第2題 復(fù)數(shù)的兩大熱點：復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的運算（解析）

第2題復(fù)數(shù)的兩大熱點：復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的運算一、原題呈現(xiàn)【原題】已知,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解法一：因為,所以,所以故選C.解法二：因為,,故選C.【就題論題】去年新高考試卷復(fù)數(shù)考查的是復(fù)數(shù)的除法運算,考查內(nèi)容單一,今年把共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的運算結(jié)合在一起考查,背景有所創(chuàng)新,為降低難度,把除法運算改為乘法運算,可見新高考試卷入手依然比較容易.二、考題揭秘【命題意圖】本題考查共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的乘法運算,考查數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：容易.【考情分析】復(fù)數(shù)是高考每年必考知識點,一般以容易題面目呈現(xiàn),位于選擇題的前3題的位置上,考查熱點一是復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義,如復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義等,二是復(fù)數(shù)的加減乘除運算.【得分秘籍】1.解決復(fù)數(shù)概念問題及復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)注意的問題(1)復(fù)數(shù)的分類,復(fù)數(shù)的相等,復(fù)數(shù)的模,共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實部與虛部有關(guān),所以解答與復(fù)數(shù)概念有關(guān)的問題時,需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,即a＋bi(a,b∈R)的形式,再根據(jù)題意求解．(2)(其中a,b∈R),|z|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與原點的距離．|z1－z2|表示兩點的距離,即表示復(fù)數(shù)z1與z2對應(yīng)的點的距離．2.求解復(fù)數(shù)運算問題的常見類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法．復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可．(2)復(fù)數(shù)的除法．除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(3)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題．先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡,一般化為a＋bi(a,b∈R)的形式,再結(jié)合相關(guān)定義解答．(4)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題．先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡,一般化為a＋bi(a,b∈R)的形式,再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答．(5)復(fù)數(shù)的綜合運算．分別運用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進行運算,要注意運算順序,要先算乘除,后算加減,有括號要先算括號里面的．【易錯警示】(1)對于復(fù)數(shù)a＋bi,如果a,b∈C(或沒有明確界定a,b∈R),則不可想當(dāng)然地判定a,b∈R.(2)易誤認為y軸上的點與純虛數(shù)一一對應(yīng)(注意原點除外)．(3)對于a＋bi(a,b∈R)為純虛數(shù)的充要條件,只注意了a＝0而漏掉了b≠0.(4)進行復(fù)數(shù)的乘法與除法運算,誤認為,導(dǎo)致運算錯誤(5)設(shè)（a,b∈R）,注意,不要出現(xiàn)的錯誤三、以例及類（以下所選試題均來自新高考Ⅰ卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷）一、單選題1．（2021廣東省珠海市第二中學(xué)高三6月熱身）若是純虛數(shù),滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】,因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù),,,解得,所以因為,所以,即,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為位于第一象限,故選A.2．（2021江蘇省南京師范大學(xué)《數(shù)學(xué)之友》高三下學(xué)期一模）設(shè)復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位）,則等于（）A． B．5 C． D．7【答案】A【解析】設(shè),則,而,于是,則,所以.故選A3．（2021江蘇省南通學(xué)科基地高三下學(xué)期高考全真模擬（四））已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),若,則a的值為（）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】復(fù)數(shù)∵,∴,化為,,解得,故選C.4．（2021湖南省衡陽市第八中學(xué)高三下學(xué)期考前預(yù)測（二））已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個根,則（）A．25 B．5 C． D．41【答案】C【解析】因為復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個根,所以,所以,所以,所以,則,故選C.5．（2021江蘇省揚州中學(xué)高三下學(xué)期最后一模）已知,其中為虛數(shù)單位,記為的共軛復(fù)數(shù),則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由,,,所以,故選B6．（2021山東省淄博市高三三模）已知,且,為虛數(shù)單位,則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角不等式可得,即的最大值為.故選B.7．（2021福建省廈門市高三5月二模）已知i為虛數(shù)單位,,則（）A．5 B．7 C．9 D．25【答案】A【解析】因為,所以,所以,故選A.8．（2021湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三下學(xué)期高考熱身訓(xùn)練）已知復(fù)數(shù)滿足,則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】設(shè),則,,因為,所以,即,整理得b=0,所以,所以,當(dāng)a=0時,最小值為2.故選B9．（2021福建省廈門市雙十中學(xué)高三高考熱身）已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為(O為坐標原點),與實軸正向的夾角為,且復(fù)數(shù)的模為2,則復(fù)數(shù)為（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】設(shè)復(fù)數(shù),∵向量與實軸正向的夾角為且復(fù)數(shù)的模為,∴,,∴．故選D.10．（2021湖北省黃岡中學(xué)高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試）已知是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù),若在復(fù)平面上的對應(yīng)點位于第一象限,則z的對應(yīng)點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】設(shè)（）則,,由在復(fù)平面上的對應(yīng)點位于第一象限,所以,所以,所以z的對應(yīng)點位于第四象限,故選D.11．（2021廣東省高州市高三二模）已知復(fù)數(shù)滿足：（其中為虛數(shù)單位）,復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,∴,∴復(fù)數(shù)z的虛部為．故選C．12．（2021河北省滄州市高三三模）設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因為,所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選D.13．（2021河北省唐山市高三三模）已知是虛數(shù)單位,,若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意

,又由為純虛數(shù),所以,解得.故選A.二、多選題14．（2021江蘇省泰州市高三下學(xué)期考前練筆）設(shè)為復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)、對應(yīng)的點分別為、,坐標原點為,則下列命題中正確的有（）A．當(dāng)為純虛數(shù)時,三點共線B．當(dāng)時,為等腰直角三角形C．對任意復(fù)數(shù),D．當(dāng)為實數(shù)時,【答案】ABD【解析】設(shè),則,對A：當(dāng)為純虛數(shù)時,,對應(yīng)的點分別為、,均在軸上,所以三點共線,故A正確；對B:當(dāng)時,,所以,,所以,而,所以,所以為等腰直角三角形,故B正確；對C：,,當(dāng)時,,故C錯誤；對D：當(dāng)為實數(shù)時,,此時,故D正確.故選ABD15．（2021湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三下學(xué)期二模）設(shè)是復(fù)數(shù),則下列命題中的真命題是（）A．若,則B．若,則C．若,則D．若,則【答案】ABC【解析】對于,若,則,所以為真；對于,若,則和互為共軛復(fù)數(shù),所以為真；對于,設(shè),若,則,即,所以,所以為真；對于,若,則,而,所以為假.故選ABC16．（2021江蘇省南通市高三下學(xué)期5月四模）下列結(jié)論正確的是（）A．若復(fù)數(shù)滿足,則為純虛數(shù)B．若復(fù)數(shù)滿足,則C．若復(fù)數(shù)滿足,則D．若復(fù)數(shù),滿足,則【答案】BC【解析】對于A選項,設(shè)復(fù)數(shù),滿足,不為純虛數(shù),故A選項錯誤；對于B選項,設(shè)復(fù)數(shù),則,所以,即,故B選項正確；對于C選項,設(shè)復(fù)數(shù),則,所以且,所以,即,故C選項正確；對于D選項,設(shè)復(fù)數(shù),,所以,但不成立,故D選項錯誤.故選BC17．（2021山東省臨沂市高三二模）1487年,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系,并寫下公式,這個公式在復(fù)變函數(shù)中有非常重要的地位,即著名的“歐拉公式”,被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”,據(jù)歐拉公式,則（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為,所以,故A正確,,故B正確,故C錯誤,故D正確故選ABD三、填空題18．（2021廣東省深圳市高三下學(xué)期第五次統(tǒng)考）設(shè)復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱,且（為虛數(shù)單位）,則___