數(shù)學(xué)學(xué)案：第三章互斥事件

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2.3互斥事件1．理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，能根據(jù)定義辨別一些事件是否互斥，是否對(duì)立．2．掌握兩個(gè)互斥事件的概率加法公式及對(duì)立事件的概率計(jì)算公式的應(yīng)用．1．互斥事件（1)定義：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B稱(chēng)作互斥事件．（2）規(guī)定：事件A＋B發(fā)生是指事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生．①A，B互斥是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生．②如果事件A與B是互斥事件，那么A與B兩事件同時(shí)發(fā)生的概率為0。③與集合類(lèi)比，可用圖表示，如圖所示．（3）公式:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，那么有P(A＋B）＝________。①事件A與事件B互斥，如果沒(méi)有這一條件，加法公式將不能應(yīng)用．②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥,那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P（A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于它們概率的和．③在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，可將其分解成一些概率較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易．【做一做1－1】判斷下列說(shuō)法是否正確,并說(shuō)明原因：(1)將一枚硬幣拋擲兩次,設(shè)事件A：“兩次都出現(xiàn)正面”，事件B：“兩次都出現(xiàn)反面”，則事件A與B是互斥事件；（2)在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中取3件．事件A:“所取3件中最多有兩件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，則事件A與B是互斥事件．【做一做1－2】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2），乙獲勝的概率是eq\f（1，3），則乙不輸?shù)母怕适莀_______．2．對(duì)立事件（1)定義：在一次試驗(yàn)中，如果兩個(gè)事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，并且一定有一個(gè)__________，那么事件A與B稱(chēng)作對(duì)立事件,事件A的對(duì)立事件記為eq\x\to（A).（2）性質(zhì)：P（A)＋P（eq\x\to（A）)＝1，即P(A）＝1－________。①對(duì)立事件的特征：一次試驗(yàn)中,不會(huì)同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)事件發(fā)生．②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，即對(duì)立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件．③從集合角度看，事件A的對(duì)立事件，是全集中由事件A所含結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．【做一做2－1】袋中裝有除顏色外其他均相同的白球和黑球各3個(gè)，從中任取2球，在下列事件中是對(duì)立事件的是()．A．恰有1個(gè)白球和恰有2個(gè)黑球B．至少有1個(gè)白球和全是白球C．至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球D．至少有1個(gè)白球和全是黑球【做一做2－2】事件A與B是對(duì)立事件，且P（A）＝0.6，則P（B)等于（）．A．0.4B．0。5C．0.6D．1為什么P（A＋B)＝P（A）＋P(B）不成立？剖析：要證明一個(gè)等式不成立，只需舉出一個(gè)反例即可．例如：拋擲一枚骰子,向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)為事件A，向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)為事件B,則A＋B表示向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)或3的倍數(shù),則P（A)＝eq\f（1,2），P(B）＝eq\f（1,3)，P(A）＋P（B）＝eq\f（5,6），P(A＋B)＝eq\f（2,3),所以此時(shí)P（A＋B)≠P（A)＋P(B）,即P(A＋B)＝P(A）＋P(B)不成立．上例中P(A＋B)＝P（A）＋P（B)不成立的原因是事件A與事件B不是互斥事件．其實(shí)對(duì)于任意事件A與B,有P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P(A∩B)（不要求證明也不要求會(huì)用），那么當(dāng)且僅當(dāng)事件A與事件B是互斥事件時(shí)，P(A∩B)＝0,此時(shí)才有P（A＋B)＝P（A)＋P(B)成立．題型一互斥事件與對(duì)立事件的判斷【例題1】判斷下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件,并說(shuō)明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1到10各10張)中，任取一張．（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃"；(2)“抽出紅色牌"與“抽出黑色牌";(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9"．分析：互斥事件不能同時(shí)發(fā)生,對(duì)立事件既不能同時(shí)發(fā)生，又必有一個(gè)發(fā)生；定義是判斷事件是否是互斥事件、對(duì)立事件的一種最有效、最簡(jiǎn)便的基本方法．反思：(1）互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．（2)要緊扣互斥事件的概念，判斷兩個(gè)事件是否能同時(shí)發(fā)生是關(guān)鍵．題型二概率的有關(guān)計(jì)算【例題2】甲、乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?。8，兩人下成和棋的概率是0.5，求甲獲勝的概率．分析：甲、乙兩人下棋結(jié)果為：甲勝、和棋、乙勝．甲不輸為和棋或甲勝．反思：(1)若一個(gè)事件比較復(fù)雜時(shí)，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和來(lái)求解．（2)公式P(A＋B)＝P（A)＋P(B)的使用條件是事件A，B互斥，否則不成立．題型三互斥事件、對(duì)立事件的綜合應(yīng)用【例題3】一盒中裝有各色球12只,其中5只紅球、4只黑球、2只白球、1只綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：（1）取出1球是紅球或黑球的概率；(2）取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．反思：（1）解決此類(lèi)問(wèn)題,首先應(yīng)結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義分析出事件是不是互斥事件和對(duì)立事件,再?zèng)Q定使用哪一公式，不要由于亂套公式而導(dǎo)致出錯(cuò)．（2）要注意分類(lèi)討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．題型四易錯(cuò)辨析【例題4】拋擲一枚均勻的骰子(它的每一面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2,3，4,5，6）,事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過(guò)3”，求P(A＋B）．錯(cuò)解:P（A)＝eq\f（3,6）＝eq\f(1，2)，P(B)＝eq\f(3,6）＝eq\f(1,2），∴P（A＋B)＝P(A）＋P（B)＝eq\f(1，2)＋eq\f（1,2)＝1。錯(cuò)因分析:錯(cuò)解的原因在于忽視了“事件和”概率公式應(yīng)用的前提條件．由于“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”與“朝上一面的數(shù)不超過(guò)3”二者不是互斥事件,即出現(xiàn)1或3時(shí)，事件A,B同時(shí)發(fā)生，所以不能應(yīng)用P(A＋B)＝P（A）＋P（B）求解．1從一批產(chǎn)品中取出三件,設(shè)A表示“三件產(chǎn)品全不是次品”，B表示“三件產(chǎn)品全是次品”，C表示“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是（)．A．A與C互斥B．B與C互斥C．任兩個(gè)均互斥D．任兩個(gè)均不互斥2一人射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是()．A．兩次都不中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．至多有一次中靶3拋擲一枚均勻的正方體骰子,記A為事件“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”,C為事件“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”．其中是互斥事件的是______，是對(duì)立事件的是______．4有朋自遠(yuǎn)方來(lái)，已知他乘火車(chē)、輪船、汽車(chē)、飛機(jī)來(lái)的概率分別是0.3、0。2、0。1、0。4.（1）求他乘火車(chē)或飛機(jī)來(lái)的概率；(2)求他不乘輪船來(lái)的概率．答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．（3）P（A)＋P（B)【做一做1－1】解：（1）正確．A和B是互斥事件．因?yàn)檫@兩個(gè)事件在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生．（2)不正確．A和B不是互斥事件，因?yàn)槭录嗀包括三種情況：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件正品；事件B包含兩種情況：2件次品1件正品,3件次品．從而事件A，B可以同時(shí)發(fā)生，故不互斥．【做一做1－2】eq\f(5,6)乙不輸?shù)母怕蕿閑q\f（1,2）＋eq\f（1，3）＝eq\f（5，6）。2．（1）發(fā)生(2）P（eq\x\to（A））【做一做2－1】D至少有一個(gè)白球的反面是沒(méi)有白球，即全是黑球．【做一做2－2】AP（B）＝1－P（A)＝0。4.典型例題·領(lǐng)悟【例題1】解：（1)是互斥事件，不是對(duì)立事件．理由是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，兩者不是對(duì)立事件．(2）既是互斥事件，又是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．（3)不是互斥事件，也不是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得點(diǎn)數(shù)為10，因此,兩者不是互斥事件，也不是對(duì)立事件．【例題2】解:設(shè)“甲勝”為事件A，“和棋"為事件B，A，B為互斥事件,則P（A＋B)＝P（A）＋P(B）＝0.8，∴P(A）＝0.8－P（B）＝0.8－0.5＝0.3.∴甲獲勝的概率為0。3?！纠}3】解法一:（1)從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取1球有12種取法．∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(9，12)＝eq\f(3,4)。（2)從12只球中任取1球得紅球有5種取法,得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f（5＋4＋2，12)＝eq\f(11，12）。解法二:（利用互斥事件求概率）記事件A1＝｛任取1球?yàn)榧t球}；A2＝{任取1球?yàn)楹谇颍?；A3＝｛任取1球?yàn)榘浊騷;A4＝｛任取1球?yàn)榫G球}，則P(A1）＝eq\f(5,12）,P(A2）＝eq\f(4，12），P（A3）＝eq\f(2，12）,P（A4)＝eq\f(1,12）。根據(jù)題意知，事件A1，A2,A3，A4彼此互斥,由互斥事件概率公式得(1）取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P（A1＋A2）＝P(A1)＋P（A2）＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12）＝eq\f（3,4)。（2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P（A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P（A3）＝eq\f（5,12）＋eq\f（4，12）＋eq\f(2，12）＝eq\f(11,12)。解法三：（利用對(duì)立事件求概率）(1)由方法二知,取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出一白球或綠球，即A1＋A2的對(duì)立事件為A3＋A4。所以取得紅球或黑球的概率為P（A1＋A2）＝1－P(A3＋A4）＝1－P(A3）－P（A4）＝1－eq\f(2，12)－eq\f(1，12)＝eq\f（9,12)＝eq\f（3,4）.(2）A1＋A2＋A3的對(duì)立事件為A4,所以P（A1＋A2＋A3）＝1－P(A4）＝1－eq\f（1，12)＝eq\f（11,12）。【例題4】正解：A＋B這一事件包括4種結(jié)果，即出現(xiàn)1,2,3和5,所以P（A＋B）＝eq\f(3,6)＋eq\f（1,6）＝eq\f（2,3).隨堂練習(xí)·鞏固1．B2．A“至少有一次中靶"即“一次或兩次中靶”，所以“至少有一次中靶”與“