,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）C。向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變）D.向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）解析：將y=2sinx的圖象向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變),可得y=2sin（+)的圖象。答案:C14.(2006四川高考,5）下列函數(shù)中,圖象的一部分如圖1—5-6所示的是（）圖1-5—6A.y=sin(x+)B。y=sin(2x—)C。y=cos(4x-）D.y=cos（2x-)解析：T=4(+）=π，則ω=2，否定A，C；又過(,1),則否定B.答案:D15.(20