三角形的五心與向量

三角形的五心與向量（一）三角形的內(nèi)心是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足：，則的軌跡一定通過的()A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．外心【解析】、分別表示向量、方向上的單位向量的方向與的角平分線一致又，向量的方向與的角平分線一致一定通過的內(nèi)心選．練習1.已知滿足，，則為()A．頂角為的等腰三角形 B．等腰直角三角形C．有一個內(nèi)角為的直角三角形 D．等邊三角形【解析】設，則，而，所以是的角平分線，又，所以為等腰三角形，，所以是等邊三角形.

練習2.O是平面內(nèi)的一定點，A,B，C是平面內(nèi)不共線的三個點，動點P滿足則P點的軌跡一定通過三角形ABC的（）A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【解析】∵、分別表示向量、方向上的單位向量∴的方向與∠BAC的角平分線重合又∵可得到λ（）∴向量的方向與∠BAC的角平分線重合，∴一定通過△ABC的內(nèi)心，選A（二）三角形的重心已知中，向量，則點的軌跡通過的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【解析】設為中點，則，即點在中線上可知點軌跡必過的重心，選練習1．過的重心作直線，已知與、的交點分別為、，，若，則實數(shù)的值為（）A．或B．或C．或D．或【解析】設,因為G為的重心，所以,即由于三點共線，所以，即因為，，所以即有，解之得或，選B

練習2.已知O是△ABC所在平面上的一點，若=,則O點是△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【解析】作BD∥OC，CD∥OB，連OD，OD與BC相交于G，則BG＝CG，（平行四邊形對角線互相平分），∴，又∵，可得：，∴，∴A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理：BO，CO的延長線也為△ABC的中線．∴O為三角形ABC的重心．選C．練習3.已知是所在平面上的一定點，若動點滿足，，則點的軌跡一定通過的()A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】∵＝設它們等于t，∴而表示與共線的向量,而點D是BC的中點，所以即P的軌跡一定通過三角形的重心，選C練習4.已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足，，則點P的軌跡一定通過的__________心．【解析】設D為BC的中點，則，于是有，，P，D三點共線，又D是BC的中點，所以AD是邊BC的中線，于是點P的軌跡一定通過的重心是平面上不共線的三點，為所在平面內(nèi)一點，是的中點，動點滿足，則點的軌跡一定過____心（內(nèi)心、外心、垂心或重心）．【解析】∵動點P滿足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，∴P、C、D三點共線，又D是AB的中點，∴CD為中線，∴點P的軌跡一定過△ABC的重心．故答案為重心．（三）三角形的外心已知點為外接圓的圓心，且，則的內(nèi)角等于()A．B．C．D．【解析】因為，所以點為的重心，延長交于，則為的中點，又為外接圓的圓心，所以，則，同理可得，為等邊三角形，，故選B.

練習1.已知，點，為所在平面內(nèi)的點，且，，，則點為的()A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】因為，所以，即又因為，所以，即所以，即所以,所以，同理，所以為的外心，選B練習2.在中，設，則動點M的軌跡必通過的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心【解析】設為中點，則為的垂直平分線軌跡必過的外心選練習3.是銳角的外接圓圓心，是最大角，若，則的取值范圍為_______【解析】設是中點，根據(jù)垂徑定理可知，依題意，即，利用正弦定理化簡得.由于，所以，即.由于是銳角三角形的最大角，故，故.

練習4.已知O是△ABC外接圓的圓心，AB=6，AC=15，=+，2+3=1，則cos∠BAC=______．【解析】如圖所示，過O點分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．則AD=DB，AE=EC．則，則因為=+，所以，即18=36x+90ycosA，=90xcosA+225y，又2x+3y=1，聯(lián)立解得cosA=（四）三角形的垂心點P為所在平面內(nèi)的動點，滿足，，則點P的軌跡通過的A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心【解析】處理原式得到故所在的直線與三角形的高重合，故經(jīng)過垂心，故選C。練習1.在中，若，則是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【解析】∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由，得到OA⊥BC∴點O是△ABC的三條高的交點，選D練習2.是平面上的一定點，是平面上不共線的三點，動點滿足，，則動點的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心【解析】λ（），∴，∴，即點P在BC邊的高上，即點P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心，選B（五）三角形問題綜合在中，、、分別為內(nèi)角、、的對邊，，，點為線段上一點，，則的最大值為（）A． B． C． D．【解析】，，化簡可得，，，，，且，均為單位向量，過分別作，，垂足分別為，，則，，，，兩式相加可得，由基本不等式可得，，當且僅當時取等號，解可得，則的最大值為，選B

練習1.若點是所在平面內(nèi)的一點，且滿足，則為（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．以上都不對【解析】即，，，即，，三角形為等腰三角形，選練習2.已知是直線上任意兩點，是外一點，若上一點滿足，則的值是________.【解析】∵A、B、C三點共線，且cosθcos2θ∴cosθ+cos2θ＝1，（三點共線的充要條件）∴cos2θ＝1﹣cosθ，∴cosθ＝1﹣cos2θ＝sin2θ∴sin6θ＝cos3θ＝cosθ?（1﹣sin2θ）＝cosθ（1﹣cosθ）＝cosθ﹣cos2θ＝cosθ﹣（1﹣cosθ）＝2cosθ﹣1∴sin2θ+sin4θ+sin6θ＝cosθ+cos2θ+2cosθ﹣1＝cosθ+1﹣cosθ+2cosθ﹣1＝2cosθ，由cos2θ＝1﹣cosθ得cosθ或cosθ1，舍去，∴cosθ∴原式＝2cosθ1練習3．已知為△的重心，過點的直線與邊分別相交于點.若,則當與的面積之比為時，實數(shù)的值為________.【解析】設，，，三點共線，可設，，為的重心，，，，兩式相乘得①，②，②代入①即解得或即或練習4.已知中，點在線段上，且，延長到，使．設．（1）用表示向量；（2）若向量與共線，求的值．【解析】（1）為BC的中點，，可得，而（2）由（1）得，與共線，設，即，根據(jù)平面向量基本定理，得，解得練習4.已知P是三角形ABC所在平面內(nèi)的任意一點，且滿足則:______【解析】取D，E分別為AC，BC的中點，則2，2．∵，∴（2（），∴，∴P是DE上靠近E的三等分點，∴故答案為：1:3．（六）五心綜合點O在△ABC所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：（1）；（2）；（3）；（4）．則點O依次為△ABC的（）A．內(nèi)心、外心、重心、垂心B．重心、外心、內(nèi)心、垂心C．重心、垂心、內(nèi)心、外心D．外心、內(nèi)心、垂心、重心【解析】由三角形“五心”的定義，我們可得：（1）時，得在三角形中，是邊的中點，則，即是三角形的重心，為的重心；（2）時，得，即,所以.同理可知,所以為的垂心；（3），，當