數(shù)學(xué)學(xué)案：第三章互斥事件

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.3互斥事件1．理解互斥事件和對立事件的定義，能根據(jù)定義辨別一些事件是否互斥，是否對立．2．掌握兩個互斥事件的概率加法公式及對立事件的概率計算公式的應(yīng)用．1．互斥事件（1)定義：在一個隨機(jī)試驗中，我們把一次試驗下不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件．（2）規(guī)定：事件A＋B發(fā)生是指事件A和B至少有一個發(fā)生．①A，B互斥是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生．②如果事件A與B是互斥事件，那么A與B兩事件同時發(fā)生的概率為0。③與集合類比，可用圖表示，如圖所示．（3）公式:在一次隨機(jī)試驗中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，那么有P(A＋B）＝________。①事件A與事件B互斥，如果沒有這一條件，加法公式將不能應(yīng)用．②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥,那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P（A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于它們概率的和．③在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時，可將其分解成一些概率較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易．【做一做1－1】判斷下列說法是否正確,并說明原因：(1)將一枚硬幣拋擲兩次,設(shè)事件A：“兩次都出現(xiàn)正面”，事件B：“兩次都出現(xiàn)反面”，則事件A與B是互斥事件；（2)在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中取3件．事件A:“所取3件中最多有兩件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，則事件A與B是互斥事件．【做一做1－2】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2），乙獲勝的概率是eq\f（1，3），則乙不輸?shù)母怕适莀_______．2．對立事件（1)定義：在一次試驗中，如果兩個事件A與B不能同時發(fā)生，并且一定有一個__________，那么事件A與B稱作對立事件,事件A的對立事件記為eq\x\to（A).（2）性質(zhì)：P（A)＋P（eq\x\to（A）)＝1，即P(A）＝1－________。①對立事件的特征：一次試驗中,不會同時發(fā)生，且必有一個事件發(fā)生．②對立事件是特殊的互斥事件，即對立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件．③從集合角度看，事件A的對立事件，是全集中由事件A所含結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．【做一做2－1】袋中裝有除顏色外其他均相同的白球和黑球各3個，從中任取2球，在下列事件中是對立事件的是()．A．恰有1個白球和恰有2個黑球B．至少有1個白球和全是白球C．至少有1個白球和至少有1個黑球D．至少有1個白球和全是黑球【做一做2－2】事件A與B是對立事件，且P（A）＝0.6，則P（B)等于（）．A．0.4B．0。5C．0.6D．1為什么P（A＋B)＝P（A）＋P(B）不成立？剖析：要證明一個等式不成立，只需舉出一個反例即可．例如：拋擲一枚骰子,向上的點數(shù)是偶數(shù)為事件A，向上的點數(shù)是3的倍數(shù)為事件B,則A＋B表示向上的點數(shù)是偶數(shù)或3的倍數(shù),則P（A)＝eq\f（1,2），P(B）＝eq\f（1,3)，P(A）＋P（B）＝eq\f（5,6），P(A＋B)＝eq\f（2,3),所以此時P（A＋B)≠P（A)＋P(B）,即P(A＋B)＝P(A）＋P(B)不成立．上例中P(A＋B)＝P（A）＋P（B)不成立的原因是事件A與事件B不是互斥事件．其實對于任意事件A與B,有P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P(A∩B)（不要求證明也不要求會用），那么當(dāng)且僅當(dāng)事件A與事件B是互斥事件時，P(A∩B)＝0,此時才有P（A＋B)＝P（A)＋P(B)成立．題型一互斥事件與對立事件的判斷【例題1】判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件,并說明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數(shù)從1到10各10張)中，任取一張．（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃"；(2)“抽出紅色牌"與“抽出黑色牌";(3)“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9"．分析：互斥事件不能同時發(fā)生,對立事件既不能同時發(fā)生，又必有一個發(fā)生；定義是判斷事件是否是互斥事件、對立事件的一種最有效、最簡便的基本方法．反思：(1）互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件．（2)要緊扣互斥事件的概念，判斷兩個事件是否能同時發(fā)生是關(guān)鍵．題型二概率的有關(guān)計算【例題2】甲、乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?。8，兩人下成和棋的概率是0.5，求甲獲勝的概率．分析：甲、乙兩人下棋結(jié)果為：甲勝、和棋、乙勝．甲不輸為和棋或甲勝．反思：(1)若一個事件比較復(fù)雜時，可轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和來求解．（2)公式P(A＋B)＝P（A)＋P(B)的使用條件是事件A，B互斥，否則不成立．題型三互斥事件、對立事件的綜合應(yīng)用【例題3】一盒中裝有各色球12只,其中5只紅球、4只黑球、2只白球、1只綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：（1）取出1球是紅球或黑球的概率；(2）取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．反思：（1）解決此類問題,首先應(yīng)結(jié)合互斥事件和對立事件的定義分析出事件是不是互斥事件和對立事件,再決定使用哪一公式，不要由于亂套公式而導(dǎo)致出錯．（2）要注意分類討論和等價轉(zhuǎn)化思想的運用．題型四易錯辨析【例題4】拋擲一枚均勻的骰子(它的每一面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2,3，4,5，6）,事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過3”，求P(A＋B）．錯解:P（A)＝eq\f（3,6）＝eq\f(1，2)，P(B)＝eq\f(3,6）＝eq\f(1,2），∴P（A＋B)＝P(A）＋P（B)＝eq\f(1，2)＋eq\f（1,2)＝1。錯因分析:錯解的原因在于忽視了“事件和”概率公式應(yīng)用的前提條件．由于“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”與“朝上一面的數(shù)不超過3”二者不是互斥事件,即出現(xiàn)1或3時，事件A,B同時發(fā)生，所以不能應(yīng)用P(A＋B)＝P（A）＋P（B）求解．1從一批產(chǎn)品中取出三件,設(shè)A表示“三件產(chǎn)品全不是次品”，B表示“三件產(chǎn)品全是次品”，C表示“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是（)．A．A與C互斥B．B與C互斥C．任兩個均互斥D．任兩個均不互斥2一人射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的對立事件是()．A．兩次都不中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．至多有一次中靶3拋擲一枚均勻的正方體骰子,記A為事件“落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)”,C為事件“落地時向上的點數(shù)是3的倍數(shù)”．其中是互斥事件的是______，是對立事件的是______．4有朋自遠(yuǎn)方來，已知他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來的概率分別是0.3、0。2、0。1、0。4.（1）求他乘火車或飛機(jī)來的概率；(2)求他不乘輪船來的概率．答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．（3）P（A)＋P（B)【做一做1－1】解：（1）正確．A和B是互斥事件．因為這兩個事件在一次試驗中不會同時發(fā)生．（2)不正確．A和B不是互斥事件，因為事件A包括三種情況：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件正品；事件B包含兩種情況：2件次品1件正品,3件次品．從而事件A，B可以同時發(fā)生，故不互斥．【做一做1－2】eq\f(5,6)乙不輸?shù)母怕蕿閑q\f（1,2）＋eq\f（1，3）＝eq\f（5，6）。2．（1）發(fā)生(2）P（eq\x\to（A））【做一做2－1】D至少有一個白球的反面是沒有白球，即全是黑球．【做一做2－2】AP（B）＝1－P（A)＝0。4.典型例題·領(lǐng)悟【例題1】解：（1)是互斥事件，不是對立事件．理由是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，兩者不是對立事件．(2）既是互斥事件，又是對立事件．理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發(fā)生，且其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．（3)不是互斥事件，也不是對立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得點數(shù)為10，因此,兩者不是互斥事件，也不是對立事件．【例題2】解:設(shè)“甲勝”為事件A，“和棋"為事件B，A，B為互斥事件,則P（A＋B)＝P（A）＋P(B）＝0.8，∴P(A）＝0.8－P（B）＝0.8－0.5＝0.3.∴甲獲勝的概率為0。3?！纠}3】解法一:（1)從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取1球有12種取法．∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(9，12)＝eq\f(3,4)。（2)從12只球中任取1球得紅球有5種取法,得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f（5＋4＋2，12)＝eq\f(11，12）。解法二:（利用互斥事件求概率）記事件A1＝｛任取1球為紅球}；A2＝{任取1球為黑球｝；A3＝｛任取1球為白球};A4＝｛任取1球為綠球}，則P(A1）＝eq\f(5,12）,P(A2）＝eq\f(4，12），P（A3）＝eq\f(2，12）,P（A4)＝eq\f(1,12）。根據(jù)題意知，事件A1，A2,A3，A4彼此互斥,由互斥事件概率公式得(1）取出1球為紅球或黑球的概率為P（A1＋A2）＝P(A1)＋P（A2）＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12）＝eq\f（3,4)。（2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P（A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P（A3）＝eq\f（5,12）＋eq\f（4，12）＋eq\f(2，12）＝eq\f(11,12)。解法三：（利用對立事件求概率）(1)由方法二知,取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出一白球或綠球，即A1＋A2的對立事件為A3＋A4。所以取得紅球或黑球的概率為P（A1＋A2）＝1－P(A3＋A4）＝1－P(A3）－P（A4）＝1－eq\f(2，12)－eq\f(1，12)＝eq\f（9,12)＝eq\f（3,4）.(2）A1＋A2＋A3的對立事件為A4,所以P（A1＋A2＋A3）＝1－P(A4）＝1－eq\f（1，12)＝eq\f（11,12）?！纠}4】正解：A＋B這一事件包括4種結(jié)果，即出現(xiàn)1,2,3和5,所以P（A＋B）＝eq\f(3,6)＋eq\f（1,6）＝eq\f（2,3).隨堂練習(xí)·鞏固1．B2．A“至少有一次中靶"即“一次或兩次中靶”，所以“至少有一次中靶”與“