數(shù)學學案：第三章古典概型的特征和概率計算公式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§2古典概型2.1古典概型的特征和概率計算公式1．理解古典概型的兩個基本特征,掌握古典概型的概率計算公式．2．會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及其發(fā)生的概率．古典概型1．定義:如果一個概率模型滿足：(1）試驗的所有可能結(jié)果只有________個,每次試驗只出現(xiàn)其中的________個結(jié)果；(2)每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能性________．我們把具有這樣兩個特征的隨機試驗的數(shù)學模型稱為古典概型(古典的概率模型)．【做一做1】下列試驗中，是古典概型的有（）．A．拋擲一枚圖釘,發(fā)現(xiàn)釘尖朝上B．某人到達路口看到綠燈C．拋擲一枚均勻的正方體骰子，觀察向上的點數(shù)D．從10cm3水中任取1滴，檢查有無細菌2．基本事件：在一次試驗中，所有可能發(fā)生的基本結(jié)果中不能再分的最簡單的隨機事件稱為該次試驗中的基本事件．試驗中其他的事件(除不可能事件外）都可以用________來描繪．【做一做2－1】口袋中裝有4個紅、白、藍、黑四種顏色且形狀相同的小球，從中任意取出2個小球,寫出所有的基本事件．【做一做2－2】袋中有2個紅球，2個白球，2個黑球,從里面任意摸2個小球，下列事件不是基本事件的是()．A．｛正好2個紅球}B．｛正好2個黑球｝C．｛正好2個白球｝D．{至少1個紅球}3．計算公式：對于古典概型，如果試驗的所有可能結(jié)果(基本事件）數(shù)為n，隨機事件A包含的基本事件數(shù)為m，那么事件A的概率規(guī)定為P(A)＝________。求古典概型的概率有兩種方法：一是公式法，即利用古典概型的概率計算公式求解；二是隨機模擬方法,當用公式法不易求解時可以考慮用隨機模擬的方法估計概率的近似值．【做一做3－1】拋擲一枚硬幣，正面向上的概率是（)．A．eq\f（1，4）B．eq\f(1，3）C．eq\f(1，2)D．1【做一做3－2】將一枚均勻的硬幣連擲3次，出現(xiàn)“2個正面,1個反面”和“1個正面，2個反面"的概率各是多少？怎樣計算古典概型中基本事件的總數(shù)？剖析：計算古典概型中基本事件的總數(shù)時，通常利用列舉法．列舉法就是把所有的基本事件一一列舉出來,再逐個數(shù)出．例如：把從4個除編號外完全相同的球中任取兩個看成一次試驗，那么這次試驗共有多少種可能的結(jié)果？為了表述方便，對這四個球編號為1,2,3，4。把每次取出的兩個球的號碼寫在一個括號內(nèi)，則有:(1,2)，(1，3)，（1，4），(2，3),(2,4)，（3，4)，所以共有6個基本事件．本例中是按含有1號球,含有2號球，含有3號球的順序來列舉的，這樣做可以避免出現(xiàn)重復或遺漏，因此要按一定的順序標準來寫．用數(shù)對來表示試驗結(jié)果是非常重要的表示方法，這種表示方法要注意數(shù)對中的兩個量是否有順序限制,本題中沒有限制．有時還可以在直角坐標系中用點來表示．有時也可以根據(jù)歸納的結(jié)論來計算．其常見結(jié)論是：把從n個量中任取出2個量看成一次試驗，如果這2個量沒有順序，那么這次試驗有eq\f(n（n－1)，2)個基本事件；如果這2個量有順序,那么這次試驗有n（n－1)個基本事件．可以作為結(jié)論記?。ú灰笞C明），在選擇題或填空題中可以直接應用．題型一基本事件個數(shù)的求法【例題1】將一顆均勻的骰子先后拋擲兩次，計算：（1)一共有多少種不同的結(jié)果？(2）其中向上的點數(shù)之和是質(zhì)數(shù)的結(jié)果有多少種?分析：用列舉法列出所有結(jié)果，然后按要求進行判斷即可．反思：列舉法是探求基本事件的常用方法，列舉時必須按照某一標準進行，要做到不重、不漏．題型二古典概型的概念【例題2】(1）在線段［0,3］上任取一點,求此點的坐標小于1的概率,問此試驗的概率模型是否為古典概型？為什么？（2）從1，2,3,4四個數(shù)中任意取出兩個數(shù),求所取兩數(shù)之一是2的概率，此試驗的概率模型是古典概型嗎?試說明理由．分析:要判斷試驗的概率模型是否為古典概型，只需看該試驗中所有可能的結(jié)果（基本事件）是否為有限個；每個結(jié)果出現(xiàn)的概率是否相等．反思：判斷一個試驗的概率模型是否為古典概型，關鍵是看它是否具備古典概型的兩個特征：（1)一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，即有限性；（2)每個基本事件發(fā)生的可能性是均等的,即等可能性．題型三古典概型的概率計算【例題3】某商場舉行購物抽獎促銷活動，規(guī)定每位顧客從裝有編號為0，1,2，3四個相同小球的抽獎箱中，每次取出一球記下編號后放回,連續(xù)取兩次，若取出的兩個小球號碼相加之和等于6，則中一等獎,等于5中二等獎,等于4或3中三等獎．(1)求中三等獎的概率；（2）求中獎的概率．分析：分別寫出所有基本事件，利用古典概型的概率計算公式求出概率．反思：解決古典概型問題的關鍵是首先明確基本事件是什么，然后分清基本事件總數(shù)n與事件A所含的基本事件數(shù)m，因此要注意以下幾個方面:①明確基本事件是什么；②試驗是否是等可能性的試驗；③基本事件總數(shù)是多少；④事件A包含多少個基本事件．題型四易錯辨析【例題4】擲兩枚硬幣,求兩枚硬幣正面向上的概率．錯解:擲兩枚硬幣出現(xiàn)的情況為：一正一反、兩正、兩反共3個基本事件，所以概率為P＝eq\f(1，3)。錯因分析：以上3個基本事件不是等可能的，如兩正只有一種情況，而一正一反就有2種情況．事實上，擲兩枚硬幣共有4個基本事件,而且是等可能的．1下列隨機試驗的數(shù)學模型屬于古典概型的是(）．A．在一定的條件下，種一粒種子，它可能發(fā)芽,也可能不發(fā)芽B．在平面直角坐標系內(nèi)，從橫坐標和縱坐標都為整數(shù)的所有點中任取一個點C．某射手射擊一次,可能命中0環(huán),1環(huán)，2環(huán),…，10環(huán)D．四位同學用抽簽的方法選一人去參加一個座談會2拋擲一枚均勻的正方體骰子，向上的點數(shù)是5或6的概率是（）．A．B．C．D．13在5張卡片上分別寫上數(shù)字1，2,3，4，5,然后將它們混合后，再任意排成一行,則得到的五位數(shù)能被2或5整除的概率是（)．A．0。2B．0。4C．0。6D．0.84擲一枚骰子，骰子落地時向上的點數(shù)是3的倍數(shù)的概率是__________．5袋中裝有除顏色外其他均相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)依次有放回地隨機摸取3次，每次摸取一個球．（1）試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果．（2）若摸到紅球時得2分,摸到黑球時得1分，求3次摸球所得總分為5的概率．答案：基礎知識·梳理1．（1)有限一（2）相同【做一做1】C2．基本事件【做一做2－1】解：所有的基本事件有6個，分別是A＝{紅，白｝，B＝｛紅，藍},C＝{紅,黑},D＝｛白，藍}，E＝{白，黑｝，F(xiàn)＝｛藍,黑}．【做一做2－2】D至少1個紅球包含：一紅一白或一紅一黑或2個紅球,所以{至少1個紅球｝不是基本事件，其他事件都是基本事件．3．eq\f(m,n)【做一做3－1】C【做一做3－2】解:一枚均勻的硬幣連擲3次，每次落地都有2種不同的情況,故共有基本事件總數(shù)為n＝8。記“2個正面，1個反面"為事件A,“1個正面，2個反面”為事件B,則A＝{（正，正，反),(正,反，正)，(反，正，正）},含有3個基本事件，B＝｛（反,反,正)，（反，正，反)，（正,反,反)}，含有3個基本事件，故由古典概型的概率公式得P(A）＝eq\f(3,8），P(B）＝eq\f（3,8)。典型例題·領悟【例題1】解：(1）將拋擲兩次骰子的所有結(jié)果一一列舉如下：(1,1）（1，2）(1,3)（1，4）（1,5)(1，6），（2,1)（2,2)(2,3）(2，4）(2,5）(2,6），（3,1）(3，2)(3，3）(3，4)（3,5)（3，6)，（4，1）(4，2)（4，3)（4，4)(4，5)（4，6）,(5，1)(5,2）（5，3)(5,4）（5,5）（5，6），（6,1)(6，2)（6,3)(6,4)(6,5)(6，6)，共有36種不同的結(jié)果．（2)點數(shù)之和是質(zhì)數(shù)的結(jié)果有(1,1)，(1，2），（1，4），（1，6)，(2,1),(2,3），(2，5),(3,2)，（3,4），(4，1)，(4，3),(5,2），(5，6)，(6，1)，（6，5),共15種．【例題2】解：（1）此試驗的概率模型不屬于古典概型．在線段［0，3］上任取一點，此點可以在［0，3]上的任一位置，且在每個位置的可能性是相同的,具備等可能性．但試驗結(jié)果有無限多個，不滿足試驗結(jié)果的有限性．（2)此試驗的概率模型是古典概型．因為此試驗的基本事件總數(shù)為6：(1，2)，（1，3），（1，4），（2,3)，(2,4)，（3,4)，且每個基本事件的出現(xiàn)是等可能的,因此屬于古典概型,所取兩數(shù)之一是2的概率為eq\f（3,6)＝eq\f(1,2).【例題3】解：設“中三等獎"為事件A,“中獎”為事件B,從四個小球中有放回地取兩球有：（0，0)，(0，1）,（0,2)，（0，3)，（1,0)，（1,1)，(1，2）,（1，3），(2，0)，（2,1），（2，2),（2,3),（3,0)，(3,1)，（3,2），（3,3)，共16種不同的結(jié)果．（1）取出的兩個小球號碼相加之和等于4或3的取法有：（1，3），(2，2)，（3,1)，（0,3)，（1,2)，（2，1),(3,0）共7種結(jié)果,則中三等獎的概率為P(A)＝eq\f（7,16)。(2)由（1）知兩個小球號碼相加之和等于3或4的取法有7種；兩個小球號碼相加之和等于5的取法有2種：（2,3），（3，2)．兩個小球號碼相加之和等于6的取法有1種：（3,3)．則中獎的概率為P（B）＝eq\f(7＋2＋1，16)＝eq\f（5，8).【例題4】正解：由題意可知，擲兩枚硬幣其結(jié)果共有4個基本事件，且是等可能的，所以“兩枚硬幣正面向上”的概率為P＝eq\f(1，4).隨堂練習·鞏固1．D2．B3．C一個五位數(shù)能否被5整除關鍵看其個位數(shù)字，而由1，2,3，4，5組成的五位數(shù)中，1，2,3,4,5出現(xiàn)在個位是等可能的．所以個位數(shù)字的基本事件空間Ω＝｛1，2，3,4，5}，“能被2或5整除”這一事件中含有基本事件2,4，5，概率為eq\f(3，5）＝0。6。故選C.4．eq\f（1,3）擲骰子的結(jié)果共有6種，其中是3的倍