高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識題型全歸納專題04導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和求參(原卷版+解析)

更多精品資料請關(guān)注微信公眾號：超級高中生導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識題型全歸納專題04導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和求參例：1．已知曲線與曲線有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則以下結(jié)論不正確個(gè)數(shù)的是（）①在上單調(diào)遞增②③方程有實(shí)數(shù)解④存在實(shí)數(shù)，使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式：1．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的個(gè)數(shù)為（）

①函數(shù)的值域?yàn)?；②函?shù)在上遞增，在上遞減；③的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；④有兩個(gè)零點(diǎn).A．0 B．1 C．2 D．34.1導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)證明：例：1．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；2．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明有且僅有一個(gè)零點(diǎn)：3．函數(shù).（1）求證：有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)；變式：1．設(shè)函數(shù)，，（為參數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間，并證明有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；2．已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)；3．已知函數(shù)，.（1）證明：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；4．函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).5．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）令，當(dāng)時(shí)，證明∶函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).4.2導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題：例：1．已知函數(shù)，.（1）若方程存在兩個(gè)不等的實(shí)根，，求a的取值范圍；（2）滿足（1）問的條件下，證明：.2．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求證：.3．已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求函數(shù)在最大值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，試證明：．變式：1.．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求a的取值范圍；（2）求證：.2．已知函數(shù)（）.（1）若，求函數(shù)在處的切線；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.3．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明．更多精品資料請關(guān)注微信公眾號：超級高中生導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識題型全歸納專題04導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和求參例：1．已知曲線與曲線有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，由此可確定圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方式可求得的范圍.【詳解】與有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程在上有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，時(shí)，，，令，可知與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，則，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；又時(shí)，；時(shí)，，可得圖象如下圖所示：則當(dāng)時(shí)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即與有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)的問題，常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.2．已知函數(shù)，則以下結(jié)論不正確個(gè)數(shù)的是（）①在上單調(diào)遞增②③方程有實(shí)數(shù)解④存在實(shí)數(shù)，使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】對求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的符號可判斷的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng)①；由，以及的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)②；令，由零點(diǎn)存在定理可判斷選項(xiàng)③；等價(jià)于，有一個(gè)根為，所以原方程有4個(gè)根等價(jià)于方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，令，對求導(dǎo)判斷單調(diào)性，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷選項(xiàng)④.【詳解】由可得，由可得：，由可得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故選項(xiàng)①不正確；對于選項(xiàng)②：，根據(jù)在單調(diào)遞增，所以，故選項(xiàng)②正確；對于選項(xiàng)③：令，因?yàn)?，，，根?jù)零點(diǎn)存在定理可知存在使得，所以方程有實(shí)數(shù)解，故選項(xiàng)③正確；對于選項(xiàng)④：方程即，有一根為，所以原方程有4個(gè)根等價(jià)于方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，令，則，令可得或，令可得，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，作出的圖形如圖所示：所以存在時(shí)，方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，此時(shí)方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解，故選項(xiàng)④正確.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，由（或）解出相應(yīng)的的范圍，對應(yīng)的區(qū)間為的增區(qū)間（或減區(qū)間）；（2）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，解方程，利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論的正負(fù)，由符號確定在子區(qū)間上的單調(diào)性.變式：1．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)可確定的單調(diào)性和極值，由此得到的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)不同交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】，，．，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，的極大值為，極小值為，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此可得大致圖象如下圖：有個(gè)不同實(shí)數(shù)根等價(jià)于與有個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知：，的取值范圍為.故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)值或取值范圍常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解2．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的個(gè)數(shù)為（）

①函數(shù)的值域?yàn)?；②函?shù)在上遞增，在上遞減；③的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；④有兩個(gè)零點(diǎn).A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的單調(diào)性和最值點(diǎn)與極值點(diǎn)，從而可判斷出四個(gè)敘述是否正確.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故②錯(cuò)誤，③正確，根據(jù)單調(diào)性可知，函數(shù)的最小值為或，最大值為或，故①錯(cuò)誤，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)的圖象得函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值，考查了函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.4.1導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)證明：例：1．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；【答案】（1）有1個(gè)零點(diǎn)，理由見解析；（2）.【分析】（1）方法一：將區(qū)間分成兩段，分別討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性及零點(diǎn)情況;方法二：將函數(shù)分離成兩個(gè)函數(shù)，作出和的圖象數(shù)形結(jié)合判斷兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)情況，進(jìn)而判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，只需，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，列出不等式求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）解法一：由題意得，，當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)單調(diào)遞增，而，，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而，∴函數(shù)f(x)在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，而，∴函數(shù)f(x)在上有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述，函數(shù)f(x)在上有1個(gè)零點(diǎn).2．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明有且僅有一個(gè)零點(diǎn)：【答案】（1）在上單調(diào)遞增；證明見解析；（2）．【分析】（1）求導(dǎo)，易知，則在上單調(diào)遞增．然后由零點(diǎn)存在定理證明；（2）將，轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)法求得其最小值即可.【詳解】（1），由，可知有，故在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以函?shù)有唯一零點(diǎn)，且．3．函數(shù).（1）求證：有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)；【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析.【分析】（1）證明方程有兩個(gè)變號的根即可；（2）利用韋達(dá)定理和條件，求出或，再進(jìn)行分類討論，根據(jù)三次函數(shù)的圖象特征得到不等式組，進(jìn)而求得的取值范圍；【詳解】（1）證明：由題意可得，令，得方程，恒成立，所以有兩個(gè)根，不妨假設(shè)為，，且，所以當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；故有兩個(gè)極值點(diǎn)；變式：1．設(shè)函數(shù)，，（為參數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間，并證明有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；【答案】（1）在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，，且，得在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，，，，由零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論；2．已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)；【答案】（1）證明見解析；（2）的值為0.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，再研究函數(shù)單調(diào)性與零點(diǎn)即可證明；（2）根據(jù)題意設(shè)切點(diǎn)為，故結(jié)合切點(diǎn)在切線上，也在曲線上，且切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率列方程求解即可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)?，所以在R上為增函數(shù)，又因?yàn)?，所以由零點(diǎn)存在性定理得，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn).3．已知函數(shù)，.（1）證明：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；【答案】（1）證明見解析；（2）有最小值，值域?yàn)?【分析】（1）易得，時(shí)，，函數(shù)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可得答案；（2）求導(dǎo)得，進(jìn)而結(jié)合（1）的單調(diào)性與，可知存在唯一，使，即，此時(shí)，進(jìn)而令，，求其值域即可.【詳解】（1）∵，∴時(shí)，顯然有，函數(shù)無零點(diǎn)；又∵，∴時(shí)，，單調(diào)遞增又，，，即，故存在唯一的，使，綜上可知，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).(備注：亦可用放縮取點(diǎn)，如，用此法需證，其他取點(diǎn)方法合理即可)4．函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【分析】（1）求得，分和兩種情況，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；（2）由（1）得到當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性和極小值，結(jié)合與的關(guān)系，三種情況討論，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)增函數(shù)，此時(shí)無極值；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以在上為單調(diào)增函數(shù)，令，解得，在上為單調(diào)減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，無極大值.綜上所述：當(dāng)時(shí)，無極值，當(dāng)時(shí)，，無極大值.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)，在上為單調(diào)減函數(shù)，且，又由，若時(shí)，；若時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).綜上：當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).5．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）令，當(dāng)時(shí)，證明∶函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，由點(diǎn)斜式寫出切線方程交化簡；（2）首先，然后求，設(shè)，再求，時(shí)，由的正負(fù)確定的單調(diào)性，得的正負(fù)，從而得的單調(diào)性，證明無零點(diǎn)，時(shí)由，由不等式的性質(zhì)證明無零點(diǎn)，在時(shí)證明有唯一零點(diǎn)．由的單調(diào)性得在唯一零點(diǎn)，可證得在有唯一零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，從而得證．【詳解】（1）（2）當(dāng)時(shí)，，∴是的一個(gè)零點(diǎn)，由，設(shè)，則.因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，∴，∴在單調(diào)遞增，∴，∴在單調(diào)遞增，∴，此時(shí)在無零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)在無零點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，，，∴在單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一，使得.當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；又，，所以在上有1個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查屨的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題．零點(diǎn)問題的解題關(guān)鍵是求出導(dǎo)數(shù)后，設(shè)，對再求導(dǎo)得，利用的正負(fù)確定的單調(diào)性，由的單調(diào)性得的零點(diǎn)及正負(fù)，從而確定的單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．4.2導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題：例：1．已知函數(shù)，.（1）若方程存在兩個(gè)不等的實(shí)根，，求a的取值范圍；（2）滿足（1）問的條件下，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）將，轉(zhuǎn)化為，即函數(shù)T(x)＝與直線y＝a在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同交點(diǎn)求解；另解：求導(dǎo)，分，討論求解；(2)根據(jù)x1，x2是lnx－ax＋1＝0的兩個(gè)根，得到a＝，將證x1x2>1，即lnx1＋lnx2>0，轉(zhuǎn)化為證>，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為ln<＝.，令t＝∈(0，1)，轉(zhuǎn)化為證明lnt－.【詳解】（1）由題意，，可得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)T(x)＝與直線y＝a在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，T′(x)＝(x>0)，故當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，T′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，T′(x)<0，故T(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以T(x)max＝T(1)＝1.又，故當(dāng)x∈時(shí)，T(x)<0，當(dāng)x∈時(shí)，T(x)>0.可得a∈(0，1).另解：則：，①當(dāng)時(shí)，恒成立，不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，當(dāng)綜上：(2)證明：，因?yàn)閤1，x2是lnx－ax＋1＝0的兩個(gè)根，故lnx1－ax1＋1＝0，lnx2－ax2＋1＝0?a＝，要證h′(x1x2)<1－a，只需證x1x2>1，即證lnx1＋lnx2>0，即證(ax1－1)＋(ax2－1)>0，即只需證明成立，即證>.不妨設(shè)0<x1<x2，故ln<＝.(*)令t＝∈(0，1)，φ(t)＝lnt－，φ′(t)＝－＝>0，則h(t)在(0，1)上單調(diào)遞增，則φ(t)<φ(1)＝0，故（*）式成立，即要證不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決．2．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，對分和兩種情況討論；（2）根據(jù)題意，得，兩式相減得，即，令，構(gòu)造函數(shù)即可證明.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，對任意的成立當(dāng)時(shí)，令，得；令，得綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.證明：（2）當(dāng)時(shí)，方程，即為.根據(jù)題意，得，兩式相減得，即，故，所以，即，令，則，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對（2）問兩式相減所得，利用齊次化構(gòu)造得是本題的解題關(guān)鍵.3．已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求函數(shù)在最大值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，試證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)曲線在處的切線與直線垂直，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)，然后再求極大值；（2）易得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)可得在遞增，即在恒成立，則，然后利用在的單調(diào)性證明．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，在處的切線與直線垂直，，由（負(fù)值舍去），所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故有最大值．（2）當(dāng)時(shí)，．函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．且，故函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為滿足，令，在（0，1）恒成立，∴F(x)在（0，1）遞增，在（0，1）恒成立，∴，又，∴，∵，又在單調(diào)遞減，∴，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對稱法解決極值點(diǎn)偏移的基本原理是利用函數(shù)的單調(diào)性，把要證明的（是極值點(diǎn)）轉(zhuǎn)化為證明，再轉(zhuǎn)化為（根據(jù)單調(diào)性不同，表示不同的大小關(guān)系），又根據(jù)，可以轉(zhuǎn)化為證明，而是固定的，是變量，這樣就把一個(gè)雙變量不等式轉(zhuǎn)化為了單變量不等式，從而以為未知量來構(gòu)造函數(shù)證明不等式即可.變式：1.．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求a的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)相異實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，根據(jù)的最值和圖象確定a的取值范圍；

不妨設(shè),將要證不等式轉(zhuǎn)化為，由題意得,兩式相加減后再消去得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性進(jìn)而可證明.【詳解】(1)有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)相異實(shí)根．令，則

由得：，由得：，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）不妨設(shè),由題意得,，,，要證：，只需證.

，

令，，只需證

，只需證：.令,，在遞增，成立.

綜上所述，成立．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的證明，考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于常規(guī)題目．關(guān)鍵難點(diǎn)是（2）中的消元換元轉(zhuǎn)化為，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.2．已知函數(shù)（）.（1）若，求函數(shù)在處的切線；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.【答案】（1）；（2），證明見解析.【分析】（1）求得時(shí)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由直線的斜截式方程可得所求切線的方程；（2）設(shè)函數(shù)，與函數(shù)具有相同的零點(diǎn)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，可得的范圍，由題意可得（1），解得的范圍；方法一、