新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第25講蝴蝶問題(原卷版+解析)

第25講蝴蝶問題一、解答題1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程；(2)若，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線分別交于點(diǎn)，其中，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)。(其坐標(biāo)與無關(guān))2．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過點(diǎn)C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．4．已知橢圓E：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：．5．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，證明：.6．如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于異于的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值3．7．已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)為橢圓右頂點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），直線，分別交直線于，兩點(diǎn).求證：，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.8．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．連接．求證：存在實(shí)數(shù)，使得成立．9．已知點(diǎn)在橢圓：上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過點(diǎn)的直線：（且）與橢圓交于，兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（與點(diǎn)不重合），直線，與軸分別交于兩點(diǎn)，，求證：.10．橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，在橢圓上，的周長為，面積的最大值為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長交橢圓于，連接，探索與的斜率之比是否為定值并說明理由.11．已知橢圓的方程為，在橢圓上，橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，的面積是的面積的倍．（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，，連接，并延長交橢圓于，，連接，指出與之間的關(guān)系，并說明理由．12．已知橢圓C的方程為，在橢圓上，離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、．（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，連接并延長交橢圓C于D、E兩點(diǎn)，連接，求的值．13．如圖，B，A是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點(diǎn)，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，，.（1）求證：；（2）若直線PQ過定點(diǎn)，求證：.14．已知橢圓：的焦距為4，且點(diǎn)在橢圓上，直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，且其斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，延長分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證：為定值.15．已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（II）設(shè)，延長，分別與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證：為定值．第25講蝴蝶問題一、解答題1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程；(2)若，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線分別交于點(diǎn)，其中，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)。(其坐標(biāo)與無關(guān))【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）由橢圓的定義可直接求出求曲線的方程；（2）先求出直線的方程，再分別與橢圓聯(lián)立方程組，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)并寫出直線的方程【詳解】（1）∵在線段的垂直平分線上，∴∴由橢圓的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，6為長軸長的橢圓，∴曲線的方程為：。（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為直線方程為：，即，直線方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：.當(dāng)時(shí)，直線方程為：令，解得：。此時(shí)必過點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線方程為：，與軸交點(diǎn)為。所以直線必過軸上的一定點(diǎn)?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，計(jì)算量大，第二問難度大，是高考壓軸題。2．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題知，解方程即可得，，故橢圓的方程是.（2）先討論斜率不存在時(shí)的情況易知直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，進(jìn)而聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理得，，直線的方程是，直線的方程是，進(jìn)而計(jì)算得時(shí)的縱坐標(biāo)，并證明其相等即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）①若直線的斜率不存在時(shí)，如圖，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程是.所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以點(diǎn)在直線上.②若直線的斜率存在時(shí)，如圖.設(shè)斜率為.所以直線的方程為.聯(lián)立方程組消去，整理得.顯然.不妨設(shè)，，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程是.令，得.所以分子..所以點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】本題第二問解題的關(guān)鍵在于分類討論直線斜率不存在和存在兩種情況，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，寫出直線的方程是和直線的方程是，進(jìn)而計(jì)算得時(shí)的縱坐標(biāo)相等即可.考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過點(diǎn)C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．【答案】（1）＋＝1；（2）.【分析】(1)由橢圓的離心率,和點(diǎn)P在橢圓上求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y＝kx＋1,設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2),聯(lián)立方程組消去y,再將k1＝2k2用坐標(biāo)表示,利用點(diǎn)在橢圓上和韋達(dá)定理求出直線l的斜率.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為，所以a＝2c.又因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以b＝c.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.又因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，所以＋＝1，解得c＝1.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y＝kx＋1.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．聯(lián)立方程組消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.所以由根與系數(shù)關(guān)系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.因?yàn)閗1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.即＝.①又因?yàn)镸(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，所以＝(4－)，＝(4－)．②將②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.解得k＝或k＝，又因?yàn)閗>1，所以k＝.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的幾何性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.4．已知橢圓E：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)a=2b，再將點(diǎn)代入橢圓方程，解方程組即可求解.（2）設(shè)直線l的方程為，將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得M點(diǎn)坐標(biāo)為，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓聯(lián)立，求出點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】（1）由已知，a=2b.又橢圓過點(diǎn)，故，解得.所以橢圓E的方程是.（2）設(shè)直線l的方程為，，由方程組得，①，方程①的判別式為，由，即，解得.由①得.所以M點(diǎn)坐標(biāo)為，直線OM方程為，由方程組，得.所以.又.所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出M點(diǎn)坐標(biāo)，考查了計(jì)算能力.5．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)b=1，，結(jié)合解方程組即可求解；（2）設(shè)直線l的方程為，將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得中點(diǎn)，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓聯(lián)立，求出點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意：，所以橢圓G的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為：由消去得：即，需即，設(shè)，中點(diǎn)，則，，那么直線的方程為:即，由，不妨令，那么，，所以|MC|·|MD|=|ME|·|MF|.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得中點(diǎn)，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓再次聯(lián)立，求出點(diǎn)，考查了分析問題、解決問題能力，以及計(jì)算能力.6．如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于異于的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值3．【答案】（1）；（2）3【分析】（1）由得，再根據(jù)焦距等于其長半軸長可求，故可得橢圓的方程.（2）設(shè)直線方程為，，【詳解】解：（1）由題意可知：,，又，有，故橢圓的方程為：．（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，用的橫坐標(biāo)表示的縱坐標(biāo)，再聯(lián)立的方程和橢圓的方程，消去得，利用韋達(dá)定理化簡的縱坐標(biāo)后可得所求的定值.設(shè)（），聯(lián)立直線方程和橢圓方程得，消去得，,，且有，又，，由得，故，整理得到，故．故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3．【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問題.7．已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)為橢圓右頂點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），直線，分別交直線于，兩點(diǎn).求證：，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【分析】（Ⅰ）求出后可得橢圓方程.（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在，計(jì)算可得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，，則，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理化簡后可得定值.【詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，所以半徑等于原點(diǎn)到直線的距離，，即.由離心率，可知，且，得.故橢圓的方程為.（Ⅱ）由橢圓的方程可知.若直線的斜率不存在，則直線方程為，所以.則直線的方程為，直線的方程為.令，得，.所以兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為.若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為,由得，依題意恒成立.設(shè)，則.設(shè)，由題意三點(diǎn)共線可知，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.所以綜上，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組，消元后得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系式中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值等問題.8．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．連接．求證：存在實(shí)數(shù)，使得成立．【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由點(diǎn)可得,由,根據(jù)即可求解；（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,設(shè),由韋達(dá)定理可得,再根據(jù)直線的斜率公式求得；由點(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱,可設(shè),可求得,則,即可求證.【詳解】解:（1）由題意可知,,又,得,所以橢圓的方程為（2）證明:設(shè)直線的方程為，聯(lián)立,可得,設(shè),則有,因?yàn)?所以,又因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以,即,則有,由點(diǎn)在橢圓上,得,所以,所以,即，所以存在實(shí)數(shù),使成立【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線的斜率公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.9．已知點(diǎn)在橢圓：上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過點(diǎn)的直線：（且）與橢圓交于，兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（與點(diǎn)不重合），直線，與軸分別交于兩點(diǎn)，，求證：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓的中點(diǎn)弦所在直線的斜率的性質(zhì)，得到，得到，再結(jié)合橢圓所過的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，聯(lián)立方程組，求得，進(jìn)而求得橢圓的方程；（Ⅱ）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用韋達(dá)定理得到兩根和與兩根積，將證明結(jié)果轉(zhuǎn)化為證明直線，的斜率互為相反數(shù)，列式，可證.【詳解】（Ⅰ）由題意，，即①又②聯(lián)立①①解得所以，橢圓的方程為：.（Ⅱ）設(shè)，，，由，得，所以，即，又因?yàn)?，所以，，，，解法一：要證明，可轉(zhuǎn)化為證明直線，的斜率互為相反數(shù)，只需證明，即證明.∴∴，∴.解法二：要證明，可轉(zhuǎn)化為證明直線，與軸交點(diǎn)、連線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即垂直平分即可.直線與的方程分別為：，，分別令，得，而，同解法一，可得，即垂直平分.所以，.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有橢圓方程的求解，用到的結(jié)論有橢圓中點(diǎn)弦所在直線的斜率的特征，再者就是直線與橢圓相交的綜合題，認(rèn)真審題是正確解題的關(guān)鍵，注意正確的等價(jià)轉(zhuǎn)化.10．橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，在橢圓上，的周長為，面積的最大值為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，連接，并延長交橢圓于，連接，探索與的斜率之比是否為定值并說明理由.【答案】（I）；（II）.【分析】利用的周長為，面積的最大值為列出方程求出a，b即可得到橢圓方程．設(shè)，則直線AD：，代入C：，結(jié)合，代入化簡得，設(shè)，利用韋達(dá)定理通過斜率關(guān)系，化簡求解即可．【詳解】，，得，所以橢圓C的方程為：．設(shè)，則直線AD：，代入C：得，因?yàn)椋牖喌?，設(shè)，則，所以，，直線，同理可得，．所以，所以：．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．11．已知橢圓的方程為，在橢圓上，橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，的面積是的面積的倍．（1）求橢圓的方程；（2）直線（）與橢圓交于，，連接，并延長交橢圓于，，連接，指出與之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1);(2)見解析.【解析】【分析】（1）由題意可求得，，從而可得橢圓的方程．（2）設(shè)，則，可得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立后消元可得二次方程，然后根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到點(diǎn)的坐標(biāo)．同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，最后通過計(jì)算可得．【詳解】（1）由的面積是的面積的倍，可得，即，又，所以，由在橢圓上，可得，所以，可得，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，則，故直線的方程為，由消去整理得，又，代入上式化簡得，設(shè)，，則，所以，．又直線的方程為，同理可得，．所以kDE所以．【點(diǎn)睛】在解答直線和圓錐曲線位置關(guān)系的問題時(shí)，一般要遇到大量的運(yùn)算，所以在解題時(shí)為了減少運(yùn)算量要注意合理運(yùn)用“設(shè)而不求”、“整體代換”等方法的運(yùn)用，以減少運(yùn)算，提高解題的效率，盡量避免出現(xiàn)計(jì)算中的錯(cuò)誤．12．已知橢圓C的方程為，在橢圓上，離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、．（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，連接并延長交橢圓C于D、E兩點(diǎn)，連接，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由在橢圓上，得到，再根據(jù)和，求得的值，即可求解；（2）設(shè)，得到直線，聯(lián)立方程組，結(jié)合，求得，，同理求得，，結(jié)合斜率公式，化簡，即可求解.【詳解】（1）由在橢圓上，可得，又由離心率，可得，且，解得，所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)，則，直線，代入，得，因?yàn)?，代入化簡得，設(shè)，，則，所以，，直線：，同理可得，化簡得，故，即，，所以又，所以．【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式等進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力．13．如圖，B，A是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點(diǎn)，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，，.（1）求證：；（2）若直線PQ過定點(diǎn)，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)，代入斜率公式求；（2）設(shè)直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，再根據(jù)（1）的結(jié)論證明.【詳解】（1）設(shè)；（2）設(shè)直線的方程是，設(shè)與橢圓方程聯(lián)立，得：，，，，,由（1）可知，兩式消去，解得：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，定值和定點(diǎn)，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和計(jì)算能力，屬于中檔題型，第二問中設(shè)而不求的基本方法也使得求解過程變得簡單，在解決圓錐曲線與動(dòng)直線問題中，韋達(dá)定理，弦長公式都是解題的基本工具.14．已知橢圓：的焦距為4，且點(diǎn)在橢圓上，直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，且其斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn).