蘇教版七年級數(shù)學(xué)上冊學(xué)習(xí)講義(附習(xí)題答案)

蘇教版七年級數(shù)學(xué)上冊學(xué)習(xí)講義（附習(xí)題答案）第2章有理數(shù)2.1正數(shù)與負數(shù)知識點1正數(shù)和負數(shù)1.比0大的數(shù)是正數(shù)，比0小的數(shù)是負數(shù).0既不是正數(shù)也不是負數(shù).2.“+”讀作“正”，如“+2”讀作“正2”，正號通常省略不寫；“-”讀作“負”，如“-2”讀作“負2”，負數(shù)前面的“-”號不能省略.3.“+”與加號表示方法相同，“-”與減號表示方法相同，但它們表示的意義完全不同，前者表示數(shù)的正負，后者表示的是運算符號.4.目前學(xué)習(xí)的數(shù)可分為三類:正數(shù)、負數(shù)和0，正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0.例1（2020·武威涼州區(qū)校級月考）已知下列各數(shù):-8，2.89，0，35-0.25，123，-314.其中負數(shù)有A.3個 B.4個 C.5個 D.6個練習(xí)1（2020·洛陽西工區(qū)校級月考）以下各數(shù)中，正數(shù)有；負數(shù)有.?1.06、20112012，368 -12，-100，知識點2用正、負數(shù)表示具有相反意義的量1.把屬性相同，但表示的意義相反的量叫做具有相反意義的量.具有相反意義的量必須具備兩個條件:（1）同一屬性；（2）意義相反.2.具有相反意義的量是成對出現(xiàn)的，如規(guī)定向東行為正，則向西行為負.單獨一個量不能稱為具有相反意義的量.3.與一個量成相反意義的量不止一個.例如與上升3米成相反意義的量就有下降0.2米，下降1米等很多量.4.具有相反意義的量包含兩個要素:一是它們的意義相反；二是都具有數(shù)量.例2（2020·山西定襄縣校級月考）下列各對量中，具有相反意義的量的是（）A.則進50斤蘋果與庫存200斤蘋果 B.高于海平面786m與低于海平面230mC.東走9m和北走10m D.飛機上升100m與前進100m練習(xí)2（2020·西藏南木林縣校級月考）《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：今有兩數(shù)，若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負數(shù)，若氣溫為零上8℃，記為8℃，則-2℃表示氣溫為.2.零下2℃知識點3整數(shù)和分?jǐn)?shù)1.正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù).正分?jǐn)?shù)、負分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù).2.有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，都是分?jǐn)?shù).3.引入負數(shù)后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴大了.奇數(shù)包括正奇數(shù)和負奇數(shù)，偶數(shù)包括正偶數(shù)、0和負偶數(shù).但質(zhì)數(shù)和合數(shù)的范圍沒有變化，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，2是最小的質(zhì)數(shù).負數(shù)沒有質(zhì)數(shù)、合數(shù)之說.4.正數(shù)、0統(tǒng)稱為非負數(shù)；0、負數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù).5.正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負整數(shù)；0、負整數(shù)統(tǒng)稱為非正整數(shù).6.數(shù)的集合是指把一些具有相同特征的數(shù)放在一起組成一個集合.例3（2020·重慶北碚區(qū)校級月考）在-2.4，0，-2，2這四個數(shù)中，是負整數(shù)的是（）A.-2.4 B.-2 C.0 D.2練習(xí)3（2020·成都武侯區(qū)校級月考）在12，?2，+3.5,0，?0.7,5，?1A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.B[提示:在12.-2，+3.5，0，-0.7，5，-13中，負分?jǐn)?shù)有-0.7，-13——題型總結(jié)——題型1根據(jù)正負數(shù)確定范圍例1（2020·西安啤林區(qū)校級月考）一種零件的長度在圖紙上標(biāo)為20±0.01（單位:mm）表示這種零件的長度應(yīng)是20mm，加工要求最大不超過_________、最小不小于_________.練習(xí)1（2020·暢州章貢區(qū)月考）某種零件，標(biāo)明加工要求是φ（20±0.02）mn（φ表示直徑，單位：毫米）經(jīng)檢查，一個零件的直徑是19.7mm，該零件1.不合格題型2時差的計算例2（2020·沈陽沈河區(qū)校級月考）悉尼、洛杉磯與北京的時差如下表:（正數(shù)表示同一時刻比北京時間早的時數(shù)，負數(shù)表示同一時刻比北京時間晚的時數(shù)）現(xiàn)在是北京10月8日18時，想要與兩地的親人通話，適合的是_________.（填“悉尼”或“洛杉磯”）練習(xí)2（2020·鹽城校級期中）紐約與北京的時差為一13小時（正數(shù)表示同一時刻比北京時間早的時數(shù)），若北京時間19：30，則此時紐約的時間是_______.2、6:30題型3探究正負數(shù)的規(guī)律例3（2020·武漢江岸區(qū)校級月考）觀察下面一列數(shù):-1，2，-3，4，-5，6，-7，…，將這列數(shù)排成如圖2-1所示的形式.按照圖中描述的規(guī)律排下去:（1）第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是多少?（2）從左邊數(shù)，數(shù)2020應(yīng)排在第幾行第幾個數(shù)?練習(xí)3觀察下列數(shù)：?1，2，?3，4，?5，6，?7，8，?9……（1）請寫出這一列數(shù)中的第100個數(shù)和第2018個數(shù).（2）在前2019個數(shù)中，正數(shù)和負數(shù)分別有多少個？（3）2020和一2020這兩個數(shù)，哪一個在這一列中？請說明理由.3.解:（1）第100個數(shù)是100；第2018個數(shù)是2018.（2）在前2019個數(shù)中，正數(shù)有1009個，負數(shù)有1010個.（3）因為奇數(shù)均為負數(shù)，偶數(shù)均為正數(shù)，所以-2020不在這一列數(shù)中.題型4正數(shù)與負數(shù)在實際問題中的應(yīng)用例4（2020·成都武候區(qū)校級月考）某股民上周買進甲公司股票1000股，每股20元，下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況（單位:元）:相當(dāng)于前一天的收盤價而言.（1）星期三收盤時，每股是多少元?（2）本周內(nèi)最高價是每股多少元?最低價是每股多少元?（3）該股這五天的平均股價為每股多少元?練習(xí)4（2020·長沙開福區(qū)校級月考）某自行車廠計劃一周生產(chǎn)自行車2100輛，平均每天計劃生產(chǎn)300輛，實際每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入，下表是某周的生產(chǎn)情況.（超過每天計劃生產(chǎn)數(shù)記為正，不足每天計劃生產(chǎn)數(shù)記為負）（1）該廠星期四實際生產(chǎn)自行車輛（2）該廠本周實際每天平均生產(chǎn)多少輛自行車？4.解:（1）300+13=313（輛）.300+5=305（輛），星期二生產(chǎn)自行車為300-2=298（輛），星期三生產(chǎn)自行車為300-5=295（輛），星期四生產(chǎn)自行車為300+13=313（輛），星期五生產(chǎn)自行車為300-10=290（輛），星期六生產(chǎn)自行車為300-12=288（輛），星期日生產(chǎn)自行車為300-3=297（輛），本周實際每天平均生產(chǎn)自行車17×（305+298+295+313+290+288+297）=298（輛）.答:該廠本周實際每天平均生產(chǎn)298

——能力培優(yōu)訓(xùn)練——能力通關(guān)1.（2020·西藏南木林縣校級月考）在-1，+7.5，0，-23，-0.9，15中，負分?jǐn)?shù)共有（A.1個 B.2個 C.3個 D.4個1.B2.（2020·宣城宣州區(qū)校級月考）先向南走5m，再向南走-4m的意義是A.先向南走5m，再向南走4m B.先向南走5m，再向北走-4mC.先向北走-5m，再向南走4m D.先向南走5m，再向北走4m2.D3.（2020·呼和浩特月考）六（1）班數(shù)學(xué)成績的平均分是88分，王莉考了95分，記為+7分，劉樂樂考了80分，應(yīng)記為_____分，李曉梅的成績記為-5分，她考了_____分.3.-883[提示:選88分為標(biāo)準(zhǔn)，記為0分，超過部分為正，不足部分為負，計算可得.]4.（2020·洛陽潤西區(qū)校級月考）觀察下面一列數(shù)，根據(jù)規(guī)律在橫線上填上第7個數(shù):-14，28，-316，432-4.-75.（2020·長沙雨花區(qū)校級月考）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號里:-3，0.2，3.14，8，0，-2，20，14，-6.5，17%，-182，517負數(shù)集: …；正分?jǐn)?shù)集: …；自然數(shù)集: …；非正整數(shù)集: …；5.解:負數(shù)集:|-3，-2，-6.5，-182，…|；正分?jǐn)?shù)集:0.2.3.14，17%.517…；自然數(shù)集:18，0，20，14…1；非正整數(shù)集:|-3，0，-2，-182巔峰訓(xùn)練6.（2020·龍巖上杭縣校級月考）小明同學(xué)為參加秋季運動會的百米短跑項目，進行了五次訓(xùn)練，以13秒為標(biāo)準(zhǔn)，比標(biāo)準(zhǔn)慢的記為負數(shù)，比標(biāo)準(zhǔn)快的記為正數(shù)，統(tǒng)計成績?nèi)缦卤?（1）這五次訓(xùn)練中最好成績是多少秒?（2）第一次訓(xùn)練的成績比第五次訓(xùn)練的成績慢多少秒?（3）這五次訓(xùn)練的平均成績是多少秒?6.解:（1）這五次訓(xùn)練中成績最好的是第五次，為13-0.1=12.9（秒）；第一次訓(xùn)練的成績比第五次訓(xùn)練的成績慢0.1+0.2=0.3（秒）.（3）這五次訓(xùn)練的平均成績是15×（13.13.1+13+13.3+12.9）=13.1（秒）.7.（2020·沈陽沈河區(qū)校級月考）下表是今年某水庫一周內(nèi)的水位變化情況（正號表示水位比前一天上升，負號表示水位比前一天下降），該水庫的警戒水位是34m.（上周末的水位正好達到警戒水位）（1）本周星期______水庫的水位最高，水位是______m，本周星期_____水庫的水位最低，水位是______m；（2）與上周末相比，本周末河流水位上升了還是下降了?變化了多少米?7.（1）二35.03-34.22（2）本周末水位為34.63m，因為34.63m>34m，34.63-34=0.63（m）.答:本周末河流水位是上升了.變化了0.63m.素養(yǎng)提升8.（聊城中考）紐約、悉尼與北京的時差如下表（正數(shù)表示同一時刻比北京時間早的時數(shù)，負數(shù)表示同一時刻比北京時間晚的時數(shù)）:當(dāng)北京6月15日23時，悉尼、紐約的時間分別是（）A.6月16日1時；6月15日10時B.6月16日1時；6月14日10時C.6月15日21時；6月15日10時D.6月15日21時；6月16日12時8.A[提示:悉尼的時間是6月15日23時+2小時=6月16日1時，紐約時間是6月15日23時-13小時=6月15日10時.]2.2有理數(shù)與無理數(shù)知識點1有理數(shù)的概念我們把能寫成分?jǐn)?shù)形式mn（m，n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù).如:5=51，?4=?41，0=01。即我們學(xué)過的整數(shù)（正整數(shù)、負整數(shù)、零）都是有理數(shù)。如:0.3=310，?3.11=?311例1（曲阜校級月考）①一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)；②一個有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；③一個整數(shù)不是正的，就是負的；④一個分?jǐn)?shù)不是正的，就是負的.以上說法正確的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4練習(xí)1（2020·沈陽朝陽校級月考）在下列數(shù)中:?13，11.1111，?111，95.57，0，0.+2004-13.11.1111.95.57.0.+2004.-21.1212212222222，-111

知識點2有理數(shù)的分類根據(jù)有理數(shù)的概念，有理數(shù)可以進行如下的分類:1.按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類2.按正數(shù)、0、負數(shù)的關(guān)系分類例2（德州市德城區(qū)校級月考）①正有理數(shù)是正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱；②整數(shù)是正整數(shù)和負整數(shù)的統(tǒng)稱:③有理數(shù)是正整數(shù)、負整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱；④0不是自然數(shù)；⑤偶數(shù)包括正偶數(shù)、負偶數(shù)和零。以上說法正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個練習(xí)2下列說法：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；③正整數(shù)、負整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；④非負數(shù)就是正數(shù)；⑤?π2不僅是有理數(shù)，而且是分?jǐn)?shù)；⑥237是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不是有理數(shù)；⑦無限小數(shù)不都是有理數(shù)；⑧正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負數(shù)中沒有最大的數(shù)。A.7個 B.6個 C.5個 D.4個2.B[提示:①沒有最小的整數(shù)，故錯誤:②有理數(shù)包括正數(shù)、0和負數(shù)，故錯誤:③正整數(shù)、負整數(shù)、0、正分?jǐn)?shù)、負分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故錯誤:④非負數(shù)就是正數(shù)和0，故錯誤:（3）-π2是無理數(shù)，故錯誤:⑥237是無限循環(huán)小數(shù).所以是有理數(shù).故錯誤:⑦無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù)，所以無限小數(shù)不都是有理數(shù)，故正確:⑧正數(shù)中沒有最小的數(shù).負數(shù)中沒有最大的數(shù)，故正確.故其中錯誤的說法有知識點3無理數(shù)的概念（難點；掌握）1.無理數(shù)的概念無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).如小學(xué)學(xué)過的圓周率π，它是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式mn2.目前我們學(xué)習(xí)過的無理數(shù)類型（1）含有π的；（2）小數(shù)形式無規(guī)律的；（3）小數(shù)形式有規(guī)律但不循環(huán)的.隨著知識的增加，我們還會接觸其他類型的無理數(shù).如面積為2的正方形的邊長就是一個無理數(shù).例3（江陰校級月考）下列各數(shù):0.3333…，0，100，?1.5，π2，?0.121221222中，無理數(shù)的個數(shù)是（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個練習(xí)3（2020·南京鼓樓區(qū)期末）在3.14，227，0，A.1 B.2 C.3 D.43.A[提示:只有π為無理數(shù)，共1個.]——題型總結(jié)——題型1識別有理數(shù)和無理數(shù)例1把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號內(nèi).-5，0.05，-34-1.212212221…，-π2正有理數(shù)集合: …；負分?jǐn)?shù)集合: …；非正整數(shù)集合: …；無理數(shù)集合: …；練習(xí)1把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi):-3，5，-13，-3.14，-0.4，0，-1.2121121112…，2.5，34，4正數(shù)集合: …；整數(shù)集合: …；分?jǐn)?shù)集合: …；無理數(shù)集合: …；題型2理清兩個集合交叉部分的集合問題例2（2020·南京建鄴區(qū)校級月考）如圖2-2所示，兩個圈分別表示負數(shù)集合和分?jǐn)?shù)集合，請將3，0，12，-313，-5，3.練習(xí)2（2020·珠海香洲區(qū)校級月考）把下列有理數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi).34，1，…1.5，45，0，12，-8，-7，0.38，-2.2整數(shù)集合: …；負數(shù)集合: …；分?jǐn)?shù)集合: …；題型3對無理數(shù)進行估值例3（2020·廈門集美區(qū)期中）一個正方形的面積是7，估計它的邊長大?。ǎ〢.在2~3之間 B.在3~4之間 C.在4~5之間 D.在5~6之間練習(xí)3（2020·興化校級月考）寫出一個比5大的無理數(shù):。3.2π（答案不唯一）——能力培優(yōu)訓(xùn)練——能力通關(guān)1.在下列六個數(shù)中:0，π2，-227，0.101001，-10%，5213，分?jǐn)?shù)的個數(shù)是（BA.2 B.3 C.4 D.52.（2020·廈門思明區(qū)校級月考）對于-3.14，下列說法正確的是（C）A.是負數(shù)不是分?jǐn)?shù) B.是分?jǐn)?shù)不是有理數(shù)C.是負數(shù)也是分?jǐn)?shù) D.不是分?jǐn)?shù)是有理數(shù)3.（2020·徐州泉山區(qū)校級月考）在1120.16166166616666，3.1415926，1000π四個數(shù)中無理數(shù)有（AA.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.在-13，337，0，-1，0.4，π，2，-3，-6這些數(shù)中，有理數(shù)有m個，自然數(shù)有n個，分?jǐn)?shù)有k個，則m-n-k的值為（AA.3 B.2 C.1 D.45.若a是一個無理數(shù)，且3<a<4，寫出任意一個符合條件的值:___π___.6.（2020·揚州邗江區(qū)校級月考）觀察下列各數(shù)據(jù)，按規(guī)律在橫線上填出下一個適當(dāng)?shù)臄?shù):12，-25，310-417，57.（2020·西安碑林區(qū)校級月考）在5，，14，0，-13，0.5，7，-116，102，-178.（六盤水中考）定義:A={b，c，a}，B={c}，AB={a，b，c}，若M={-1}，N={0，1，-1}，則MN={1，0，-1}.9.（2020·龍巖長汀縣校級月考）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號內(nèi):-7，3.5，-3.1415，π，0，1317，0.03，-312，10，-0.23，自然數(shù)集合:0、10 …；整數(shù)集合: -7.0.10.-42 …；正分?jǐn)?shù)集合: 3.5.1317，0.03 …；非正數(shù)集合: -7.-3.1415.0.-312.-0.23.-42 有理數(shù)集合:-7，3.5，-3.1415，0，1317，0.03，-312，10，-0.23，-巔峰訓(xùn)練10.觀察下列數(shù):-1，12，-13，14，-1（1）請你推測第2019個數(shù)是__?1（2）如果這一列數(shù)無限排列下去，與哪個數(shù)會越來越接近?（2）這一列數(shù)無限排列下去，越來越接近0素養(yǎng)提升11.已知有A，B，C三個數(shù)的“家族”.A:{-1，3.1，-4，6，2.1}，B:{-4.2，2.1，-1，10，-18C:{2.1，-4.2，8，6}.（1）請把每個“家族”中所含的數(shù)填入圖2-5中的相應(yīng)部分.（2）把A，B，C三個數(shù)的“家族”中的負數(shù)寫在橫線上:_______________.（3）有沒有同時屬于A，B，C三個數(shù)的“家族”的數(shù)?若有，是什么?（1）如圖6所示.（2）-1.-4.-4.2.-18（3）有2.12.3數(shù)軸知識點1數(shù)軸及其畫法1.定義規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.2.數(shù)軸的定義包含三層含義（1）數(shù)軸是一條可以向兩端無限延伸的直線；（2）數(shù)軸有三要素:原點、正方向、單位長度；（3）注意“規(guī)定”二字，是說原點的位置、正方向的選取、單位長度的大小是根據(jù)實際需要來確定的.3.數(shù)軸的畫法（1）畫一條水平的直線；（2）確定正方向，一般取水平向右為正方向；（3）確定原點，取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度.如圖2-6所示.例1（2020·宣城宣州區(qū)校級月考）如圖2-7所示的是四位同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（D）知識點2數(shù)軸上的點與有理數(shù)、無理數(shù)的關(guān)系1.有理數(shù)和無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；如:在如圖2-8所示的數(shù)軸上表示有理數(shù)2，無理數(shù)π.2.反之，數(shù)軸上的任意一點都表示一個有理數(shù)或無理數(shù)，即數(shù)軸上的點與有理數(shù)或無理數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系.例2把下列六個數(shù):-2.5，312，0，+5，-4，-1（1）分別在如圖2-9所示的數(shù)軸上表示出來；（2）填入相應(yīng)的大括號內(nèi)整數(shù)集： …；負分?jǐn)?shù)集： …；練習(xí)2公元前5世紀(jì)，畢達哥拉斯學(xué)派的一名成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù).這個發(fā)現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機，打破了“萬物皆數(shù)”的局限認識，迎來了數(shù)學(xué)的一次飛躍發(fā)展.下面關(guān)于無理數(shù)的說法錯誤的是（B）A.面積為4的正方形的邊長是有理數(shù) B.無限小數(shù)是無理數(shù)C.無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示 D.半徑為1的圓的周長是無理數(shù)知識點3比較兩個數(shù)的大小1.在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的大.2.正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù).3.涉及多個數(shù)比較大小時，一般先將各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，再根據(jù)數(shù)軸上點的分布特點進行判斷.根據(jù)數(shù)軸上點的分布特點可以看出:（1）沒有最大的正數(shù)，沒有最小的正數(shù)；（2）沒有最大的負數(shù)，沒有最小的負數(shù)；（3）最小的正整數(shù)是1，最大的負整數(shù)是-1.例3比較下列各組數(shù)的大小.（1）6和0； （2）-23和0；（3）5和-2； （4）-4.2，113，312，-2

——題型總結(jié)——題型1數(shù)軸上的動點問題例1在數(shù)軸上有三個點A，B，C，如圖2-11所示.（1）將點B向左平移4個單位，此時該點表示的數(shù)是_________；（2）將點C向左平移3個單位得到數(shù)m，再向右平移2個單位得到數(shù)n，則m，n分別是多少?練習(xí)1在數(shù)軸上距原點3個單位長度的點表示的數(shù)是__±3__，已知P是數(shù)軸上表示一4的一點，把P點向左移動3個單位長度后再向右移動1個單位長度，此時P點表示的數(shù)是___-6____.題型2在數(shù)軸上表示無理數(shù)例2（1）如圖2-12所示，直徑為1個單位長度的圓，圓上的一點由原點沿數(shù)軸向左滾動一周（不滑動）到達點A，則A點表示的數(shù)是_________；（2）若點B表示-3.14，則B點在A點的_________邊（填“左”或“右”）；（3）若此圓從表示1的點沿數(shù)軸滾動一周（不滑動）到達C點，寫出C點所表示的數(shù).練習(xí)2數(shù)軸上一動點A向左移動3個單位長度到達點B，再向右移動6個單位長度到達點C，若點C表示的數(shù)為3，則點A表示的數(shù)為（B）A.6 B.0 C.-6 D.-2練習(xí)3如圖所示，半徑為1個單位長度的圓片上有一點A與數(shù)軸上的原點重合，線段AB是圓片的直徑，將圓片沿數(shù)軸滾動，點B第一次到達數(shù)軸上點C的位置，點C表示的數(shù)是___-3.14或3.14___（π取3.14）題型3確定數(shù)軸上覆蓋點問題例3把長為2020個單位長度的線段AB放在數(shù)軸上，能覆蓋多少個整數(shù)點?練習(xí)4長為2019.5個單位長度的木條放在數(shù)軸上，最多能覆蓋__2020_個整數(shù)點.練習(xí)5有幾滴墨水滴在數(shù)軸上，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)值，推算墨跡蓋住的整數(shù)點有___8___個.5.8[提示:在-8和-3之間的整數(shù)有-7，-6，-5，-4，共4個，在4和9之間的整數(shù)有5，6，7，8，共4個，4+4=8.]題型4利用數(shù)軸解決實際問題例4一輛貨車從超市出發(fā)，向東走了3km到達小剛家，繼續(xù)向東走了4km到達小紅家，又向西走了10km到達小英家，最后回到超市.（1）請以超市為原點，以向東為正方向，用1個單位長度表示1km，畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上分別表示出小剛家、小紅家、小英家的位置.（2）小英家距小剛家有多遠?（3）貨車一共行駛了多少千米?練習(xí)6一條東西走向的商業(yè)街上，依次有書店（記為A）、冷飲店（記為B）、鞋店（記為C），冷飲店位于鞋店西邊50m處，鞋店位于書店東邊60m處，王平先去書店，然后沿著這條街向東走了30m至D處，接著向西走50m到達E處.（1）以A為原點、向東為正方向畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出上述A，B，C，D，E的位置；（2）若在這條街上建一家超市，使超市與鞋店C分居E點兩側(cè)，且到E點的距離相等，則超市在冷飲店的什么方向?距離多遠?6.解:（1）數(shù)軸如圖8所示，圖中的A，B，C，D，E即為所作.（2）鞋店C到E的距離為60+20=80（m），超市在數(shù)軸上表示的數(shù)為-100，超市到冷飲店的距離為10+100=110（m）.答:超市在冷飲店的西邊110m的地方.

——能力培優(yōu)訓(xùn)練——能力通關(guān)1.（2019·吉林中考）如圖2-16所示，數(shù)軸上蝴蝶所在點表示的數(shù)可能為（D）A.3 B.2 C.1 D.-12.（2020·長沙雨花區(qū)校級月考）在數(shù)軸上，到表示-2的點的距離是6個單位長度的點表示的數(shù)是（C）A.4 B.-8 C.4或-8 D.93.（2020·高郵月考）學(xué)校、小明家、書店依次坐落在一條南北走向的大街上，學(xué)校在小明家南邊20m，書店在小明家北邊100m.小明同學(xué)從家里出發(fā)，向北走了50m，接著又向南走了70m，此時小明的位置是（C）A.家 B.書店 C.學(xué)校 D.不在上述地方4.（2020·南寧江南區(qū)校級月考）數(shù)軸上表示數(shù)-3和表示數(shù)7的兩點之間的距離是___10___.5.（2020·孝義期中）如圖2-17所示，半徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向左滾動一周，圓上的一點由原點達到O′，點O′表示的數(shù)是__-2π__.6.（2020·重慶九龍坡區(qū)校級月考）數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為-2和m，且線段AB=3，則m=_-5或1_.7.（2020·赤峰第牛特旗校級期中）如圖2-18所示，小明寫作業(yè)時，不慎將墨水滴在數(shù)軸上，根據(jù)圖中數(shù)值，請你確定墨跡蓋住部分的整數(shù)共有___3__個，分別是__0.1.2__.8.如圖2-19所示，點A表示的數(shù)是-4，單位長度是1.（1）在數(shù)軸上表示出原點O；（2）指出點B所表示的數(shù)；3（3）在數(shù)軸上找一點C，它與點B的距離為2個單位長度，那么點C表示什么數(shù)?（3）①當(dāng)點C在點B的左側(cè)時，3-2=1.②當(dāng)點C在點B的右側(cè)時，3+2=5，因此，點C表示的數(shù)為1或5.巔峰訓(xùn)練9.數(shù)軸上到原點的距離小于312個單位長度的點中，表示整數(shù)的點共有_79.7[提示:畫出數(shù)軸如圖10所示.從數(shù)軸上可以看到表示整數(shù)的點有:-3.-2，-1.0.1.2，3，共7個.]10.A，B為數(shù)軸上的兩點，A點對應(yīng)的數(shù)為-10，B點對應(yīng)的數(shù)為90.（1）請寫出與A，B兩點距離相等的M點對應(yīng)的數(shù)；（2）當(dāng)電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以3個單位長度/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度向右運動，經(jīng)過多長時間2只電子螞蟻在數(shù)軸上相距35個單位長度?10.解:（1）借助數(shù)軸可知與A、B兩點距離相等的M點對應(yīng)的數(shù)為40.（2）相遇前:（100-35）÷（2+3）=13（秒）.相遇后:（35+100）÷（2+3）=27（秒），則經(jīng)過13秒或27秒，2只電子螞蟻在數(shù)軸上相距35個單位長度.素養(yǎng)提升11.如圖2-20所示，在紙面上有一個數(shù)軸，折疊紙面.（1）若1表示的點與-1表示的點重合，則-3表示的點與__3_表示的點重合；（2）若-1表示的點與4表示的點重合，那么8表示的點與__-5_表示的點重合.12.一個機器人從數(shù)軸上的原點出發(fā)，沿數(shù)軸正方向以每前進3步后退2步的程序運動，設(shè)該機器人每秒前進或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，xn表示第n秒時機器人在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù).如x1表示第1秒時機器人在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù).以下結(jié)論，①x3=3；②x4=4；③x205>x204；④x2022<x2023。其中，正確的有__①④_（填序號）.2.4絕對值與相反數(shù)知識點1絕對值1.絕對值的概念:數(shù)軸上表示一個數(shù)的點與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.2.絕對值的表示方法:通常我們將數(shù)a的絕對值記為|a|.如圖2-21所示，點A到原點的距離為3，即點A表示的數(shù)-3的絕對值為3，記作|-3|=3；同理點B表示的數(shù)2的絕對值為2，即|2|=2.3.絕對值是運算，這種運算是求數(shù)軸上的點到原點的距離.4.絕對值是“距離”，表示一個數(shù)的點離原點越遠，這個數(shù)的絕對值越大；反之，距離原點越近，這個數(shù)的絕對值越小.例1在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點，并寫出它們的絕對值.-3，2，-92，4，-0.5，5練習(xí)1（2020·長沙開福區(qū)校級月考）滿足|x|=2的數(shù)x有（A）A.1個 B.2個 C.3個 D.無數(shù)個練習(xí)2（2019·大連中考）-2的絕對值是（B）A.2 B.12 C.?12 知識點2相反數(shù)1.相反數(shù)的概念符號不同、絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，其中一個是另一個的相反數(shù).0的相反數(shù)是0.例如2與-2互為相反數(shù)，其中2是-2的相反數(shù)，-2是2的相反數(shù)，π的相反數(shù)是-π.2.相反數(shù)的表示方法表示一個數(shù)的相反數(shù)，可以在這個數(shù)的前面添一個“-”號.如-2的相反數(shù)可以表示為-(-2)，而我們知道-2的相反數(shù)是2，所以-(-2)=2.一般地，a的相反數(shù)是-a，-a的相反數(shù)是a，即-(-a)=a.3.任何數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個，正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0.4.若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0（或a=-b）；反之，若a+b=0（或a=-b），則a與b互為相反數(shù).例2（1）（2019·常州中考）-3的相反數(shù)是（）A.13 B.-13 C.3 D（2）在如圖2-23所示的數(shù)軸上，若A，B兩點到原點的距離相等，則點B所表示的數(shù)是（）A.-3 B.-2 C.13 D.知識點3化簡一個含多重符號的數(shù)根據(jù)相反數(shù)的意義，我們可以化簡一個含多重符號的數(shù).把一個含多重符號的數(shù)化成單一符號，化簡的結(jié)果是正還是負，由該數(shù)前面的“-”號決定，與“+”號無關(guān).例3下列各數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A.+(-2)和-(+2) B.-(-0.5)和+(+0.5)C.-(-23)和+(-23) D.-(-9)和-[+(-9練習(xí)3（2020·揚州江都區(qū)期末）-2的相反數(shù)是（）A.-2 B.2 C.12 D.-3.B[提示:因為-2+2=0，所以-2的相反數(shù)是2.]練習(xí)4化簡下列各數(shù)的符號.（1）-(+4)； （2）-(-7.1)；（3）-[+(-5)]； （4）-[-(-8)].知識點4絕對值的性質(zhì)1.絕對值的性質(zhì):（1）正數(shù)的絕對值是它本身；（2）負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；（3）0的絕對值是0.2.求一個數(shù)的絕對值，首先要分清這個數(shù)是正數(shù)、負數(shù)、還是0，然后才能正確地寫出它的絕對值.用式子表示:當(dāng)a>0時，|a=a；當(dāng)a=0時，|a|=0；當(dāng)a<0時，|a|=-a.3.根據(jù)絕對值的概念和性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)，任何一個數(shù)的絕對值都是正數(shù)或0，即對于任意數(shù)a，總有同≥0，這個特征叫做絕對值的非負性.例4求下列各數(shù)的絕對值:32，-32，-2.5，-(-3)，知識點5會用絕對值比較兩個負數(shù)的大根據(jù)數(shù)軸上表示兩個正數(shù)的點都在原點的右邊，并且表示絕對值較大的正數(shù)的點在另一個點的右邊；所以兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)大；2.比較兩個負數(shù)大小根據(jù)數(shù)軸上表示兩個負數(shù)的點都在原點的左邊，并且表示絕對值較大的負數(shù)的點在另一個點的左邊.所以兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)小.步驟:（1）求出這兩個數(shù)的絕對值；（2）比較兩個絕對值的大?。唬?）根據(jù)“絕對值大的反而小”作出判斷.例5比較下列兩組數(shù)的大小.（1）-534與-（-523）； （2）-67和練習(xí)5求下列各數(shù)的絕對值：-12，3，-(-7)，|-9.6|.5.解:|-12|=12.3|=3.|-（-7）|=7，|-9.6|=9.6.練習(xí)6（2020·南通海安期末）比較大小:-12______23（填“>”“<”或“6、<

——題型總結(jié)——題型1絕對值的計算例1計算.（1）|-8|+|-4|； （2）-（-3.5）-|-12（3）-313÷|-114×|-112； （4）|-5|+|-10|÷練習(xí)1計算.（1）|-10|+|-5|；=15. （2）|-6|÷|-3|；=2.（3）|-6.5|-|-5.5|；=1. （4）|-5|+|-10|-|-9|；=6.（5）|-3×|-6|-|-7×|+2|.=4.例2若1-m|+|n-2|=0，則m+n的值為_________.練習(xí)2如果a是有理數(shù)，那么|a|+2019的最小值是_________.2.2019[提示:因為|a|≥0，所以|a|+2019≥2019，所以|a|+題型3數(shù)形結(jié)合比較大小例3已知a>0，b<0，且|b|<a，試比較a，b，-a，-b的大小.

練習(xí)3（2020·無錫期末）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則化簡|a+b|的結(jié)果正確的是（）A.a+b B.a-b C.-a+b D.-a-b3.D[提示:H據(jù)題意可知a+b<0.∴|a+b|=-（a+b）=-a-b.]題型4利用絕對值解決實際問題例4某超市出售食鹽時以每袋500克為標(biāo)準(zhǔn)分袋.現(xiàn)抽取5袋進行檢測，質(zhì)量超過500克的記為正數(shù)，不足500克的記為負數(shù)，結(jié)果如下表所示:（1）把這5袋食鹽的實際質(zhì)量填在表內(nèi)；（2）這5袋食鹽的質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是_________；（3）這5袋食鹽的總質(zhì)量是多少克?練習(xí)4已知a>0，b<0，且|a|<|b|，試比較a，-a，b，-b的大小.4.解:由數(shù)軸，得-b>a>-a>b.例5已知點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b.當(dāng)|a|=1，|b|=3，求A，B兩點之間的距離.練習(xí)5建設(shè)銀行職員小張在辦理業(yè)務(wù)時，約定存入為正，取出為負，某天，他先后辦理了七筆業(yè)務(wù):+2000元，-800元，+400元，-800元，+1400元，-1600元，-200元.（1）若他早上領(lǐng)取備用金4000元，則下班時應(yīng)交回銀行元.（2）在這七筆業(yè)務(wù)中，小張在第筆業(yè)務(wù)辦理后，手中的現(xiàn)金最多；第筆業(yè)務(wù)辦理后，手中的現(xiàn)金最少。（3）若每辦一筆業(yè)務(wù)，銀行發(fā)給業(yè)務(wù)員業(yè)務(wù)量的0.1%作為獎勵，則小張這天應(yīng)得獎金多少元？（1）4400（2）五、七（3）解:|+2000|+|-800|+|+400|+|-800|+|+1400|+|-1600|+|-200}=7200（元）.這天小張應(yīng)得獎金為7200×0.1=7.2（元）.

——能力培優(yōu)訓(xùn)練——能力通關(guān)1（2019·遼陽中考）-8的絕對值是（A）A.8 B.18 C.-8 D.-2.下列說法正確的是（C）A.+（-3）的相反數(shù)是-3 B.-（+6）的相反數(shù)是-6C.整數(shù)的相反數(shù)一定是整數(shù) D.0沒有相反數(shù)3.下列各數(shù)中，一定互為相反數(shù)的是（C）A.-(-4)和|-4| B.|-2|和|+2|C.-(-3）和-|-3| D.|m|和|-m|4.絕對值大于1而小于4的整數(shù)有（C）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個5.（2020·沈陽皇姑區(qū)校級月考）若|a-1|+|b-2|=0，則2a+b=___4__.6.（2020·成都金堂縣校級月考）寫出下列各數(shù)的相反數(shù)，并把所有的數(shù)（包括相反數(shù)）在數(shù)軸上表示出來.4，-12，-（-23），+（-4.5），0，-（7.化簡下列各數(shù).（1）+（-123）； （2）-（+3.69）； （3）-[-（+4.98-123 -3.69 4.98（4）+[-（+58.6）]； （5）-|+9.5]； （6）-|-62|；-58.6 -9.5 -62（7）-（+412）； （8）-（-|-9-412 巔峰訓(xùn)練8.對于有理數(shù)a，b，有以下四個判斷:①若|a|=b，則a=b；②若|a|>b，則|a|>|b|；③若a=?b，則|a|=|b|；④若|a|<|b|，則a<b.其中正確的個數(shù)是（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個8.D9.如圖2-26所示，圖中數(shù)軸的單位長度為1.請回答下列問題:（1）如果點A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么點C表示的數(shù)是多少?（2）如果點D，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么點C，D表示的數(shù)是多少?9.解:（1）點C表示的數(shù)是-1.（2）點C表示的數(shù)是0.5，D表示的數(shù)是-4.5.素養(yǎng)提升10.用字母a表示一個有理數(shù)，則|a|一定是非負數(shù)，也就是它的值為正數(shù)或0，所以|a|的最小值為0，而-|a|一定是非正數(shù)，即它的值為負數(shù)或0，所以-|a|有最大值0，根據(jù)這個結(jié)論完成下列問題.（1）|a|+1有最_____值____；（2）5-|a|有最_____值_____；（3）當(dāng)a的值為_____時，|a-1|+2有最_____值.10.（1）小1（2）大5（3）1小2.5有理數(shù)的加法與減法知識點1有理數(shù)的加法法則1.法則有理數(shù)的加法法則可以概括如下:2.步驟有理數(shù)加法運算可歸結(jié)為以下三個步驟:一辨，二定，三求.一辨，看兩個加數(shù)的符號，是同號還是異號；二定，定符號.同號時同正則取正號，同負則取負號；異號時，則比較絕對值的大小，取絕對值較大的加數(shù)的符號.三求，求絕對值，同號則將絕對值相加，異號則求兩個絕對值的差.例1（2020·青島市南區(qū)校級月考）下列各式運算正確的是（）A.(-7)+(-7）=0 B.(-13)+(+12)C.0+(-101)=101 D.(-110)+(+110知識點2有理數(shù)的加法運算律1.加法交換律:兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變.用字母表示為:a+b=b+a.2.加法結(jié)合律:三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變.用字母表示為:（a+b）+c=a+（b+c）.3.利用加法的交換律和結(jié)合律可以簡化運算的過程，在實際運用過程中經(jīng)常用到以下的方法來簡化運算:（1）把符號相同的數(shù)結(jié)合在一起；（2）把分母相同的分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起；（3）把能湊成整數(shù)的數(shù)結(jié)合在一起，互為相反數(shù)的數(shù)結(jié)合在一起.例2計算.（1）15+(-20)+6+（-8）；（2）5.5+(-347)+(-512)+(-33（3）(+1314)+(-5516)+(+734)+(-1456)+(

知識點3有理數(shù)的減法法則1.法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).2.有理數(shù)減法運算的一般步驟，如圖2-27所示.（1）把減號變?yōu)榧犹?；?）用減數(shù)的相反數(shù)作為加數(shù)；（3）利用有理數(shù)加法的法則求出結(jié)果.例3計算.（1）（-37）-（-47）； （2）0-16； （3）54-3（4）（-210）-87； （5）1.3-（-2.7）.知識點4有理數(shù)的加減混合運算1.省略加號的和的形式在將減法轉(zhuǎn)化為加法后，有理數(shù)加減混合運算就轉(zhuǎn)化為加法運算了.為了運算的方便，有時候可以將有理數(shù)加減看成是省略括號和加號的和的形式，再結(jié)合有理數(shù)加法運算律計算.例如:2+（-3）+（+5），它表示2，-3，+5的和，即省略括號和加號后就變成了2-3+5的形式.2.有理數(shù)加減混合運算的步驟（1）運用減法法則將有理數(shù)加減混合運算中的減法轉(zhuǎn)化為加法；（2）省略加號和括號；（3）運用加法交換律、加法結(jié)合律進行簡便運算.3.簡便運算（1）進行有理數(shù)的加減混合運算時，合理運用加法交換律、加法結(jié)合律能簡化運算過程.（2）運用加法交換律交換加數(shù)的位置時，要連同加數(shù)前面的符號一起交換:運用加法結(jié)合律時，把同號的加數(shù)結(jié)合、同分母的加數(shù)結(jié)合、便干通分的加數(shù)結(jié)合、能湊成整數(shù)的加數(shù)結(jié)合、互為相反數(shù)的加數(shù)結(jié)合，都可以使運算簡便.例4（2020·西安啤林區(qū)校級月考）計算下列各題.（1）6+（-14）-（-39）； （2）-7-（-11）+（-9）-（+2）.練習(xí)4計算:（1）|?3.2|+|0.5|?|1+215原式=3.2+0.5-1-2.2=0.5（2）0（2）原式=0-2+1+4+5=8.（3）(?（3）原式=-（479+229）+（316-61（4）（-3.125）+（+4.75）+（?978）+（+514）+(4（4）原式=-（3.125+978）+（4.75+514）-423=-13+10-42

——題型總結(jié)——題型1有理數(shù)加法運算技巧例1（2020·連云港灌南縣校級月考）閱讀下面文字:對于（-556）+（-923）+1734可以如下計算:原式=[（-5）+（-56）]+[（-9）+（-23）+(17+34) =[（-5）+（-9）+17+（-3）]+[（-56）+（-23）+34=0+（-114）=-1上面這種方法叫拆項法，你看懂了嗎?傷照上面的方法，請你計算:（-112）+（-200056）+400034+（練習(xí)1（2020·沈陽皇姑區(qū)校級月考）求|110-111|+|111-112|+…+|11.解:因為110-111>0.111-112>0…149-150>0，所以原式=110-111+111-112+112-113+…-練習(xí)2（2020?黃岡麻城市校級期中）計算1+（-2）+（+3）+（-4）+（+5）+（-6）+…+（+99）+（-100）+（+101）的結(jié)果是()A.0 B.-1 C.-50 D.512.D[提示:原式=[1+（-2）]+[（+3）+（-4）]+…+[（+99）+（-100）]+（+101）=-50+101=51.]

題型2有理數(shù)運算中的分類討論例2（2020·南京崇川區(qū)校級月考）已知|m|=3，|n|=2，|m+n|=-（m+n），則n-m等于（）A.5或1 B.5或-1 C.-5或1 D.-5或-1練習(xí)3（2020·德州德城區(qū)校級月考）若a，b，c是有理數(shù)，|a|=3，|b|=10，|c|=8，且a，b同號，b，c異號，求a?b?（?c）的值.3.解:因為|a|=3，|b|=10，|c|=8.所以a=±3.b=±10，c=±8，因為a，b同號，b，c異號，所以a=3.b=10，c=-8或a=-3.b=-10，c=8，①當(dāng)a=3，b=10，c=-8時，a-b-（一c）=a-b+c=-15；②當(dāng)a=-3，b=-10，c=8時，a-b-（-c）=a-b+c=15.綜上，a-b-（-c）的值是15或-15.題型3計算數(shù)軸上兩點之間的距離例3求數(shù)軸上兩點間距離的方法:計算這兩點表示的數(shù)的差的絕對值即為這兩點間的距離.例如:M點表示的數(shù)為?8，N點表示的數(shù)是?2，則M，N兩點間的距離為|?8?（?2）|=|?8+2|=|?（8?2）|=|?6|=6.（1）已知數(shù)軸上有A，B，C，D四點，表示的有理數(shù)依次為1，3，?4，?7.類比上述方法計算以下各點之間的距離:①A，B兩點；②B，C兩點；③C，D兩點.（2）數(shù)軸上表示x和-3的兩點之間的距離為_________.（3）x+1表示的是哪兩個點之間的距離?練習(xí)4|4?1|表示4與1差的絕對值，也可以理解為4與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離；|4+1|可以看成|4?（?1）|，表示4與一1的差的絕對值，也可以理解為4與-1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點間的距離.（1）|4?（?1）|=；（2）|5+2|=；（3）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+3|=5，則x=；（4）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+3|+|x?2|=5，這樣的整數(shù)是；4.（1）5（2）7（3）2或-8（4）-3，-2，-1.0，1，2題型4有理數(shù)加法的實際應(yīng)用例4（2020·泰州海陵區(qū)校級月考）某自行車廠7天計劃生產(chǎn)1400輛自行車，平均每天生產(chǎn)200輛，由于各種原因，無法按計劃生產(chǎn)，下表是這7天的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正，減產(chǎn)為負，單位:輛）:（1）根據(jù)記錄可知前2天共生產(chǎn)自行車_________輛；（2）自行車產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)_________輛；（3）該廠實行日計件工資制，每生產(chǎn)一輛自行車，廠方付給工人工資60元，超額完成計劃任務(wù)的，每超產(chǎn)一輛獎勵15元，沒有完成計劃任務(wù)的，每減產(chǎn)一輛扣15元，則該廠工人這7天的工資總額是多少?練習(xí)5（2020·揚州高郵市月考）糧庫三天內(nèi)發(fā)生糧食進出庫的噸數(shù)如下：+26，-32，-15，+34，-38，-20.（其中“+”表示進岸，“?”表示出庫）（1）經(jīng)過這三天，庫里的糧食增多（或減少）了多少？（2）經(jīng)過這三天，倉庫管理員結(jié)算發(fā)現(xiàn)庫里還存糧480噸，那么三天前庫里存糧多少噸？（3）如果進出的裝卸費都是莓噸5元，那么這三天要付多少裝御費？5.解:（1）26+（-32）+（-15）+34+（-38）+（-20）=-45（噸）.答:庫里的糧食減少了45噸.（2）480-（-45）=525（噸）.答:3天前庫里存糧525噸.（3）（26+32+15+34+38+20）×5=825（元）.答:3天要付裝卸費825元.題型5有理數(shù)加法的探究問題例5（1）比較大小.①|(zhì)-2|+|3||-2+3|；②|4|+|3||4+3|③|-12|+|-13||-12+（④|-5|+|0||-5+0|.（2）通過（1）中的大小比較，猜想并歸納出|+||||||||a+b|的大小關(guān)系，并說明a，b滿足什么關(guān)系時|a|+|b|=|a+b|成立.練習(xí)6有依次排列的3個數(shù)：3，9，8，對住意相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，6，9，-1，8，這稱為第一次操作；第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，3，6，3，9，-10，一1，9，8；繼續(xù)操作下去。（1）第一次操作后，增加的所有新數(shù)之和是多少？（2）第二次操作后所得的新數(shù)串比第一次操作后所得的數(shù)串增加的所有新數(shù)之和是多少？（3）猜想：第一百次操作后得到的新數(shù)串比第九十九次操作后所得的數(shù)串增加的所有新數(shù)之和是多少？

6.解:（1）第一次操作后增加的新數(shù)是6.-1.則6+（-1）=5.（2）第二次操作后所得的新數(shù)串比第一次操作后所得的數(shù)串增加的所有新數(shù)之和為3+3+（-10）+9=5.（3）猜想:第一百次操作后得到的新數(shù)串比第九十九次操作后所得的數(shù)串增加的所有新數(shù)之和為5.——能力培優(yōu)訓(xùn)練——能力通關(guān)1.（2019·成都中考）比-3大5的數(shù)是（）A.-15 B.-8 C.2 D.81.C2.（2020·諸暨市校級月考）把五個數(shù)填入如圖2-28所示的方框中，使橫、豎三個數(shù)的和相等，其中錯誤的是（） 圖2-282.B3.（2020·北京海淀區(qū)月考）若a·b<0，且a+b<0，則下列結(jié)論正確的（）A.a>0，b>0B.a<0，b<0C.a，b異號，且正數(shù)的絕對值較大D.a，b異號，且負數(shù)的絕對值較大3.D4.（2020·西安碑林區(qū)校級月考）若|a|=5，|b|=19，且|a+b|=-（a+b），則a-b的值為（）A.24 B.14 C.24或14 D.以上都不對4.C[提示:因為|a|=5.|b|=19.所以a=±5、b=±19.又因為|a+b=-（a+b），所以a=±5.b=-19，當(dāng)a=5.b=-19時，a-b=5+19=24.當(dāng)a=-5.b=-19時.a-b=14.綜上所述，a-b的值為24或14.]5.絕對值不大于4.5的所有整數(shù)的和為_________.5.0[提示:絕對值不大于4.5的所有整數(shù)有:-4.-3、-2.-1.0、1.2.3.4.所以絕對值不大于4.5的所有整數(shù)的和為（-4）+（-3）+（-2）+（-1）+0+1+2+3+4=0.]6.（2019·綏化中考）某年一月份，哈爾濱市的平均氣溫約為-20℃，綏化市的平均氣溫約為-23℃，則兩地的溫差為_________℃.6.3[提示:-20-（-23）=-20+23=3（℃）.]7.（2020·泰州興化市校級月考）已知|a|=2，|b|=3，|c|=4，且a>0，b>0，c<0，則a+b+c=_________.7.1[提示:因為|a|=2.|b|=3.|d=4.且a>0.b>0.c<0，所以a=2、b=3.c=-4.所以a+b+c=2+3+（-4）=1.]8.（2020·泰州泰興市校級月考）計算.（1）(-412)-|325-[(-2.37)+2.57]|； （3）16-12-=-7.7 =-1（2）-|-314|-[(-4.4)-8.5]+|314-4.6=11（4）(-337）+12.5+1647-(-2.=281（5）0.75+0.125+（-234）-（-1257）+（-4=65巔峰訓(xùn)練9.結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題:（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是_________；表示-3和2兩點之間的距離是_________；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|m-n|.（2）如果|x+1|=3，那么x=_________；（3）若|a-3|=2，|b+2|=1，且數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別是點A、點B，則A，B兩點間的最大距離是_________，最小距離是_________.（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4與2之間，則|a+4|+|a-2|=_________.9.（1）35[提示:數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是4-1=3；表示-3和2的兩點之間的距離是2-（-3）=5.]（2）2或-4[提示:|x+1|=3，x+1=3或x+1=-3，x=2或x=-4.]（3）82[提示:因為|a-3|=2，|b+2|=1.所以a=5或1，b=-1或b=-3，當(dāng)a=5，b=-3時，A，B兩點間的距離最大，是8，當(dāng)a=1，b=-1時，A，B兩點間的距離最小，是2，則A，B兩點間的最大距離是8，最小距離是2.]（4）6[提示:若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4與2之間，|a+4|+|a-2|=（a+4）+（2-a）=6.]素養(yǎng)提升10.（2020·成都青羊區(qū)月考）計算1+216+3112+4120+5130+6110.2838[提示:1+216+3112+4120+5130+6142+7156=（1+2+3+4+5+6+7）+（16+112+120+130+142+156）=28+（12-13+13-14+14-15+15-2.6有理數(shù)的乘法與除法知識點1有理數(shù)的乘法1.兩數(shù)相乘，同膨正，屏號得負，并把絕對值相乘，0與任何數(shù)相乘都得0.2.幾個不等于零的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負；當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正.幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0.3.第一個因數(shù)有括號時，括號可以省略，第二個因數(shù)的括號不能省略.例如一3與-4相乘時，可以寫成（?3）×（?4），也可寫成?3×（?4），不能寫成?3×?4.【特別提醒】（1）兩個有理數(shù)相乘，當(dāng)因數(shù)中有帶分?jǐn)?shù)時，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)再相乘；當(dāng)因數(shù)中既有分?jǐn)?shù)又有小數(shù)時，可根據(jù)兩個數(shù)的特點，把分?jǐn)?shù)統(tǒng)一化為小數(shù)或把小數(shù)統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)再相乘.（2）任何數(shù)與1相乘都等于它本身，任何數(shù)與一1相乘都等于它的相反數(shù).（3）有理數(shù)乘法法則的逆用：①若ab>0，則a，b同號，即a>0且6>0或a<0且b<0；②若ab<0，則a，b異號，即a>0且b<0或Q<0且6>0.例1計算（1）(?6)×(?1) （2）23×(?94)（3）?223×14 （4）(?6)×0 練習(xí)1計算.（1）（-6）×（+8）； （3）214×（-134）×（-23）×（=-48 =-3（2）-28825×0； （4）-313×（-0.12）×（-214）×3=0 =-16知識點2有理數(shù)的乘法運算律1.交換律:兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變.即a×b=b×a.2.結(jié)合律:三個數(shù)相乘，先把前兩個因數(shù)相乘或先把后兩個因數(shù)相乘，積不變、即（a×b）×（=a×（b×c）.3.分配律:一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加.即（a+b）×c=a×c+b×c.[特別提醒]（1）乘法交換律適用于多個有理數(shù)相乘，例如a×b×c×d=a×c×d×b.（2）乘法分配律也可以推廣到一個不為0的有理數(shù)同多個有理數(shù)的和相乘，即a（b+c+…+m）=ab+ac+…+am.此外，對于某些算式，逆用乘法分配律能使計算簡便.（3）把一個帶分?jǐn)?shù)拆分成一個整數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和的形式時，不僅要根據(jù)算式的特點合理拆分，還要注意拆分后的結(jié)果與原結(jié)果相同.例2用簡便方法計算.（1）（-8）×9×（-1.25）×（-19）； （2）-392324×（

（3）（23-112-115）×練習(xí)2計算.（1）（2020·成都金堂縣月考）（-35）×（+6）×（-10）×（-1（1）原式=-35×6×10×14（2）（2020·成都金堂縣校級月考）-491516×（-8（2）原式=（-50+116）×（-8）=400-12=39912（3）（23-112-115）×（（3）原式=-12+4-8=-16.知識點3倒數(shù)1.定義乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù).2.求一個數(shù)的倒數(shù)的方法（1）一個非0整數(shù)的倒數(shù)為以這個數(shù)為分母，分子為1的分?jǐn)?shù)；（2）如果這個數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置；（3）如果這個數(shù)是小數(shù)，應(yīng)先把這個數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置.[特別提醒]（1）根據(jù)有理數(shù)乘法法則中“同號得正”可知互為倒數(shù)的兩個數(shù)的符號相同，即正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，0沒有倒數(shù).（2）倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1.（3）倒數(shù)是兩個數(shù)之間的一種關(guān)系，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù)，單獨一個數(shù)不能稱其為倒數(shù).例3（1）（2019·自貢中考）-2019的倒數(shù)是（）A.-2019 B.-12019 C.12019 D（2）（2019·南充中考）如果6a=1，那么a的值為（）A.6 B.16 C.-6 D.-知識點4有理數(shù)的除法法則1:兩個不等于0的數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.法則2:除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).有理數(shù)乘法、除法互為逆運算，在運算過程中一般先將除法轉(zhuǎn)化為乘法再進行計算.例4計算（1）91÷（-13）； （2）-0.25÷38（3）-127÷（-0.6）； （4）0÷（-1練習(xí)4計算.（1）48÷（-6）； （2）（2020·長春南關(guān)區(qū)月考）-116÷（?11=-8 =1（3）-1.25÷（14）； （4）（2020·贛州章貢區(qū)月考）38÷（?=5 =-25知識點5有理數(shù)的乘除混合運算1.有理數(shù)的乘除混合運算應(yīng)按從左到右的順序依次計算.2.有理數(shù)的乘除混合運算，一般先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法法則計算.[特別提醒]計算有理數(shù)乘除混合運算時注意，乘除是同級運算，若乘法在前，則先算乘法，若除法在前，則先算除法，按照題目的順序進行計算.例5計算.（1）-45×214÷（-412）×（2）（-3）÷134×0.75×|-213練習(xí)5計算.（1）（-212）÷（-5）×（-313） （2）-32÷2×12=53 =（3）-32÷（-7）×（+245） （4）3.5÷78÷（=35 =-28

——題型總結(jié)——題型1逆用乘法分配律簡化運算例1計算2019×34-（-2019）×12+2019×（-題型2實際應(yīng)用2（2020·濟南槐蔭區(qū)期中）某次數(shù)學(xué)單元測試，七年級第一小組共10名同學(xué)，小組長把超過班級平均分的部分記為“+”，不足的部分記為“?”，記錄如下表:根據(jù)表格數(shù)據(jù)解答下列問題:（1）第一小組同學(xué)的平均分比班級平均分高還是低?高或低多少分?（2）若該班這次測試的平均分為80分，求第一小組10名同學(xué)的總分.題型3分類討論例3（2020·昆明模擬）若|a|=3，|b|=5，且a，b異號，則a·b=。練習(xí)3已知|x|=3，|y|=2，且xy<0，求x-y的值.3.解:因為|x|=3.|b|=2.所以x=±3，y=±2.因為xy<0，所以x=3.y=-2或x=-3，y=2.當(dāng)x=3.y=-2時，x-y=3-（-2）=5.當(dāng)x=-3，y=2時，x-y=-3-2=-5.故x-y的值為5或-5.題型4閱讀理解題例4閱讀下列材料:計算:124÷（13-14解法1:原式=124÷13-124÷14+124÷112=1解法2:原式=124÷（415-312+112）=124÷2解注3:原式的倒數(shù)=（13-14+112）÷124=（13-14+112所以原式=1（1）上述得到的結(jié)果不同，你認為解法_________是錯誤的；（2）請你選擇合適的解法計算（-142）÷（16-314+2練習(xí)4（2020·重慶沙坪壩區(qū)校級月考）閱讀下列材料:|x|=x，x>00，x=0?x，x<0即當(dāng)x<0時，x|x|用這個結(jié)論可以解決下面問題:（1）已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab≠0時，求a|a（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc≠0時，求a|a|+b（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c=0，abc<0，求b+c|a|+

——能力培優(yōu)訓(xùn)練——能力通關(guān)1.（2019·宜賓中考）2的倒數(shù)是（）A.12 B.-2 C.-12 D1.A2.（2020·西安長安區(qū)校級月考）如圖2-29所示的是小明同學(xué)完成的作業(yè)，他做錯的題數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.42.C[提示:-23的相反數(shù)是23，-1的倒數(shù)是-1，絕對值等于它本身的數(shù)是非負數(shù)、（）-7=-3.括號內(nèi)的數(shù)為4，（-3）÷（-13）=93.下列說法中正確的個數(shù)是（）①整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；②絕對值是它本身的數(shù)只有0；③兩數(shù)之和一定大于每個加數(shù)；④如果兩個數(shù)的積為0，那么至少有一個因數(shù)為0；⑤0是最小的有理數(shù)；⑥幾個有理數(shù)相乘，如果負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，那么積為負數(shù).A.5 B.4 C.3 D.23.D[提示:①整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)是正確的:②絕對值是它本身的數(shù)有正數(shù)和0，原來的說法是錯誤的:③兩數(shù)之和可能小于等于每個加數(shù)，原來的說法是錯誤的:④如果兩個數(shù)的積為0，那么至少有一個因數(shù)為0是正確的；⑤沒有最小的有理數(shù).原來的說法是錯誤的；⑥幾個有理數(shù)（非0）相乘，如果負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，那么積為負數(shù).原來的說法是錯誤的.]4.若a+b>0且ba>0，則下列結(jié)論成立的是（A.a>0，b>0 B.a<0，b<0 C.a>0，b<0 D.a<0，b>04.A5.在-3，-4，-1，2，5中取出三個數(shù)，把三個數(shù)相乘，所得到的最大乘積是_____.5.606.計算（-99916）÷9=6.-11116[提示:（-99916）÷9=（-99-916）×19=-11-7.（2020·鄭州金水區(qū)校級月考）三個有理數(shù)a，b，c的積是正數(shù)，當(dāng)x=|a|a+|b|7.3或-1[提示:因為三個有理數(shù)a，b，c的積是正數(shù).所以a，b.c中三個都為正數(shù)或有兩個負數(shù)、一個正數(shù)，則x=3或-1.]8.（2020·南通海安市校級月考）計算.（1）