新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題38數(shù)列中的通項(xiàng)公式專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題38數(shù)列中的通項(xiàng)公式一、題型選講題型一、由的關(guān)系求通項(xiàng)公式例1、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例2、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列，且；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.求：（1）；例3、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；題型二、由的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式例3、【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.例4、（2020屆山東省德州市高三上期末）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，對自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.若，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．例5、【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中．（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；題型三、新定義題型中通項(xiàng)公式的求法例6、【2020年高考江蘇】已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ～k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例7、【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)（i1<i2<…<im），若，則稱新數(shù)列為{an}的長度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項(xiàng)都是{an}的長度為1的遞增子列．（1）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長度為4的遞增子列；（2）已知數(shù)列{an}的長度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為．若p<q，求證：<；（3）設(shè)無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．若{an}的長度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s–1，且長度為s末項(xiàng)為2s–1的遞增子列恰有2s-1個(gè)（s=1，2，…），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．192、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，．求和的通項(xiàng)公式；3、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知數(shù)列滿足：.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)；4、（2020·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期末）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，對任意，它的前項(xiàng)和滿足，并且，，成等比數(shù)列.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；5、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式6、（2020·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，且）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；7、【2019年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對每個(gè)成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；8、【2019年高考江蘇卷】定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；專題38數(shù)列中的通項(xiàng)公式一、題型選講題型一、由的關(guān)系求通項(xiàng)公式例1、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】因?yàn)?,所以,,兩式相減得,整理得,即,,所以為常數(shù)列,所以,所以例2、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列，且；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.求：（1）；【解析】設(shè)的公比為q.因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?因此.由題意，.所以，，從而.所以的公差.所以.例3、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】當(dāng)時(shí)，，整理得，，解得；當(dāng)時(shí)，①，可得②，①－②得，即，化簡得，因?yàn)?，，所以，從而是以為首?xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以；題型二、由的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式例3、【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.【解析】（1）由題設(shè)得，即．又因?yàn)閍1+b1=l，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．由題設(shè)得，即．又因?yàn)閍1–b1=l，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，．所以，．例4、（2020屆山東省德州市高三上期末）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，對自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.若，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題中定義可得，即，即，等式兩邊同時(shí)除以，得，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，因此，.故選：B.例5、【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中．（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．依題意得解得故．所以，的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為．（2）（i）．所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．題型三、新定義題型中通項(xiàng)公式的求法例6、【2020年高考江蘇】已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ～k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列是“λ～1”數(shù)列，則，即，也即，此式對一切正整數(shù)n均成立．若，則恒成立，故，而，這與是等差數(shù)列矛盾．所以．（此時(shí)，任意首項(xiàng)為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）（2）因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列，所以，即．因?yàn)椋裕瑒t．令，則，即．解得，即，也即，所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列．因?yàn)椋裕畡t例7、【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)（i1<i2<…<im），若，則稱新數(shù)列為{an}的長度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項(xiàng)都是{an}的長度為1的遞增子列．（1）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長度為4的遞增子列；（2）已知數(shù)列{an}的長度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為．若p<q，求證：<；（3）設(shè)無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．若{an}的長度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s–1，且長度為s末項(xiàng)為2s–1的遞增子列恰有2s-1個(gè)（s=1，2，…），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一）（2）設(shè)長度為q末項(xiàng)為的一個(gè)遞增子列為.由p<q，得.因?yàn)榈拈L度為p的遞增子列末項(xiàng)的最小值為，又是的長度為p的遞增子列，所以.所以·（3）由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是中的項(xiàng).先證明：若2m是中的項(xiàng)，則2m必排在2m?1之前（m為正整數(shù)）.假設(shè)2m排在2m?1之后.設(shè)是數(shù)列的長度為m末項(xiàng)為2m?1的遞增子列，則是數(shù)列的長度為m+1末項(xiàng)為2m的遞增子列.與已知矛盾.再證明：所有正偶數(shù)都是中的項(xiàng).假設(shè)存在正偶數(shù)不是中的項(xiàng)，設(shè)不在中的最小的正偶數(shù)為2m.因?yàn)?k排在2k?1之前（k=1，2，…，m?1），所以2k和不可能在的同一個(gè)遞增子列中.又中不超過2m+1的數(shù)為1，2，…，2m?2，2m?1，2m+1，所以的長度為m+1且末項(xiàng)為2m+1的遞增子列個(gè)數(shù)至多為.與已知矛盾.最后證明：2m排在2m?3之后（m≥2為整數(shù)）.假設(shè)存在2m（m≥2），使得2m排在2m?3之前，則的長度為m+1且末項(xiàng)為2m+l的遞增子列的個(gè)數(shù)小于.與已知矛盾.綜上，數(shù)列只可能為2，1，4，3，…，2m?3，2m，2m?1，….經(jīng)驗(yàn)證，數(shù)列2，1，4，3，…，2m?3，2m，2m?1，…符合條件.所以二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，即，且.故，，故.故選：.2、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，．求和的通項(xiàng)公式；【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，==，所以．所以，于是，解得或（舍）所以=．3、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知數(shù)列滿足：.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)；【解析】證明：因?yàn)?，所以．因?yàn)樗运裕?，所以是首?xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以．4、（2020·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期末）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，對任意，它的前項(xiàng)和滿足，并且，，成等比數(shù)列.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】對任意，有，①當(dāng)時(shí)，有，解得或.當(dāng)時(shí)，有.②①-②并整理得.而數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不成立，舍去.，.5、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為．由已知得，解得．于是．（2）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)上式也成立．于是．故．6、（2020·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，且）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】由，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以；7、【2019年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對每個(gè)成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得，解得．從而．所以，由成等比數(shù)列得．解得．所以．8、【2019年高考江蘇卷】定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)