新高考數學高頻考點+題型專項千題百練(新高考適用)專題15數列構造求解析式必刷100題(原卷版+解析)

專題15數列構造求解析式必刷100題任務一:善良模式(基礎)1-30題一、單選題1．數列中，，，則（）A．32 B．62 C．63 D．642．在數列中，，且，則的通項為（）A． B．C． D．3．設數列{an}滿足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是（）A．4 B．4C．4 D．44．設數列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，則通項an可能是（）A．5－3n B．3·2n－1－1C．5－3n2 D．5·2n－1－35．已知數列滿足：，則數列的通項公式為（）A． B． C． D．6．已知數列中，，則（）A． B． C． D．7．已知數列的前項和為，，，，則（）A． B． C． D．8．已知數列滿足：，，則（）A． B． C． D．9．已知數列滿足遞推關系，，則（）A． B． C． D．10．已知數列滿足：，，，則數列的通項公式為（）A． B． C． D．11．數列滿足，且，若，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．612．已知數列滿足，，則滿足不等式的（為正整數）的值為（）．A．3 B．4 C．5 D．613．在數列中，，，若，則的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．1214．已知數列滿足，且，則的第項為（）A． B． C． D．15．數列中，若，，則該數列的通項（）A． B． C． D．16．已知數列滿足，且，，則數列前6項的和為（）.A．115 B．118 C．120 D．128第II卷（非選擇題）二、填空題17．已知數列滿足，則__________．18．已知數列的各項均為正數，且，則數列的通項公式______．19．已知數列滿足，且，則數列的通項公式______．20．若正項數列滿足，則數列的通項公式是_______．21．若數列滿足，，，且，則______．22．數列的前項和為，已知，，則___．23．在數列中，，，，則________.三、解答題24．已知數列滿足，.（1）若數列滿足，求證：是等比數列；（2）求數列的前n項和.25．已知數列的前項和為，且，數列滿足，．求數列，的通項公式；26．已知數列中，，．求數列的通項公式；27．已知列滿足，且，．（1）設，證明：數列為等差數列；（2）求數列的通項公式；28．已知等差數列的前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）已知，，設___________，求數列的通項公式.在①，②，③，這3個條件中，任選一個解答上述問題.注：如果選擇多個條件分別解答，按照第一個解答計分.29．設數列滿足，且，.（1）求，的值；（2）已知數列的通項公式是：，，中的一個，判斷的通項公式，并求數列的前項和.30．已知數列滿足，，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設，，求的最小值.任務二:中立模式(中檔)1-50題一、單選題1．已知數列滿足，記數列前項和為，則（）A． B． C． D．2．已知數列滿足，，設，若數列是單調遞減數列，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知在數列中，，，則（）A． B． C． D．4．設數列滿足，若，且數列的前項和為，則（）A． B． C． D．5．數列滿足，，若，且數列的前項和為，則（）A．64 B．80 C． D．6．已知數列滿足，且，，則（）A． B． C． D．7．已知數列滿足，，若，當時，的最小值為（）A． B． C． D．8．數列各項均是正數，，，函數在點處的切線過點，則下列命題正確的個數是（）．①；②數列是等比數列；③數列是等比數列；④．A．1 B．2 C．3 D．49．已知數列滿足，，若，，且數列是單調遞增數列，則實數的取值范圍是A． B． C． D．10．已知數列滿足，.若，則數列的通項公式（）A． B． C． D．11．已知數列的首項，且滿足，則中最小的一項是（）A． B． C． D．12．已知數列，，則（）A． B． C． D．13．已知數列的前項和為，，且滿足，若，，，則的最小值為（）A． B． C． D．014．數列滿足，那么的值為（）．A．4 B．12 C．18 D．3215．已知數列滿足，，則（）A． B． C． D．16．若數列的首項，且滿足，則的值為（）A．1980 B．2000 C．2020 D．202117．設數列的前項和為，且，（），則的最小值為A． B． C． D．18．已知數列的首項，則（）A．7268 B．5068 C．6398 D．402819．已知在數列中，，，則（）A． B． C． D．20．如果數列滿足，，且，則這個數列的第10項等于（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題21．已知數列滿足，且，則的通項公式_______________________.22．設數列滿足，，，數列前n項和為，且（且）．若表示不超過x的最大整數，，數列的前n項和為，則的值為___________．23．已知是數列的前項和，，，，求數列的通項公式___________.24．設數列滿足，，，數列前n項和為，且（且）．若表示不超過x的最大整數，，數列的前n項和為，則的值為___________．25．已知數列中，，設，求數列的通項公式________．26．已知數列滿足，，則數列的通項公式為______.27．若數列滿足，，則數列的通項公式________.28．已知數列中，，且滿足，若對于任意，都有成立，則實數的最小值是_________.29．在數列中，，且，則______.(用含的式子表示)30．若數列滿足，且，則________.31．在數列中，，，是數列的前項和，則為___________.32．若數列滿足，，則使得成立的最小正整數的值是______.33．已知數列滿足，，則________.34．已知數列{an}滿足（n∈N*），且a2=6，則{an}的通項公式為_____.35．設數列滿足，，，，則______.36．已知數列滿足，，若，則數列的首項的取值范圍為___________.37．數列滿足，（，），則______.38．已知數列滿足，，則通項公式_______.39．數列滿足：，，，令，數列的前項和為，則__________．40．數列滿足,記,則數列的前項和________．三、解答題41．已知在數列中，，且.（1）求，，并證明數列是等比數列；（2）求的通項公式；（3）求的值.42．已知Sn＝4－an－，求an與Sn.43．設各項均為正數的等差數列的前項和為，，且，，成等比數列．（1）求數列的公差；（2）數列滿足，且，求數列的通項公式．44．已知數列中，，.（1）求證：數列是等比數列；（2）數列滿足的，數列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.45．數列，的每一項都是正數，，，且，，成等差數列，，，成等比數列．（1）求數列，的值．（2）求數列，的通項公式．（3）記，記的前n項和為，證明對于正整數n都有成立．46．已知數列滿足，其中.（1）求證是等差數列，并求數列的通項公式；（2）設，若對任意的恒成立，求p的最小值.47．已知數列的前n項和為，滿足.（1）證明數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前n項和.48．已知數列{an}滿足a1＝，Sn是{an}的前n項和，點(2Sn＋an，Sn＋1)在的圖象上．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若cn＝n，Tn為cn的前n項和，n∈N*，求Tn.49．已知數列{an}滿足a1a2…an＝1an．（1）求證數列{}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；（2）設Tn＝a1a2……an，bn＝an2Tn2，證明：b1+b2+…+bn＜．50．已知數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）設，若恒成立，求實數的取值范圍；（3）設是數列的前項和，證明．任務三:邪惡模式(困難)1-20題一、單選題1．數列滿足，，，設，記表示不超過的最大整數．設，若不等式，對恒成立，則實數的最大值為（）A． B． C． D．2．已知數列滿足，且，則數列前36項和為（）A．174 B．672 C．1494 D．59043．已知數列，滿足.若，的值是（）A．4 B．5 C．6 D．74．已知數列由首項及遞推關系確定.若為有窮數列，則稱a為“壞數”.將所有“壞數”從小到大排成數列，若，則（）A． B．C． D．5．為數列的前n項和，，對任意大于2的正整數，有恒成立，則使得成立的正整數的最小值為（）A．7 B．6 C．5 D．46．數列中，，，則（）A． B． C． D．7．設數列的前項和為，且是6和的等差中項．若對任意的，都有，則的最小值為（）．A． B． C． D．8．數列滿足，，，若數列為單調遞增數列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．數列滿足，則下列說法錯誤的是（）A．存在數列使得對任意正整數p，q都滿足B．存在數列使得對任意正整數p，q都滿足C．存在數列使得對任意正整數p，q都滿足D．存在數列使得對任意正整數p，q都滿足10．已知，又函數是上的奇函數，則數列的通項公式為（）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題11．兩個數列?滿足，，，（其中），則的通項公式為___________.12．已知數列滿足，則________13．設是函數的極值點，數列滿足，若表示不超過的最大整數，則__________．14．已知數列中的分別為直線在軸、軸上的截距，且，則數列的通項公式為_____________．15．已知數列的前項和滿足：，則為__________．三、解答題16．已知數列滿足：，，數列滿足：，，求證：．17．(1)已知數列，其中，，且當時，，求通項公式；(2)數列中，，，，求．18．設二次函數滿足：（i）的解集為；（ii）對任意都有成立.數列滿足：，，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）求證：19．已知數列的前項和滿足，，證明：對任意的整數，有.20．已知數列中，，.（1）求證：是等比數列，并求數列的通項公式；（2）已知數列，滿足.（i）求數列的前項和；（ii）若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.專題15數列構造求解析式必刷100題任務一:善良模式(基礎)1-30題一、單選題1．數列中，，，則（）A．32 B．62 C．63 D．64【答案】C【分析】把化成，故可得為等比數列，從而得到的值.【詳解】數列中，，故，因為，故，故，所以，所以為等比數列，公比為，首項為.所以即，故，故選C.2．在數列中，，且，則的通項為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】依題意可得，即可得到是以2為首項，2為公比的等比數列，再根據等比數列的通項公式計算可得；【詳解】解：∵，∴，由，得，∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列，∴，即．故選：A3．設數列{an}滿足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是（）A．4 B．4C．4 D．4【答案】D【分析】首先證得{nan－(n－1)an－1}為常數列，得到，進而證得數列是以1為首項，5為公差的等差數列，從而求出通項公式，進而求出結果.【詳解】因為2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，所以nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan故數列{nan－(n－1)an－1}為常數列，且，所以，即，因此數列是以1為首項，5為公差的等差數列，所以，因此所以a20＝.故選：D．4．設數列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，則通項an可能是（）A．5－3n B．3·2n－1－1C．5－3n2 D．5·2n－1－3【答案】D【分析】用構造法求通項.【詳解】設，則，因為an＋1＝2an＋3，所以，所以是以為首項，2為公比的等比數列，，所以故選：D5．已知數列滿足：，則數列的通項公式為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】對兩邊取倒數后，可以判斷是首項為1，公差為的等差數列，即可求得.【詳解】由數列滿足：，兩邊取倒數得：，即，所以數列是首項為1，公差為的等差數列，所以，所以故選:D6．已知數列中，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，由等差數列的性質及通項可得，即可得解.【詳解】令，則，，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，所以，所以.故選：D.7．已知數列的前項和為，，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得出數列是等比數列，然后可利用數列的奇數項仍然為等比數列，求得和．【詳解】因為，所以，又，所以，所以是等比數列，公比為4，首項為3，則數列也是等比數列，公比為，首項為3．所以．故選：A．8．已知數列滿足：，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知關系求得數列是等比數列，由等比數列通項公式可得結論．【詳解】由題意，由得，即，所以數列是等比數列，僅比為4，首項為4，所以．故選：C．9．已知數列滿足遞推關系，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由遞推式可得數列為等差數列，根據等差數列的通項公式即可得結果.【詳解】因為，所以，，即數列是以2為首項，為公差的等差數列，所以，所以，故選：D.10．已知數列滿足：，，，則數列的通項公式為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取倒數，可得是以為首項，為公比的等比數列，由此可得結論.【詳解】∵∴，∴，∵∴是以為首項，為公比的等比數列，∴，∴.故選：B.11．數列滿足，且，若，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】依題意，得，可判斷出數列{2nan}為公差是1的等差數列，進一步可求得21a1=2，即其首項為2，從而可得an=，繼而可得答案．【詳解】∵，即，∴數列{2nan}為公差是1的等差數列，又a1=1，∴21a1=2，即其首項為2，∴2nan=2+（n﹣1）×1=n+1，∴an=．∴a1=1，a2=，a3=，a4=＞，a5==＜=，∴若，則n的最小值為5，故選C．12．已知數列滿足，，則滿足不等式的（為正整數）的值為（）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】先求得的通項公式，然后解不等式求得的值.【詳解】依題意，，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以，所以，由得，即，即，，而在上遞減，所以由可知.故選：D13．在數列中，，，若，則的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根據遞推關系可得數列是以1為首項，2為公比的等比數列，利用等比數列的通項公式可得，即求.【詳解】因為，所以，即，所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列.則，即.因為，所以，所以，所以.故選：C14．已知數列滿足，且，則的第項為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】在等式兩邊取倒數，可推導出數列為等差數列，確定該數列的首項和公差，進而可求得.【詳解】當且，在等式兩邊取倒數得，，且，所以，數列為等差數列，且首項為，公差為，因此，.故選：A.15．數列中，若，，則該數列的通項（）A． B． C． D．【答案】A【分析】據遞推關系式可得，利用等比數列的通項公式即可求解.【詳解】因為，所以，即數列是以4為首項，2為公比的等比數列，所以，故，故選：A16．已知數列滿足，且，，則數列前6項的和為（）.A．115 B．118 C．120 D．128【答案】C【分析】由題干條件求得，得到，構造等比數列可得數列的通項公式，再結合等比數列求和公式即可求得數列前6項的和.【詳解】，則，可得，可化為，有，得，則數列前6項的和為.故選：C第II卷（非選擇題）二、填空題17．已知數列滿足，則__________．【答案】【分析】先判斷出是首項為2，公比為3的等比數列，即可得到，從而求出.【詳解】因為，所以，由，所以為首項為2，公比為3的等比數列，所以，所以.故答案為：18．已知數列的各項均為正數，且，則數列的通項公式______．【答案】【分析】因式分解可得，結合，即得解【詳解】由，得．又，所以數列的通項公式．故答案為：19．已知數列滿足，且，則數列的通項公式______．【答案】【分析】利用條件構造數列，可得數列為等差數列即求.【詳解】∵，∴，即．又，，∴數列是以3為首項，1為公差的等差數列，∴，∴數列的通項公式．故答案為：.20．若正項數列滿足，則數列的通項公式是_______．【答案】【分析】根據給定條件將原等式變形成，再利用構造成基本數列的方法求解即得.【詳解】在正項數列中，，則有，于是得，而，因此得：數列是公比為2的等比數列，則有，即，所以數列的通項公式是.故答案為：21．若數列滿足，，，且，則______．【答案】15【分析】根據題意整理可得，所以為常數列，令即可得解.【詳解】由可得，兩邊同除可得，故數列為常數列，所以，所以，解得.故答案為：1522．數列的前項和為，已知，，則___．【答案】【分析】由給定條件借助消去，求出即可得解.【詳解】因，，而，則，于是得，又，則數列是首項為1，公比為2的等比數列，從而有，即，，時，，而滿足上式，所以，.故答案為：23．在數列中，，，，則________.【答案】460【分析】由已知可得，即數列是以為首項，為公比的等比數列，由此可求出的通項公式，得出所求.【詳解】，，即,所以，則數列是以為首項，為公比的等比數列，，，.故答案為：460.三、解答題24．已知數列滿足，.（1）若數列滿足，求證：是等比數列；（2）求數列的前n項和.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由遞推公式可得，即，即可得證；（2）由（1）可得，再利用分組求和法及等比數列求和公式計算可得；（1）解：因為，所以，又，，所以，即，，所以是以為首項，為公比的等比數列；（2）解：由（1）可得，即，所以所以25．已知數列的前項和為，且，數列滿足，．求數列，的通項公式；【答案】，【分析】利用求通項公式，構造是等比數列，求通項公式即可；【詳解】解：數列的前項和為，且，當時，．當時，，顯然也適合上式．所以；因為數列滿足，．所以，所以數列是以為首項，3為公比的等比數列．故，所以.26．已知數列中，，．求數列的通項公式；【答案】【分析】首先證得是等差數列，然后求出的通項公式，進而求出的通項公式；【詳解】解：因為，所以令，則，解得，對兩邊同時除以，得，又因為，所以是首項為1，公差為2的等差數列，所以，所以；27．已知列滿足，且，．（1）設，證明：數列為等差數列；（2）求數列的通項公式；【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據題設遞推式得，根據等差數列的定義，結論得證.（2）由（1）直接寫出通項公式即可.【詳解】（1）由題設知：，且，∴是首項、公差均為1的等差數列，又，則數列為等差數列，得證.（2）由（1）知：.28．已知等差數列的前項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）已知，，設___________，求數列的通項公式.在①，②，③，這3個條件中，任選一個解答上述問題.注：如果選擇多個條件分別解答，按照第一個解答計分.【答案】（1）；（2）見解析.【分析】（1）根據等差數列的性質可求，從而可求的通項.（2）根據題設中的遞推關系可得，從而可得為常數列，據此可求的通項，從而可求相應的的通項公式.【詳解】（1）因為為等差數列，故，故，而，故即，所以等差數列的公差為1，所以.（2）因此，故，所以，所以為常數列，所以，所以，若選①，則；若選②，則；若選③，則.29．設數列滿足，且，.（1）求，的值；（2）已知數列的通項公式是：，，中的一個，判斷的通項公式，并求數列的前項和.【答案】（1），；（2），.【分析】（1）由遞推公式得，結合已知是首項為3，公比為3的等比數列，寫出的通項公式，進而求，的值；（2）由（1）得，再應用分組求和及等差、等比前n項和公式求.【詳解】（1）∵，即且，∴是首項為3，公比為3的等比數列，即，∴，則，.（2）設，由（1）知，又.∴，.30．已知數列滿足，，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設，，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）構造，結合已知條件可知是首項為2，公差為4的等差數列，寫出通項公式，再應用累加法有，即可求的通項公式；（2）由（1）知：，易知在上恒成立，且數列單調遞增，即可求其最小值.【詳解】（1）令，則，而，∴是首項為2，公差為4的等差數列，即，∴，又，∴.（2）由題設，，，∴，當且僅當時等號成立，故且在上單調遞增，又，∴當時，的最小值.任務二:中立模式(中檔)1-50題一、單選題1．已知數列滿足，記數列前項和為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，利用累加法可求得，求得的范圍，從而可得的范圍，從而可得出答案.【詳解】解：由可得，化簡得，累加求和得，化簡得，因為，所以，即，．，，所以，即．故選：B.2．已知數列滿足，，設，若數列是單調遞減數列，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將遞推關系式整理為，可知數列為等差數列，借助等差數列通項公式可整理求得，從而得到的通項公式；根據數列的單調性可采用分離變量法得到，結合導數的知識可求得，由此可得結果.【詳解】由得：．，即，是公差為的等差數列．，，，．是遞減數列，，，即，即．只需，令，，在上單調遞增，在上單調遞減．又，，當時，，即，，即實數的取值范圍是．故選：B．3．已知在數列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，即可得到是以為首項，為公比的等比數列，再根據等比數列的通項公式計算可得；【詳解】解:因為，，所以，整理得，所以數列是以為首項，為公比的等比數列．所以，解得．故選：A4．設數列滿足，若，且數列的前項和為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據的遞推關系求出的通項公式，代入的表達式中，求出的通項，即可求解的前項和【詳解】由可得,∵,∴,則可得數列為常數列，即,∴∴,∴.故選:D5．數列滿足，，若，且數列的前項和為，則（）A．64 B．80 C． D．【答案】C【分析】由已知可得，即數列是等差數列，由此求出，分別令可求出.【詳解】數列滿足，，則，可得數列是首項為1、公差為1的等差數列，即有，即為，則，則.故選：C.6．已知數列滿足，且，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，從而得數列以為首項，2為公比的等比數列，根據，可化為，從而即可求得答案.【詳解】由可得，若，則，與題中條件矛盾，故，所以，即數列是以為首項，2為公比的等比數列，所以，所以，所以，故選：A．7．已知數列滿足，，若，當時，的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將已知遞推關系式變形可得，由此可知數列為等差數列，由等差數列通項公式可取得，進而得到；由可上下相消求得，結合解不等式可求得的最小值.【詳解】由得：，，，即，數列是以為首項，為公差的等差數列，，則，，由得：，又，且，的最小值為.故選：C.8．數列各項均是正數，，，函數在點處的切線過點，則下列命題正確的個數是（）．①；②數列是等比數列；③數列是等比數列；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出函數的導函數，利用導數的幾何意義得到，整理得到，利用構造法求出數列的通項，即可判斷；【詳解】解：由得，所以，∴（*），①，，，，∴，正確；②由（*）知，∴首項，，∴是等比數列，正確；③，首項，不符合等比數列的定義，錯誤；④由②對可知：，兩邊同除得，令，∴，．∴，，即數列是恒為0的常數列．∴，故錯誤．故選：B．9．已知數列滿足，，若，，且數列是單調遞增數列，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】由數列遞推式得到是首項為2，公比為2的等比數列，求出其通項公式后代入，當時，，且求得實數的取值范圍.【詳解】解：由得，則由，得，∴數列是首項為2，公比為2的等比數列，∴，由，得，因為數列是單調遞增數列，所以時，，，即，所以，又∵，，由，得，得，綜上：實數的取值范圍是.故選：C.10．已知數列滿足，.若，則數列的通項公式（）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形為可知數列是首項為2，公比為2的等比數列，求出后代入到可得結果.【詳解】由，得，所以，又，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以，所以.故選：C.11．已知數列的首項，且滿足，則中最小的一項是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉化條件為，結合等差數列的性質可得，即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以，所以數列是首項為，公差為1的等差數列，所以，即，所以，，，當時，，所以中最小的一項是.故選：B.12．已知數列，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，進而可求得的值.【詳解】由可得，，根據遞推公式可得出，，，進而可知，對任意的，，在等式兩邊取對數可得，令，則，可得，則，所以，數列是等比數列，且首項為，公比為，，即.故選：B.13．已知數列的前項和為，，且滿足，若，，，則的最小值為（）A． B． C． D．0【答案】A【分析】轉化條件為，由等差數列的定義及通項公式可得，求得滿足的項后即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以數列是以為首項，公差為2的等差數列，所以，所以，令，解得，所以，其余各項均大于0，所以.故選：A.14．數列滿足，那么的值為（）．A．4 B．12 C．18 D．32【答案】D【分析】首先根據題中所給的數列的遞推公式，得到，從而得到數列是以為首項，以為公差的等差數列，進而寫出的通項公式，將代入求得結果.【詳解】由可得，即，所以數列是以為首項，以為公差的等差數列，所以，所以，所以，故選：D.15．已知數列滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得即數列是以為首項，以2為公比的等比數列，從而得到，再用錯位相減法求和，即可得解；【詳解】解：由，所以，得.所以數列是以為首項，以2為公比的等比數列，所以，所以.設的前項和為，則，兩邊同乘2，得，兩個式子相減得，所以，所以.故選：A16．若數列的首項，且滿足，則的值為（）A．1980 B．2000 C．2020 D．2021【答案】A【分析】由條件可得，從而數列是首項為21，公差為1的等差數列，由，可得，得出的通項公式，進一步得出答案.【詳解】∵，∴，∴，所以數列是首項為21，公差為1的等差數列，∴，∴.，故選：A.17．設數列的前項和為，且，（），則的最小值為A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數列的通項與前項和的關系,將轉換為的遞推公式,繼而構造數列求出,再得到關于的表達式,進而根據函數的性質可得的增減性求解即可.【詳解】由題,當時,,整理得,即數列是以1為首項,2為公差的等差數列.所以,故.所以,令函數,則.故數列是一個遞增數列,當時,有最小值.故選：B18．已知數列的首項，則（）A．7268 B．5068 C．6398 D．4028【答案】C【分析】由得，所以構造數列為等差數列，算出，求出.【詳解】易知，因為，所以，即，是以3為公差，以2為首項的等差數列.所以，即.故選：C19．已知在數列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】遞推關系式乘以，再減去3，構造等比數列求通項公式.【詳解】因為，，所以，整理得，所以數列是以為首項，為公比的等比數列.所以，解得.故選：A.20．如果數列滿足，，且，則這個數列的第10項等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設條件知，所以，由此能夠得到為等差數列，從而得到第10項的值．【詳解】解：，，，，即為等差數列．，，，為以為首項，為公差的等差數列．，．故選：．第II卷（非選擇題）二、填空題21．已知數列滿足，且，則的通項公式_______________________.【答案】【分析】由已知條件可得，從而有是以為首項，為公差的等差數列，進而可得，最后利用累加法及等差數列的前n項和公式即可求解.【詳解】解：由,得，則，由得，所以是以為首項，為公差的等差數列，所以，當時，，所以，當時，也適合上式，所以，故答案為：.22．設數列滿足，，，數列前n項和為，且（且）．若表示不超過x的最大整數，，數列的前n項和為，則的值為___________．【答案】2023【分析】根據遞推公式，可知從第2項起是等差數列，可得，再根據累加法，可得，由此可得當時，，又，由此即可求出.【詳解】當時，，，，，從第2項起是等差數列.又，，，，，當時，，（），當時，.又，.故答案為：202323．已知是數列的前項和，，，，求數列的通項公式___________.【答案】【分析】根據已知條件構造，可得是公比為的等比數列，即，再由累加法以及分組求和即可求解.【詳解】因為，所以，因此，因為，，所以，故數列是首項為，公比為的等比數列，所以，即，所以當時，，，，，，以上各式累加可得：，因為，所以；又符合上式，所以.故答案為：.24．設數列滿足，，，數列前n項和為，且（且）．若表示不超過x的最大整數，，數列的前n項和為，則的值為___________．【答案】2023【分析】根據遞推公式，可知從第2項起是等差數列，可得，再根據累加法，可得，由此可得當時，，又，由此即可求出.【詳解】當時，，，，，從第2項起是等差數列.又，，，，，當時，，（），當時，.又，.故答案為：2023.25．已知數列中，，設，求數列的通項公式________．【答案】【分析】首先判斷是等比數列，并求得其通項公式，從而求得數列的通項公式.【詳解】依題意，則，兩邊取倒數并化簡得，即，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以.故答案為：26．已知數列滿足，，則數列的通項公式為______.【答案】【分析】將已知遞推關系式變形為，令，采用倒數法可證得數列為等差數列，利用等差數列通項公式求得后，整理可得所求通項公式.【詳解】由得：，設，則有，即，又，數列是以，為公差的等差數列，，，即，.故答案為：.27．若數列滿足，，則數列的通項公式________.【答案】【分析】由，可得，設，即，先求出的通項公式，進而得到答案.【詳解】由，可得，設則，則所以是以1為首項，3為公比的等比數列.則，則，所以故答案為：28．已知數列中，，且滿足，若對于任意，都有成立，則實數的最小值是_________.【答案】2【分析】將已知等式化為，根據數列是首項為3公差為1的等差數列，可求得通項公式，將不等式化為恒成立，求出的最大值即可得解.【詳解】因為時，，所以，而，所以數列是首項為3公差為1的等差數列，故，從而.又因為恒成立，即恒成立，所以.由得，得，所以，所以，即實數的最小值是2.故答案為：229．在數列中，，且，則______.(用含的式子表示)【答案】【分析】將條件變形為，即數列是首項為，公比為3的等比數列，然后可算出答案.【詳解】因為，所以，所以數列是首項為，公比為3的等比數列，所以所以.故答案為：30．若數列滿足，且，則________.【答案】【分析】由題意結合數列的遞推公式，逐步運算即可得解.【詳解】因為，所以，數列是等比數列，首項為，公比為，則通項，可得：，則.故答案為：.31．在數列中，，，是數列的前項和，則為___________.【答案】【分析】將化為，再由等比數列的定義和通項公式?求和公式，可得所求和.【詳解】解：由，，可得，即，所以數列是以為首項?2為公差的等差數列，所以，由，.故答案為：.32．若數列滿足，，則使得成立的最小正整數的值是______.【答案】【分析】根據遞推關系式可證得數列為等比數列，根據等比數列通項公式求得，代入不等式，結合可求得結果.【詳解】，，，數列是以為首項，為公比的等比數列，，，由得：，即，，且，滿足題意的最小正整數.故答案為：.33．已知數列滿足，，則________.【答案】【分析】轉化原式為，可得是以1為首項，1為公差的等差數列，即得解【詳解】依題意，，故，故數列是以1為首項，1為公差的等差數列，故，則.故答案為：34．已知數列{an}滿足（n∈N*），且a2=6，則{an}的通項公式為_____.【答案】【分析】由題意令n=1可得a1，當時，轉化條件可得，進而可得，即可得解.【詳解】因為數列{an}滿足（n∈N*），所以，①當n=1時，即a1=1，②當時，由可得，∴數列從第二項開始是常數列，又，∴，∴，又滿足上式，∴.故答案為：.35．設數列滿足，，，，則______.【答案】【分析】由題意可得，，化簡整理得，令，可得，由此可得，從而可求出答案．【詳解】解：∵，，∴當時，，即，∴，∴，令，則，且，∴，又，∴，即，∴，故答案為：．36．已知數列滿足，，若，則數列的首項的取值范圍為___________.【答案】【分析】利用構造法求得，由可得出，可得，進而可求得的取值范圍.【詳解】，.若，得，可知，此時，，數列是遞減數列，不合乎題意；若，得，則數列是以為公比的等比數列，所以，，則，，且，即，整理得，，則，易知數列是單調遞減數列，則，解得.因此，數列的首項的取值范圍為.故答案為：.37．數列滿足，（，），則______.【答案】【分析】利用項和轉換，得到，故是以為首項，為公差的等差數列，可得，再借助，即得解.【詳解】由于，即故是以為首項，為公差的等差數列由于故答案為：38．已知數列滿足，，則通項公式_______.【答案】【分析】先取倒數可得,即,由等比數列的定義可得時,,即,再檢驗時是否符合即可【詳解】由題,因為,所以,所以,當時,,所以,所以當時,,則,即,當時,,符合,所以,故答案為:39．數列滿足：，，，令，數列的前項和為，則__________．【答案】【詳解】由遞推關系整理可得：，則：，據此可得：以上各式相加可得：，再次累加求通項可得：，當時該式也滿足題意，綜上可得：，則：40．數列滿足,記,則數列的前項和________．【答案】【詳解】試題分析：由得，且，所以數列構成以1為首項，2為公差的等差數列，所以，從而得到，則，所以,,兩式相減，得所以.三、解答題41．已知在數列中，，且.（1）求，，并證明數列是等比數列；（2）求的通項公式；（3）求的值.【答案】（1）-4，-15，證明見解析（2）（3）【分析】（1）代值計算出，，根據遞推公式可得據，即可證明；（2）由（1）可知是以-2為首項，以3為公比的等比數列，即可求出通項公式；（3）分組求和，即可求出答案.（1）解：因為，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴數列是等比數列，（2）解：由（1）可知是以為首項，以3為公比的等比數列，即，即；（3）解：.42．已知Sn＝4－an－，求an與Sn.【答案】an＝n·，n∈N*；Sn＝4－.【分析】由題得Sn＝4－an－，Sn－1＝4－an－1－，n≥2，兩式相減化簡即得an與Sn.【詳解】∵Sn＝4－an－，∴Sn－1＝4－an－1－，n≥2，當n≥2時，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.∴an＝an－1＋∴，∴2nan－2n－1an－1＝2，∴{2nan}是等差數列，d＝2，首項為2a1.∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.∴an＝n·，n∈N*，∴Sn＝4－an－＝4－n·－＝4－.43．設各項均為正數的等差數列的前項和為，，且，，成等比數列．（1）求數列的公差；（2）數列滿足，且，求數列的通項公式．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據，，成等比數列可得，利用表示出和，解方程組可求得，結合可得結果；（2）由（1）可得，整理得，可知數列為等比數列，由等比數列通項公式可推導得到結果.（1）（1）設等差數列的公差為，，，成等比數列，，即，又，解得：或；當時，，與矛盾，，即等差數列的公差；（2）由（1）得：，，即，，又，解得：，數列是以為首項，為公比的等比數列，，整理可得：.44．已知數列中，，.（1）求證：數列是等比數列；（2）數列滿足的，數列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）將遞推公式兩邊取倒數，即可得到，從而得到，即可得證；（2）由（1）可得，從而得到，再利用錯位相減法求和即可得到，即可得到，對一切恒成立，再對分奇偶討論，即可求出的取值范圍；（1）解：由，得∴，所以數列是以3為公比，以為首項的等比數列.（2）解：由（1）得，即.所以.兩式相減得:，∴因為不等式對一切恒成立，所以，對一切恒成立，因為單調遞增若為偶數，則，對一切恒成立，∴；若為奇數，則，對一切恒成立，∴，∴綜上：.45．數列，的每一項都是正數，，，且，，成等差數列，，，成等比數列．（1）求數列，的值．（2）求數列，的通項公式．（3）記，記的前n項和為，證明對于正整數n都有成立．【答案】（1）24；36；（2），；（3）證明見解析.【分析】(1)由條件取特殊值求，；(2)由條件證明數列為等差數列，由此可求數列，的通項公式；(3)利用裂項相消法求，由此證明.【詳解】解：（1）由得，又得，（2）∵，，成等差數列，∴①，又∵，，成等比數列，∴，②當時，③由②③代入①得，，∴是以為首項的等差數列，∴則，時，，經驗證也符合，∴．（3）由（2）知，則成立．46．已知數列滿足，其中.（1）求證是等差數列，并求數列的通項公式；（2）設，若對任意的恒成立，求p的最小值.【答案】（1）證明見解析，；（2）最小值為1.【分析】（1）根據，可得，從而可得，即可得出結論，再根據等差數列的通項即可求得數列的通項公式；（2），即，設，利用作差法證明數列單調遞減，從而可得出答案.【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴是以1為首項，1為公差的等差數列.，∴.（2）解：∵，∴，即對任意的恒成立，而，設，∴，，∴，∴數列單調遞減，∴當時，，∴.∴p的最小值為1.47．已知數列的前n項和為，滿足.（1）證明數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前n項和.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【分析】（1）由，化簡得到，得出，利用等差數列的定義，得到數列表示首項為，公差為的等差數列，進而求得.（2）由題意，化簡得到，結合裂項法，即可求解.【詳解】（1）因為，可得，即，可得，即，又由，可得，所以數列表示首項為，公差為的等差數列，所以，所以.（2）由，則數列的前n項和：，即.48．已知數列{an}滿足a1＝，Sn是{an}的前n項和，點(2Sn＋an，Sn＋1)在的圖象上．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若cn＝n，Tn為cn的前n項和，n∈N*，求Tn.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據題意得到，進而證得數列是以為首項，以為公比的等比數列，從而可以求出結果；（2）錯位相減法求出數列的和即可.【詳解】（1）∵點(2Sn＋an，Sn＋1)在的圖象上，∴，∴.∵，∴數列是以為首項，以為公比的等比數列，∴，即,（2）∵,∴，①∴，②①－②得，∴.49．已知數列{an}滿足a1a2…an＝1an．（1）求證數列{}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；（2）設Tn＝a1a2……an，bn＝an2Tn2，證明：b1+b2+…+bn＜．【答案】（1）證明見解析，an＝；（2）證明見解析.【分析】（1）由題設得，進而構造與的關系式，利用等差數列的定義證明結論，然后求a1，即可得an；（2）由（1）求得Tn與bn，再利用放縮法與裂項相消法證明結論．【詳解】（1）∵a1a2…an＝1an①，則a1a2…an+1＝1an+1②，∴兩式相除得：，整理得，∴，則，∴，又n＝1時有a1＝1a1，解得：，∴，∴數列{}是以為首項，為公差的等差數列，∴，即.（2）由（1）得：Tn＝a1a2…an＝，∴bn＝，∴b1+b2+…+bn＜，得證．50．已知數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）設，若恒成立，求實數的取值范圍；（3）設是數列的前項和，證明．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【分析】（1）先化簡遞推公式，由等比數列的定義判斷出，數列是公比為的等比數列，根據等比數列的通項公式求出；（2）由（1）和條件求出，利用作差法判斷出數列的單調性，可求出的最大值，再求實數的取值范圍；（3）由（1）化簡，利用裂項相消法求出，利用函數的單調性判斷出的單調性，結合的取值范圍求出的范圍，即可證明結論．【詳解】解：（1）由已知，可得，所以．所以數列是為首項，公比為的等比數列．則，所以．（2）由（1）知，所以，所以，．，所以，所以則當，，即，當，，即，是最大項且，．（3），又令，顯然在時單調遞減，所以，故而．任務三:邪惡模式(困難)1-20題一、單選題1．數列滿足，，，設，記表示不超過的最大整數．設，若不等式，對恒成立，則實數的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先通過構造等比數列求出數列的通項公式，并進而用累加法求出的通項公式及的通項公式.最后利用裂項相消法將化簡后取整，整理的最小值后得解【詳解】由題意得：，，又，數列是以為首項，為公比的等比數列，，又，，…，，，由累加法，；，，，，，，，，對恒成立，，則實數的最大值為.故選：C.2．已知數列滿足，且，則數列前36項和為（）A．174 B．672 C．1494 D．5904【答案】B【分析】由條件可得，由此求出數列的通項，進而求得數列的通項，再利用分組求和方法即可計算作答.【詳解】在數列中，，當時，，于是得數列是常數列，則，即，因，，則，因此，，，顯然數列是等差數列，于是得，所以數列前36項和為672.故選：B3．已知數列，滿足.若，的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據可知數列為等比數列，將代入后將其變形可知數列為等差數列，即可解得；將，代入即可解出答案.【詳解】因為.所以數列為以1為首項，2為公比的等比數列.所以.，,所以數列為以3為首項，為公差的等差數列.所以..故選：C.4．已知數列由首項及遞推關系確定.若為有窮數列，則稱a為“壞數”.將所有“壞數”從小到大排成數列，若，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由得，所以數列為等差數列,則，求出數列，當分母為0，得，即時，數列為有窮數列，得出，即，又，，根據單調性可得答案.【詳解】由，得則，即所以數列為等差數列,則則，所以當時,，滿足條件.當分母為0，得，即時，數列為有窮數列.當時,數列為有窮數列.則當分母為0時，無意義，此時數列為有窮數列，此時對應的值為所以，由，則，即設，則所以在上單調遞增.所以設設，則所以在上單調遞增.所以所以選項C正確故選：C5．為數列的前n項和，，對任意大于2的正整數，有恒成立，則使得成立的正整數的最小值為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】先由題設條件求出，得到：，整理得：，從而有數列是以3為首項，2為公差的等差數列，求出，再利用累加法求出，然后利用裂項相消法整理可得，解出的最小值．【詳解】解：依題意知：當時有，，，，，，即，，即，，又，，，數列是以3為首項，2為公差的等差數列，，故，，，，，由上面的式子累加可得：，，，．由可得：，整理得，且，解得：．所以的最小值為6．故選：B．6．數列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡得到，記，得到，是以為公差的等差數列，計算得到答案.【詳解】由，故，記，則，兩邊取倒數，得，所以是以為公差的等差數列，又，所以，所以，故.故選：C.7．設數列的前項和為，且是6和的等差中項．若對任意的，都有，則的最小值為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據等差中項的概念列出關系式，再利用與之間的關系，得到關于的遞推關系式，求得的表達式，再計算的取值范圍，再計算的取值范圍解出題目.【詳解】由是6和的等差中項，得，令得，又，得，則是首項為，公比為的等比數列,得．若為奇數，；若為偶數，．而是關于的單調遞增函數，并且，，故最小值是，故此題選B．8．數列滿足，，，若數列為單調遞增數列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件求出數列通項，再由數列為單調遞增數列列出不等式并分離參數即可推理計算作答.【詳解】數列中，，，則有，而，因此，數列是公比為2的等比數列，，即，則，因數列為單調遞增數列，即，，則，，令，則，，當時，，當時，，于是得是數列的最大值的項，即當n=3時，取得最大值，從而得，所以的取值范圍為.故選：C9．數列滿足，則下列說法錯誤的是（）A．存在數列使得對任意正整數p，q都滿足B．存在數列使得對任意正整數p，q都滿足C．存在數列使得對任意正整數p，q都滿足D．存在數列使得對任意正整數p，q都滿足【答案】C【分析】依題設找到數列滿足的遞推關系，或舉反例否定.【詳解】由，得，令，，則當時，數列滿足題設，所以A正確；由，得，令，則當時，數列滿足題設，所以B正確；由，令，得，，，，令，得，，，則，，從而，與矛盾，所以C錯誤；由，得，令，則當時，數列滿足題設，所以D正確.故選：C10．已知，又函數是上的奇函數，則數列的通項公式為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由在R上為奇