第06講等式與不等式(原卷版+解析)

第06講等式與不等式一、單選題1．（2021·陜西省子洲中學(xué)高二開學(xué)考試（理））數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofswithoutwords，也稱之為無(wú)字證明，一般是指僅用圖象語(yǔ)言而無(wú)需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無(wú)字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為斜邊上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）A． B．C． D．2．（2021·廣東高三月考）在西方，人們把寬與長(zhǎng)之比為的矩形稱為黃金矩形，這個(gè)比例被稱為黃金分制比例．如圖，名畫《蒙娜麗莎的微笑》的整個(gè)畫面的主體部分便很好地體現(xiàn)了黃金分割比例，其中矩形，矩形，矩形，矩形，矩形為黃金矩形．若畫中點(diǎn)G與點(diǎn)K間的距離超過(guò)，點(diǎn)C與點(diǎn)F間的距離不超過(guò)，則該名畫中，A與B間的距離可能為（）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））數(shù)學(xué)中有些優(yōu)美的曲線顯示了數(shù)學(xué)形象美?對(duì)稱美?和諧美，曲線：就是四葉玫瑰線，則不等式表示區(qū)域所含的整點(diǎn)(即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為（）A．1 B．4 C．5 D．94．（2021·寶山區(qū)·上海交大附中高一開學(xué)考試）古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長(zhǎng)與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長(zhǎng)與右盤物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長(zhǎng)）稱黃金，某顧客要購(gòu)買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于5．（2022·上海）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問(wèn)出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城的周長(zhǎng)的最小值為（注：1里=300步）（）A．里 B．里 C．里 D．里6．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整數(shù)解問(wèn)題是數(shù)論中一個(gè)古老的分支，其內(nèi)容極為豐富，西方最早研究不定方程的人是希臘數(shù)學(xué)家丟番圖．請(qǐng)研究下面一道不定方程整數(shù)解的問(wèn)題：已知?jiǎng)t該方程的整數(shù)解有（）組．A．1 B．2 C．3 D．47．（2021·云南昆明市·（文））十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．8．（2021·河北張家口市·高三期末）太極圖被稱為“中華第一圖”.從孔廟大成殿梁柱，到老子樓觀臺(tái)?三茅宮?白云觀的標(biāo)記物；到中醫(yī)?氣功?武術(shù)及中國(guó)傳統(tǒng)文化的書刊封面?會(huì)徽?會(huì)標(biāo)這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽(yáng)兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.已知函數(shù)，則以下圖形中，陰影部分可以用不等式組表示的是（）A． B．C． D．二、多選題9．（2020·江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)）生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水會(huì)更甜，于是得出一個(gè)不等式：.趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和不等式的性質(zhì)判斷下列命題一定正確的是（）A．若，則與的大小關(guān)系隨m的變化而變化B．若，則C．若，則D．若，則一定有10．（2021·全國(guó)高一專題練習(xí)）早在古巴比倫時(shí)期，人們就會(huì)解一元二次方程.16世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家們得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究過(guò)程中得到一個(gè)代數(shù)基本定理：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根請(qǐng)借助代數(shù)基本定理解決下面問(wèn)題：設(shè)實(shí)系數(shù)一元四次方程，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．11．（2021·江蘇宿遷·高一期末）公元3世紀(jì)末，古希臘亞歷山大時(shí)期的一位幾何學(xué)家帕普斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)半圓模型（如圖所示），以線段為直徑作半圓，，垂足為，以的中點(diǎn)為圓心，為半徑再作半圓，過(guò)作，交半圓于，連接，設(shè)，，則下列不等式一定正確的是（）．A． B．C． D．12．（2020·江蘇省東臺(tái)中學(xué)）《九章算術(shù)》中“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng).由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3.設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列推理正確的是（）①由圖1和圖2面積相等得；②由可得；③由可得；④由可得.A．① B．② C．③ D．④三、填空題13．（2021·全國(guó)）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問(wèn)出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門步有樹，出南門步能見到此樹，則該小城的周長(zhǎng)的最小值為（注：里步）________里.14．（2021·江蘇）我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為和，，則是的更為精確的近似值．已知，試以上述的不足近似值和過(guò)剩近似值為依據(jù)，那么使用兩次“調(diào)日法”后可得的近似分?jǐn)?shù)為________．15．（2020·江蘇揚(yáng)州·高二期中）一元線性同余方程組問(wèn)題最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期(公元5世紀(jì))的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”問(wèn)題，原文如下：有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問(wèn)物幾何？即，一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個(gè)整數(shù).設(shè)這個(gè)整數(shù)為，當(dāng)時(shí)，符合條件的a共有_________個(gè).16．我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為和，則是的更為精確的近似值.我們知道，我國(guó)早在《周髀算經(jīng)》中就有“周三徑一”的古率記載，《隋書?律歷志》有如下記載：“南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈肭二限之間．密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五．約率，圓徑七，周二十二”，這一記錄指出了祖沖之關(guān)于圓周率的兩大貢獻(xiàn)：其一是求得圓周率；其二是得到的兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)即：約率為22/7，密率為355/113，他算出的的8位可靠數(shù)字，不但在當(dāng)時(shí)是最精密的圓周率，而且保持世界紀(jì)錄一千多年，他對(duì)的研究真可謂“運(yùn)籌于帷幄之中，決勝于千年之外”，祖沖之是我國(guó)古代最有影響的數(shù)學(xué)家之一，莫斯科大學(xué)走廊里有其塑像，1959年10月，原蘇聯(lián)通過(guò)“月球3”號(hào)衛(wèi)星首次拍下月球背面照片后，就以祖沖之命名一個(gè)環(huán)形山，其月面坐標(biāo)是：東經(jīng)148度，北緯17度.縱橫古今，關(guān)于值的研究，經(jīng)歷了古代試驗(yàn)法時(shí)期、幾何法時(shí)期、分析法時(shí)期、蒲豐或然性試驗(yàn)方法時(shí)期、計(jì)算機(jī)時(shí)期，已知，試以上述的不足近似值和過(guò)剩近似值為依據(jù)，那么使用兩次“調(diào)日法”后可得的近似分?jǐn)?shù)為____________第06講等式與不等式一、單選題1．（2021·陜西省子洲中學(xué)高二開學(xué)考試（理））數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofswithoutwords，也稱之為無(wú)字證明，一般是指僅用圖象語(yǔ)言而無(wú)需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無(wú)字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為斜邊上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分別表示和，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系，判斷選項(xiàng)．【詳解】由圖可知，，，在中，，顯然，即．故選：B.2．（2021·廣東高三月考）在西方，人們把寬與長(zhǎng)之比為的矩形稱為黃金矩形，這個(gè)比例被稱為黃金分制比例．如圖，名畫《蒙娜麗莎的微笑》的整個(gè)畫面的主體部分便很好地體現(xiàn)了黃金分割比例，其中矩形，矩形，矩形，矩形，矩形為黃金矩形．若畫中點(diǎn)G與點(diǎn)K間的距離超過(guò)，點(diǎn)C與點(diǎn)F間的距離不超過(guò)，則該名畫中，A與B間的距離可能為（）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)黃金矩形的定義，列式后表示，，根據(jù)題中的條件，表示的范圍.【詳解】由黃金矩形的定義可知，所以，所以．，所以，即，對(duì)照各選項(xiàng)，只有B符合．故選：B．3．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））數(shù)學(xué)中有些優(yōu)美的曲線顯示了數(shù)學(xué)形象美?對(duì)稱美?和諧美，曲線：就是四葉玫瑰線，則不等式表示區(qū)域所含的整點(diǎn)(即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為（）A．1 B．4 C．5 D．9【答案】C【分析】由于，所以轉(zhuǎn)化為，化簡(jiǎn)得，從而可求得整點(diǎn)的個(gè)數(shù)【詳解】解：因?yàn)?，所以可化為，得，圓含9個(gè)整點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)，只有和共5個(gè)整點(diǎn)滿足.故選：C4．（2021·寶山區(qū)·上海交大附中高一開學(xué)考試）古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長(zhǎng)與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長(zhǎng)與右盤物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長(zhǎng)）稱黃金，某顧客要購(gòu)買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【分析】設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得表達(dá)式，利用作差法比較與10的大小，即可得答案.【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為.由杠桿的平衡原理：，．解得，，則.下面比較與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）因?yàn)?，因?yàn)?，所以，?所以這樣可知稱出的黃金質(zhì)量大于.故選：A5．（2022·上海）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問(wèn)出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城的周長(zhǎng)的最小值為（注：1里=300步）（）A．里 B．里 C．里 D．里【答案】D【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而得，再結(jié)合基本不等式求的最小值即可.【詳解】因?yàn)?里=300步，則由圖知步=4里，步=2.5里．由題意，得，則，所以該小城的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選:D．【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景考查基本不等式，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，得出對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)關(guān)系，即：，再代入數(shù)據(jù)，結(jié)合基本不等式求解，同時(shí)，在應(yīng)用基本不等式時(shí)，還需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.6．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整數(shù)解問(wèn)題是數(shù)論中一個(gè)古老的分支，其內(nèi)容極為豐富，西方最早研究不定方程的人是希臘數(shù)學(xué)家丟番圖．請(qǐng)研究下面一道不定方程整數(shù)解的問(wèn)題：已知?jiǎng)t該方程的整數(shù)解有（）組．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】原方程可化為，所以即，再列舉每種情況即可.【詳解】設(shè)此方程的解為有序數(shù)對(duì)，因?yàn)樗援?dāng)或時(shí)，等號(hào)是不能成立的，所以即，（1）當(dāng)時(shí)，即（2）當(dāng)時(shí)，即或（3）當(dāng)時(shí)，即綜上所述，共有四組解故選：D7．（2021·云南昆明市·（文））十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】對(duì)ABCD一一驗(yàn)證或證明.【詳解】對(duì)于A：，即，故A正確；對(duì)于B：記在上為減函數(shù)，∵，∴，故B正確；對(duì)于C：記在上為增函數(shù)，∵，∴，故C正確；對(duì)于D：，可以取，則，故D錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】四個(gè)選項(xiàng)互不相關(guān)的選擇題，需要對(duì)各個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.8．（2021·河北張家口市·高三期末）太極圖被稱為“中華第一圖”.從孔廟大成殿梁柱，到老子樓觀臺(tái)?三茅宮?白云觀的標(biāo)記物；到中醫(yī)?氣功?武術(shù)及中國(guó)傳統(tǒng)文化的書刊封面?會(huì)徽?會(huì)標(biāo)這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽(yáng)兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.已知函數(shù)，則以下圖形中，陰影部分可以用不等式組表示的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)即可得出.【詳解】題中的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)榛?故選：B.二、多選題9．（2020·江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)）生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水會(huì)更甜，于是得出一個(gè)不等式：.趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和不等式的性質(zhì)判斷下列命題一定正確的是（）A．若，則與的大小關(guān)系隨m的變化而變化B．若，則C．若，則D．若，則一定有【答案】CD【分析】根據(jù)“糖水不等式”，即可判斷A；舉反例，如，即可判斷B；若，則，再根據(jù)“糖水不等式”即可判斷C；利用不等式的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，根據(jù)“糖水不等式”，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，根據(jù)“糖水不等式”，，即，故C正確；對(duì)于D，若，則，所以，所以，故D正確.10．（2021·全國(guó)高一專題練習(xí)）早在古巴比倫時(shí)期，人們就會(huì)解一元二次方程.16世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家們得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究過(guò)程中得到一個(gè)代數(shù)基本定理：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根請(qǐng)借助代數(shù)基本定理解決下面問(wèn)題：設(shè)實(shí)系數(shù)一元四次方程，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】AC【分析】由，并展開右式即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)知：，∴，∴，∴，，，.故選：AC11．（2021·江蘇宿遷·高一期末）公元3世紀(jì)末，古希臘亞歷山大時(shí)期的一位幾何學(xué)家帕普斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)半圓模型（如圖所示），以線段為直徑作半圓，，垂足為，以的中點(diǎn)為圓心，為半徑再作半圓，過(guò)作，交半圓于，連接，設(shè)，，則下列不等式一定正確的是（）．A． B．C． D．【答案】AD【分析】先結(jié)合圖象，利用垂直關(guān)系和相似關(guān)系得到大圓半徑，小圓半徑，，，，再通過(guò)線段大小判斷選項(xiàng)正誤即可.【詳解】因?yàn)槭菆AO的直徑，則，因?yàn)?，則，所以，故，易有，故，即，大圓半徑，小圓半徑，，，故，同理.選項(xiàng)A中，，顯然當(dāng)時(shí)是鈍角，在上可截取，故，即大圓半徑，故，正確；選項(xiàng)B中，當(dāng)時(shí)，大圓半徑，有，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，中，，故，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，大圓半徑，小圓半徑，則，而，故，故正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵在于將選項(xiàng)中出現(xiàn)的數(shù)式均與圖中線段長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)相等，才能通過(guò)線段的長(zhǎng)短比較反饋到數(shù)式的大小關(guān)系，突破難點(diǎn).12．（2020·江蘇省東臺(tái)中學(xué)）《九章算術(shù)》中“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng).由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3.設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列推理正確的是（）①由圖1和圖2面積相等得；②由可得；③由可得；④由可得.A．① B．② C．③ D．④【答案】ABCD【分析】根據(jù)圖1，圖2面積相等，可求得d的表達(dá)式，可判斷A選項(xiàng)正誤，由題意可求得圖3中的表達(dá)式，逐一分析B、C、D選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于①：由圖1和圖2面積相等得，所以，故①正確；對(duì)于②：因?yàn)?，所以，所以，設(shè)圖3中內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為t，根據(jù)三角形相似可得，解得，所以，因?yàn)椋?，整理可得，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)闉樾边叺闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，整理得，故③正確；對(duì)于④：因?yàn)?，所以，整理得：，故④正確；故選：ABCD【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意及三角形的性質(zhì)，利用幾何法證明基本不等式，求得的表達(dá)式，根據(jù)圖形及題意，得到的大小關(guān)系，即可求得答案，考查分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力.三、填空題13．（2021·全國(guó)）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問(wèn)出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門步有樹，出南門步能見到此樹，則該小城的周長(zhǎng)的最小值為（注：里步）________里.【答案】【分析】根據(jù)題意得出，進(jìn)而可得出，結(jié)合基本不等式求的最小值即可.【詳解】因?yàn)槔锊?，由圖可知，步里，步里，，則，且，所以，，所以，，則，所以，該小城的周長(zhǎng)為（里）.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.14．（2021·江蘇）我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為和，，則是的更為精確的近似值．已知，試以上述的不足近似值和過(guò)剩近似值為依據(jù)，那么使用兩次“調(diào)日法”后可得的近似分?jǐn)?shù)為________．【答案】【分析】根據(jù)題中所給定義及數(shù)據(jù)，可得第一次使用“調(diào)日法”可得近似分?jǐn)?shù)，與比較，進(jìn)行第二次運(yùn)算，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以第一次使用“調(diào)日法”可得近似分?jǐn)?shù)為，所以，所以，所以第二次使用“調(diào)日法”可得近似分?jǐn)?shù)為.故答案為：15．（2020·江蘇揚(yáng)州·高二期中）一元線性同余方程組問(wèn)題最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期(公元