高考數(shù)學導數(shù)知識題型全歸納專題07導數(shù)中壓軸題的洛必達法則運用(原卷版+解析)

更多精品資料請關注微信公眾號：超級高中生導數(shù)章節(jié)知識全歸納專題07導數(shù)壓軸題的洛必達法則運用一．洛必達法則基礎知識認識：作者語錄：（本節(jié)內(nèi)容本應該在大學高等代數(shù)中學習，由于目前高考考向和試題難度問題，運用洛必達法則解答題可以針對適當題型解答更加快速和容易，同時也更能夠很好求參數(shù)，很多時候都是額外補充，針對學習較好同學可適當深入）法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)，f(x)和g(x)在與上可導，且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

法則3若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：1.將上面公式中的x→a，x→∞換成x→+∞，x→-∞，，洛必達法則也成立。2.洛必達法則可處理，，，，，，型。3.在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限。

4.若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。二．導數(shù)壓軸中洛必達法則運用典例：例：1.函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求、的值；（2）如果當，且時，，求的取值范圍.例：2.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的最小值；（2）若，且對任意，都有不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．變式：1.設函數(shù).（1）證明：當時，；（2）設當時，，求的取值范圍.變式：2.設函數(shù)。若，求的單調(diào)區(qū)間；若當時，求的取值范圍變式：3.已知函數(shù).（1），時，討論函數(shù)的導數(shù)的單調(diào)性；（2）時，不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.變式：4.已知函數(shù)（1）若，求的極值；（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.更多精品資料請關注微信公眾號：超級高中生導數(shù)章節(jié)知識全歸納專題07導數(shù)壓軸題的洛必達法則運用一．洛必達法則基礎知識認識：作者語錄：（本節(jié)內(nèi)容本應該在大學高等代數(shù)中學習，由于目前高考考向和試題難度問題，運用洛必達法則解答題可以針對適當題型解答更加快速和容易，同時也更能夠很好求參數(shù)，很多時候都是額外補充，針對學習較好同學可適當深入）法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)，f(x)和g(x)在與上可導，且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

法則3若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：1.將上面公式中的x→a，x→∞換成x→+∞，x→-∞，，洛必達法則也成立。2.洛必達法則可處理，，，，，，型。3.在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限。

4.若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。二．導數(shù)壓軸中洛必達法則運用典例：例：1.函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求、的值；（2）如果當，且時，，求的取值范圍.解：（1）易得，.（2）方法一：分類討論、假設反證法由（1）知，所以.考慮函數(shù)，則.(i)當時，由知，當時，.因為，所以當時，，可得；當時，，可得，從而當且時，，即；（ii）當時，由于當時，，故，而，故當時，，可得，與題設矛盾.（iii）當時，，而，故當時，，可得，與題設矛盾.綜上可得，的取值范圍為.注：分三種情況討論：①；②；③不易想到.尤其是②時，許多考生都停留在此層面，舉反例更難想到.而這方面根據(jù)不同題型涉及的解法也不相同，這是高中階段公認的難點，即便通過訓練也很難提升.方法二：運用洛必達和導數(shù)求解本題的恒成立問題當，且時，，即，也即，記，，且則，記，則，從而在上單調(diào)遞增，且，因此當時，，當時，；當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由洛必達法則有，即當，且時，.因為恒成立，所以.綜上所述，當，且時，成立，的取值范圍為.注：（1）本題由已知很容易想到用分離變量的方法把參數(shù)分離出來.然后對分離出來的函數(shù)求導，研究其單調(diào)性、極值.（2）分離參數(shù)之后，先幫助我們找到正確答案，在利用常規(guī)不分離的思路去證時是不可能的，這時要分和兩種情況就顯得比較明顯了（大家可以嘗試著改寫）.例：2.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的最小值；（2）若，且對任意，都有不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．解：(1)∵函數(shù)在R上單調(diào)遞增，∴恒成立，∴，即，∴.(2)考慮變量分離，應用洛必達法則求解：∵，∴函數(shù)，由對任意都成立，得恒成立.即恒成立.①當，恒成立；②當，恒成立；=3\*GB3③當時，即：恒成立；令，則∴在上單調(diào)遞增；∴（行不通，洛必達法則），所以：初等方法解決：∵，∴函數(shù)，∵，∴.對于任意，令，則①當，即時，，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴，符合題意，∴.②當，即時，令，于是.∵，∴，∴，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴，即，∴.(ⅰ)當，即時，，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，于是，符合題意，∴.(ⅱ)當，即時，存在，使得當時，有，此時在上為單調(diào)遞減函數(shù)，從而，不能使恒成立，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.注：本題是與三角函數(shù)導數(shù)有關的問題，如果沒有洛必達法則的應用，分界點的選取就顯得很不自然了，不容易想到.借助于洛必達法則，在用初等方法改寫的過程中，分界點的討論選取就顯得很自然了.變式：1.設函數(shù).（1）證明：當時，；（2）設當時，，求的取值范圍.解：（1）易證. （2）應用洛必達法則和導數(shù)由題設，此時.①當時，若，則，不成立；②當時，當時，，即；若，則；若，則等價于，即.記，則.記，則，.因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以.因此，所以在上單調(diào)遞增.由洛必達法則有，即當時，，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.變式：2.設函數(shù)。若，求的單調(diào)區(qū)間；若當時，求的取值范圍解：（1）時，，.當時，；當時，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加（II）由（I）知，當且僅當時等號成立.故 ，從而當，即時，，而，于是當時，. 由可得.從而當時， ，故當時，，而，于是當時，. 綜合得的取值范圍為原解在處理第（II）時較難想到，現(xiàn)利用洛必達法則處理如下：另解:（II）當時，，對任意實數(shù)a,均在；當時，等價于令(x>0),則，令，則，，知在上為增函數(shù)，；知在上為增函數(shù)，；，g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達法則知，，故綜上，知a的取值范圍為。變式：3.已知函數(shù).（1），時，討論函數(shù)的導數(shù)的單調(diào)性；（2）時，不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），時，，，令，由，當時，；當時，，所以在上單減，在上單增；（2）時，不等式對恒成立，等價于對恒成立，令，則，，，令，則對恒成立，從而有在上單增，①時，，在上單增，，即對恒成立，②時，，此時，，，使得，當時，，在上單減，當時，，故對不成立，綜上，的取值范圍是.變式：4.已知函數(shù)（1）若，求的極值；（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：【分析】（1）根據(jù)題意，定義域是，進而求導得，再結(jié)合可得函數(shù)的單調(diào)性，進而得答案；（2）設，利用導數(shù)即可得其值域為，進而分和兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）的定義域是.是增函數(shù).當時單調(diào)遞減；當時單調(diào)遞增.所以，有極小值，且沒有極大值.（2）設，則，當時在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，的