高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)題型全歸納專題11導(dǎo)數(shù)壓軸題之隱零點(diǎn)問題(原卷版+解析)

更多精品資料請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：超級(jí)高中生導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識(shí)全歸納專題11導(dǎo)數(shù)壓軸題中有關(guān)隱零點(diǎn)問題隱零點(diǎn)問題知識(shí)方法講解：1.“隱零點(diǎn)”概念：隱零點(diǎn)主要指在研究導(dǎo)數(shù)試題中遇到的對(duì)于導(dǎo)函數(shù)f’(x)=0時(shí)，不能夠直接運(yùn)算出來或是不能夠估算出來，導(dǎo)致自己知道方程有根存在，但是又不能夠找到具體的根是多少，通常都是設(shè)x=x0，使得f’(x)=0成立2.“隱零點(diǎn)”解決方向：針對(duì)隱零點(diǎn)問題通常解決步驟：1.求導(dǎo)判定是否為隱零點(diǎn)問題，2.設(shè)x=x0，使得f’(x)3.得到單調(diào)性，并找到最值，將x0帶入f(x),得到f(4.再將x0的等式代換，再求解（注意：x0隱零點(diǎn)問題中的典型例題：典例1．已知函數(shù)，．（1）求在的極值；（2）證明：在有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．典例2．已知函數(shù)在處的切線與直線：平行．（1）求的值；（2）若，試討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．典例3.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.典例4.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí).典例5．已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）令，討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).變式1．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).變式2．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．變式3．已知函數(shù)且在上的最大值為，（1）求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在（0，π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明變式4.已知函數(shù)，，．（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．更多精品資料請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：超級(jí)高中生導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識(shí)全歸納專題11導(dǎo)數(shù)壓軸題中有關(guān)隱零點(diǎn)問題隱零點(diǎn)問題知識(shí)方法講解：1.“隱零點(diǎn)”概念：隱零點(diǎn)主要指在研究導(dǎo)數(shù)試題中遇到的對(duì)于導(dǎo)函數(shù)f’(x)=0時(shí)，不能夠直接運(yùn)算出來或是不能夠估算出來，導(dǎo)致自己知道方程有根存在，但是又不能夠找到具體的根是多少，通常都是設(shè)x=x0，使得f’(x)=0成立2.“隱零點(diǎn)”解決方向：針對(duì)隱零點(diǎn)問題通常解決步驟：1.求導(dǎo)判定是否為隱零點(diǎn)問題，2.設(shè)x=x0，使得f’(x)3.得到單調(diào)性，并找到最值，將x0帶入f(x),得到f(4.再將x0的等式代換，再求解（注意：x0隱零點(diǎn)問題中的典型例題：典例1．已知函數(shù)，．（1）求在的極值；（2）證明：在有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．解：（1）由，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的極小值為，無極大值；（2）證明：，其中.則，令，則.當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，，所以，存在，使得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減.,而，，則，又，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，.由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，則對(duì)任意的恒成立，所以，，所以，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.典例2．已知函數(shù)在處的切線與直線：平行．（1）求的值；（2）若，試討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：（1）在處的切線與直線：平行，則有，，則（2），，，令，則，當(dāng)時(shí)，且，則，則在單調(diào)遞減，，，當(dāng)時(shí)，且在單調(diào)遞減，則，在單調(diào)遞減，，，由于，則，在單調(diào)遞減，則有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，由于在單調(diào)遞減，則，在單調(diào)遞增，，則，則在無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞減，則存在使，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，，，若，則由，及的增減性可得：在無零點(diǎn)，此時(shí)，若，由，和的增減性可得：在有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，綜上，當(dāng)時(shí)，在無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，解答此問題的關(guān)鍵在于多次求導(dǎo)以及分類討論思想的運(yùn)用；當(dāng)原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)無法直接判斷出正負(fù)時(shí)，可先通過將原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)看作新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)思想先分析的單調(diào)性以及取值正負(fù)，由此確定出的單調(diào)性并分析其取值正負(fù)，從而的正負(fù)可分析，則根據(jù)的單調(diào)性以及取值可討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).典例3.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）解法一：由題意得，，當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)單調(diào)遞增，而，，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而，∴函數(shù)f(x)在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，而，∴函數(shù)f(x)在上有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述，函數(shù)f(x)在上有1個(gè)零點(diǎn).（2）令，，則.，，令，因?yàn)闀r(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，所以在上恒成立，則h(x)為増函數(shù)，即為增函數(shù)①當(dāng)，即時(shí)，，∴g(x)在上為增函數(shù)，，即在上恒成立；②當(dāng)m+2<0，即m<-2時(shí)，，，使，當(dāng)為增函數(shù)；當(dāng)為減函數(shù)，，與在上恒成立相矛盾，不成立.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．典例4.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí).解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí),，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)b滿足且時(shí)，,故當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（Ⅱ）由（Ⅰ），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當(dāng)時(shí)，.考點(diǎn)：常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力.典例5．已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）令，討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).解：（1）若，則，其定義域?yàn)椋?令，則，易知在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，因此，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）由題意知，，則，由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)無極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，則，易知在上單調(diào)遞增，又，，故存在，使得，此時(shí)有，即，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以.令，，易知在上單調(diào)遞減，所以，即.因?yàn)?，，且，所以存在，，滿足，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，不存在極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（2）問的關(guān)鍵有：（1）當(dāng)時(shí)，合理利用第（1）問中得到的以及不等式的性質(zhì)得到；（2）當(dāng)時(shí)，靈活構(gòu)造函數(shù)，并根據(jù)等式將代換掉，得到，最后巧妙取點(diǎn)，利用零點(diǎn)存在定理得到的零點(diǎn)，從而得到結(jié)果.變式1．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解：（1），其定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，令得，令得所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，（2）已知得，則①當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗栽趩握{(diào)遞減，所以，所以在上無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，，所以存在，使當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在遞減遞增，且，所以，又因?yàn)樗运栽谏洗嬖谝粋€(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增因?yàn)?，所以在上無零點(diǎn)；綜上所述，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問題常見的解法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）圖象法（直接研究函數(shù)的圖象得解）；（3）方程+圖象法（令得到，再研究函數(shù)圖象性質(zhì)即得解）.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.變式2．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．解：（1）由題意知：定義域?yàn)椋呵伊?，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，，使得當(dāng)時(shí)，；時(shí)，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減則為唯一的極大值點(diǎn)即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn).（2）由（1）知：，①當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減又為在上的唯一零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不存在零點(diǎn)又，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，此時(shí)不存在零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，即，又在上單調(diào)遞減在上存在唯一零點(diǎn)④當(dāng)時(shí)，，即在上不存在零點(diǎn)綜上所述：有且僅有個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題.解決零點(diǎn)問題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來說明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可.變式3．已知函數(shù)且在上的最大值為，（1）求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在（0，π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明解：(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),對(duì)于任意的x∈(0,)，有sinx+xcosx>0,當(dāng)a=0時(shí),f(x)=?，不合題意；當(dāng)a<0時(shí),x∈(0,),f′(x)<0,從而f(x)在(0,)單調(diào)遞減，又函數(shù)f(x)=axsinx?(a∈R)在[0,]上圖象是連續(xù)不斷的，故函數(shù)在[0,]上的最大值為f(0)，不合題意；當(dāng)a>0時(shí),x∈(0,),f′(x)>0,從而f(x)在(0,)單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)=axsinx?(a∈R)在[0,]上圖象是連續(xù)不斷的，故函數(shù)在[0,]上上的最大值為f()=a?=，解得a=1，綜上所述,得；(2)函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)。證明如下：由(I)知,f(x)=xsinx?,從而有f(0)=?<0,f()=π?32>0，又函數(shù)在[0,]上圖象是連續(xù)不斷的,所以函數(shù)f(x)在(0,)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又由(I)知f(x)在(0,)單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在(0,)內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)x∈[,π]時(shí),令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx，由g()=1>0,g(π)=?π<0,且g(x)在[,π]上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在m∈,π),使得g(m)=0.由g′(x)=2cosx?xsinx,知x∈(,π)時(shí),有g(shù)′(x)<0，從而g(x)在[,π]上單調(diào)遞減。當(dāng)x∈,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0，從而f(x)在(,m)內(nèi)單調(diào)遞增故當(dāng)x∈(,m)時(shí),f(x)>f(π2)=π?32>0，從而(x)在(,m)內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)x∈(m,π)時(shí),有g(shù)(x)<g(m)=0,即f′(x)<0，從而f(x)在(,m)內(nèi)單調(diào)遞減。又f(m)>0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的圖象是連續(xù)不斷的，從而f(x)在[m,π]內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述,函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)。變式4.已知函數(shù)，，．（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)椋?，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）即為，兩邊同時(shí)乘以x得，得，令，則，由條件知在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，于是在區(qū)間上無零點(diǎn)，不合題意．②當(dāng)時(shí)，令，得，所以存在唯一的，使得，