2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)模塊評(píng)價(jià)同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE模塊素養(yǎng)評(píng)價(jià)(120分鐘150分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿意QUOTE=i,則|z|= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選A.因?yàn)镼UOTE=i,所以z=QUOTE=QUOTE=i,故|z|=1.2.設(shè)x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,則|a+b|= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.10【解析】選B.因?yàn)閍⊥b,所以a·b=0,所以x-2=0,所以x=2,所以a+b=(3,-1),|a+b|=QUOTE.3.為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.總的基本領(lǐng)件是:(紅黃,白紫);(紅白,黃紫);(紅紫,黃白),共3種.滿意條件的基本領(lǐng)件是:(紅黃,白紫);(紅白,黃紫),共2種.故所求事務(wù)的概率為P=QUOTE.4.設(shè)向量a,b滿意|a+b|=QUOTE,a·b=4,則|a-b|= ()A.QUOTE B.2QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選C.考查向量的數(shù)量積.因?yàn)閨a+b|=QUOTE,a·b=4,所以|a+b|2-|a-b|2=4a·b=16,所以|a-b|=2.5.若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為 ()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【解析】選B.方法一:畫Venn圖,如圖設(shè)只用非現(xiàn)金支付(不用現(xiàn)金支付)的概率為x,則0.45+0.15+x=1,解得x=0.4,所以不用現(xiàn)金支付的概率為0.4.方法二:記“用現(xiàn)金支付”為事務(wù)A,“用非現(xiàn)金支付”為事務(wù)B,則“只用非現(xiàn)金支付(不用現(xiàn)金支付)”為事務(wù)B-(A∩B),由已知,P(A)=0.45+0.15=0.6,P(A∩B)=0.15,又P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+P(B)-0.15=1,所以P(B)=0.55,P(B-(A∩B))=P(B)-P(A∩B)=0.55-0.15=0.4.6.甲、乙兩組工人制造零件的個(gè)數(shù)分別是:甲:9,9,10,10,12;乙:8,9,9,10,11.若分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名工人,則這兩名工人制造的零件總數(shù)不超過20的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.甲組中5名工人分別記為a,b,c,d,e,乙組中5名工人分別記為A,B,C,D,E,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取1名工人,共有25種方法,制造零件總數(shù)超過20的有:eB,eC,eD,eE,dE,cE,共6種,故這兩名工人制造的零件總數(shù)不超過20的概率P=1-QUOTE=QUOTE.7.設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1,S2,體積分別為V1,V2.若它們的側(cè)面積相等且QUOTE=QUOTE,則QUOTE的值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,則有2πr1h1=2πr2h2,即r1h1=r2h2,又QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,則QUOTE=QUOTE=QUOTE.8.已知a,b,c分別是△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,點(diǎn)M為△ABC的重心.若a+b+QUOTEc=0,則C= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)镸為△ABC的重心,則++=0,所以=--,因?yàn)閍+b+QUOTEc·=0,所以a·(--)+b+QUOTEc·=0.即(b-a)·+QUOTE·=0,因?yàn)榕c不共線,所以b-a=0,QUOTEc-a=0,得a∶b∶QUOTEc=1∶1∶1,令a=1,b=1,c=QUOTE,則cosC=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以C=QUOTE.二、多選題(每小題5分,共20分,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.某校150名教職工中,有老年人20名,中年人50名,青年人80名,從中抽取30名作為樣本.①采納簡潔隨機(jī)抽樣法:抽簽取出30個(gè)樣本;②采納分層隨機(jī)抽樣法:從老年人、中年人、青年人中抽取30個(gè)樣本.下列說法中正確的是 ()A.無論采納哪種方法,這150名教職工中每個(gè)人被抽到的概率都相等B.采納方法①抽樣,這150名教職工中每個(gè)人被抽到的概率都相等;②并非如此C.采納方法②抽樣,這150名教職工中每個(gè)人被抽到的概率都相等;①并非如此D.采納方法②抽樣,從老年人、中年人、青年人中抽取的人數(shù)分別為4,10,16【解析】選AD.兩種抽樣方法中,每個(gè)人被抽到的概率都等于QUOTE=QUOTE,A對(duì),BC錯(cuò)誤.采納方法②抽樣,從老年人、中年人、青年人中抽取的人數(shù)分別為30×QUOTE=4,30×QUOTE=10,30×QUOTE=16,D對(duì).10.已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,則下面命題正確的為 ()A.α∥β?l⊥mB.α⊥β?l∥mC.l∥m?α⊥βD.l⊥m?m與α不相交【解析】選ACD.由α∥β,l⊥α得l⊥β,又m?β,所以l⊥m,A正確;由α⊥β,l⊥α得l?β或l∥β,故不能得到l∥m,B錯(cuò)誤;由l⊥α,l∥m得m⊥α,又m?β,所以α⊥β,C正確;由l⊥m,l⊥α得m?α或m∥α,故m,α不相交,D正確.11.下列命題正確的是 ()A.a∥b?存在唯一的實(shí)數(shù)λ∈R,使得b=λaB.e為單位向量,且a∥e,則a=±|a|eC.|a·a·a|=|a|3D.若a·b=b·c且b≠0,則a=c【解析】選BC.A中,因?yàn)閍=b=0時(shí),λ不唯一,故A錯(cuò);D中a·b=b·c?|a|·|b|cosθ1=|b|·|c|·cosθ2(θ1,θ2分別為a與b及b與c的夾角),又|b|≠0,所以由|a|·cosθ1=|c|·cosθ2推不出a=c,故D不正確.BC正確.12.如圖所示,邊長為2a的正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G,已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形,現(xiàn)給出下列結(jié)論,其中正確的是 ()A.動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上B.三棱錐A′-FED的體積有最大值C.恒有平面A′GF⊥平面BCEDD.異面直線A′E與BD不行能相互垂直【解析】選ABC.因?yàn)镈E⊥A′G,DE⊥GF,A′G∩GF=G,所以DE⊥平面A′GF,又DE?平面BCED,所以平面A′GF⊥平面BCED,故C正確.過A′作A′H⊥AF,垂足為H,則A′H?平面A′GF,所以A′H⊥DE,又DE∩AF=G,所以A′H⊥平面ABC,故A正確.三棱錐A′-FED的底面△FED的面積是定值,高是點(diǎn)A′到平面FED的距離.易證當(dāng)A′G⊥平面FED時(shí)距離(即高)最大,三棱錐A′-FED的體積最大,故B正確.易知BD∥EF,所以∠A′EF是異面直線A′E與BD所成的角(或其補(bǔ)角).正△ABC的邊長為2a,AE=a,EF=a,而A′F的長度的取值范圍是(0,QUOTEa),當(dāng)A′F=QUOTEa時(shí),A′E2+EF2=A′F2,∠A′EF=90°,此時(shí)直線A′E與BD相互垂直,故D錯(cuò)誤.三、填空題(每小題5分,共20分)13.設(shè)a∈R,若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,則a=.

【解析】(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,所以a+1=0,a=-1.答案:-114.某種心臟病手術(shù),勝利率為0.6,現(xiàn)打算進(jìn)行3例此種手術(shù),利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),用0,1,2,3代表手術(shù)不勝利,用4,5,6,7,8,9代表手術(shù)勝利,產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù):966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,725,則恰好勝利1例的概率為.

【解析】設(shè)恰好勝利1例的事務(wù)為A,A所包含的基本領(lǐng)件為191,270,832,912,134,370,027,703共8個(gè).則恰好勝利1例的概率為P(A)=QUOTE=0.4.答案:0.415.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,全部棱的長都為a,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為.

【解析】由題意知,該三棱柱為正三棱柱,且側(cè)棱與底面邊長相等,均為a.設(shè)O,O1分別為下、上底面的中心,且球心O2為O1O的中點(diǎn),又AD=QUOTEa,AO=QUOTEa,OO2=QUOTE,設(shè)球的半徑為R,則R2=AQUOTE=QUOTEa2+QUOTEa2=QUOTEa2,所以S球=4πR2=4π×QUOTEa2=QUOTEπa2.答案:QUOTEπa216.某班開展一次智力競賽活動(dòng),共a,b,c三個(gè)問題,其中題a滿分是20分,題b,c滿分都是25分,每道題或者得滿分,或者得0分,活動(dòng)結(jié)果顯示,全班同學(xué)每人至少答對(duì)一道題,有1名同學(xué)答對(duì)全部三道題,有15名同學(xué)答對(duì)其中兩道題,答對(duì)題a與題b的人數(shù)之和為29,答對(duì)題a與題c的人數(shù)之和為25,答對(duì)題b與題c的人數(shù)之和為20,則該班同學(xué)中只答對(duì)一道題的人數(shù)是;該班的平均成果是.

【解析】設(shè)x,y,z分別是答對(duì)a,b,c題的人數(shù),則有QUOTE解得QUOTE答對(duì)一道題的人數(shù)為(17+12+8)-3×1-2×15=4,全班總?cè)藬?shù)為4+15+1=20,全班總得分為17×20+(12+8)×25=840,平均成果為QUOTE=42.答案:442四、解答題(共70分)17.(10分)如圖,在△OBC中,A是邊BC的中點(diǎn),||=2||,DC和OA交于點(diǎn)E,設(shè)=a,=b.(1)用a和b表示向量,.(2)若=λ,求實(shí)數(shù)λ的值.【解析】(1)=+=+2=+2(-)=2-=2a-b;=+=QUOTE+2(-)=2-QUOTE=2a-QUOTEb.(2)設(shè)=μ=2μa-QUOTEμb,則=+=2a-b+2μa-QUOTEμb=(2+2μ)a-QUOTEb,又=λ=λa,所以QUOTE解得λ=QUOTE.18.(12分)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到表格:電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率.(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率.【解析】(1)由表知,電影公司收集的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000,獲得好評(píng)的第四類電影部數(shù)為200×0.25=50,所以所求概率為QUOTE=0.025.(2)記“從第四類電影中隨機(jī)選取的1部獲得好評(píng)”為事務(wù)A,記“從第五類電影中隨機(jī)選取的1部獲得好評(píng)”為事務(wù)B,則事務(wù)“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,恰有1部獲得好評(píng)”可表示為AQUOTE+QUOTEB,由表知,P(A)=0.25,P(B)=0.2,全部電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立,所以P(QUOTE)=1-P(A)=0.75,P(QUOTE)=1-P(B)=0.8,P(AQUOTE+QUOTEB)=P(AQUOTE)+P(QUOTEB)=P(A)P(QUOTE)+P(QUOTE)P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35,即所求概率為0.35.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=3,cosA=QUOTE,B=A+QUOTE.(1)求b的值;(2)求△ABC的面積.【解析】(1)在△ABC中,由題意知,sinA=QUOTE=QUOTE,又因?yàn)锽=A+QUOTE,所以sinB=sinQUOTE=cosA=QUOTE,由正弦定理,得b=QUOTE=QUOTE=3QUOTE.(2)由余弦定理,得cosA=QUOTE=QUOTE?c2-4QUOTEc+9=0?c=QUOTE或3QUOTE,又因?yàn)锽=A+QUOTE為鈍角,所以b>c,即c=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEacsinB=QUOTE.20.(12分)如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE⊥平面ABCD.(1)證明:平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為QUOTE,求該三棱錐的側(cè)面積.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=QUOTEx,GB=GD=QUOTE.因?yàn)锳E⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=QUOTEx.由BE⊥平面ABCD,知△EBG為直角三角形,可得BE=QUOTEx.由已知得,三棱錐E-ACD的體積VE-ACD=QUOTE×QUOTEAC·GD·BE=QUOTEx3=QUOTE.故x=2.從而可得AE=EC=ED=QUOTE.所以△EAC的面積為3,△EAD的面積與△ECD的面積均為QUOTE.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2QUOTE.21.(12分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=QUOTE.M,N分別為BC和CC1的中點(diǎn),P為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證:平面APM⊥平面BB1C(2)若P為線段BB1的中點(diǎn),求證:A1N∥平面APM.(3)試推斷直線BC1與平面APM是否能夠垂直.若能垂直,求PB的值;若不能垂直,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)由已知,M為BC中點(diǎn),且AB=AC,所以AM⊥BC.又因?yàn)锽B1∥AA1,且AA1⊥底面ABC,所以BB1⊥底面ABC.因?yàn)锳M?底面ABC,所以BB1⊥AM,又BB1∩BC=B,所以AM⊥平面BB1C又因?yàn)锳M?平面APM,所以平面APM⊥平面BB1C(2)取C1B1中點(diǎn)D,連接A1D,DN,DM,B1C由于D,M分別為C1B1,CB的中點(diǎn),所以DM∥A1A,且DM=A1A,則四邊形A1AMD為平行四邊形,所以A1D∥AM.又A1D?平面APM,AM?平面APM,所以A1D∥平面APM,由于D,N分別為C1B1,C1C又P,M分別為B1B,CB的中點(diǎn),所以MP∥B1C又DN?平面APM,MP?平面APM,所以DN∥平面APM.由于A1D∩DN=D,所以平面A1DN∥平面APM,由于A1N?平面A1DN,所以A1N∥平面APM,(3)不能垂直.理由如下:假設(shè)BC1與平面APM垂直,由PM?平面APM,則BC1⊥PM,設(shè)PB=x,x∈[0,QUOTE].當(dāng)BC1⊥PM時(shí),∠BPM=∠B1C1所以Rt△BPM∽R(shí)t△B1C1B,所以QUOTE=QUOTE.由已知MB=QUOTE,C1B1=2QUOTE,BB1=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,得x=QUOTE.由于x=QUOTE?[0,QUOTE],因此直線BC1與平面APM不能垂直.22.(12分)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的運(yùn)用狀況,從全校