專題強化訓(xùn)練一全等三角形中的輔助線（模型）問題（原卷版）

專題強化訓(xùn)練一：全等三角形中的輔助線（模型）問題題型一：連接兩點做輔助線問題1．（2023春·全國·七年級）如圖，已知：，，，，則（

）A． B． C．或 D．2．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°．若∠BDC=25°，AD=4，DE=，則CD的長為（

）A． B． C． D．23．（2020春·四川廣安·八年級四川省岳池縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，若AE＝3，AC＝6，則AD的長為（）A．3 B．6 C．9 D．4題型二：倍線中線模型問題4．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點，使，連結(jié)，請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到，其理由是什么？(2)的取值范圍是什么？[感悟]解題時，條件中出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和結(jié)論轉(zhuǎn)化到一個三角形中．[問題解決](3)如圖3，是的中線，交于點，且，試說明．5．（2022秋·山東威海·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍，小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點，使，請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到的理由是______．(2)求得的取值范圍是______．(3)如圖2，在中，點是的中點，點在邊上，點在邊上，若，求證：．6．（2022秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：(1)如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE=AD，請根據(jù)小明的方法思考幫小明完成解答過程．(2)如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．請判昕AC與BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．題型三：旋轉(zhuǎn)模型7．（2022春·四川雅安·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，且與點B，C不重合，連接AD．作以∠FAD為直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°①當點D在線段BC上時，試探討CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；②當點D在線段BC的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC．上，且CF⊥BD時，如圖3，試求∠BCA的度數(shù)．8．（2022春·廣東佛山·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．9．（2022春·黑龍江綏化·七年級?？计谥校┮阎涸凇鰽BC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如圖①所示，直接寫出線段BE和CD之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．數(shù)量關(guān)系：______，位置關(guān)系：_______．（2）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，請判斷（1）中所得線段BE和CD之間的關(guān)系是否依然成立，若成立請給予證明，若不成立請說明理由．（3）猜想：若將題目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改為“∠BAC＝∠DAE＝60°”，其余條件不變，請直接寫出直線BE和CD所夾銳角的度數(shù)為______．題型四：垂線模型10．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，為等腰直角三角形，，．(1)求證：；(2)求證：11．（2023春·七年級課時練習(xí)）已知，中，，，直線m過點A，且于D，于E，當直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)．(1)當直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，問：與、的關(guān)系如何？請予證明；(2)直線m在繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）12．（2021春·七年級課時練習(xí)）在中，，，直線MN經(jīng)過點C，且于D點，于E點．（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，求證：；（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系．

題型五：其它技巧模型13．（2021春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）定義：在平面內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的圖形能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．（1）如圖1，是的平分線，請你在圖1中畫出一對以所在直線為對稱軸的全等三角形．（2）請你仿照這個作全等三角形的方法，解答下列問題：①如圖2，在中，，，、分別是、的平分線，、相交于點．猜想和之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．②如圖3，在中，如果，而①中的其它條件不變，請問①中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．14．（2021春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識，而四邊形的學(xué)習(xí)，我們一般通過輔助線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，通過三角形的基本性質(zhì)和全等來解決一些問題．（1）如圖1，在四邊形中，，，連接．①小明發(fā)現(xiàn)，此時平分．他通過觀察、實驗，提出以下想法：延長到點，使得，連接，證明，從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證明平分．請你參考小明的想法，寫出完整的證明過程．②如圖2，當時，請你判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖3，等腰、等腰的頂點分別為、，點在線段上，且，請你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．15．（2020春·四川成都·七年級?？计谥校┰谥?，是的中點，以為腰向外作等腰直角，即，連接，交于點，連接．如圖1，若，求的度數(shù)．在的條件下，寫出與三條線段之間的等量關(guān)系，并說明理由．若是鈍角時，交延長線于，連接如圖2所示：①探究圖2中的形狀，并說明理由．②若，求的面積．題型六：證明線段的和差問題16．（2021春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點O，點E、F分別在邊AB，BC上，連接EO、FO，使∠EOF＝60°，連接EF．（1）求∠BOC的度數(shù)．（2）求證：CF＝BE+EF．17．（2020春·湖南長沙·七年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D：在△ABC中，∠C＝2∠B．AD平分∠BAC（1）如圖①，當∠C＝90°時，則∠CAD的度數(shù)為．（2）如圖②，在第（1）問的條件下，過D作DE⊥AB于點E，已知AB＝6，求△DBE的周長．（3）如圖③，當∠C≠90°，證明：AC＋CD＝AB．18．（2020春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形：(1)如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．試猜想DE、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)組員小穎想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否成立呢？如圖2，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、B三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α(其中α為任意銳角或鈍角)．如果成立，請你給出推理過程；若不成立，請說明理由．專題訓(xùn)練精練一、單選題19．（2023春·七年級課時練習(xí)）中，，．若E為的中點，且，x的取值范圍為（

）A． B． C． D．20．（2021春·山東棗莊·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，，，于點E，于點D，，，則的長是（

）A．8 B．4 C．3 D．221．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，兩座建筑物，相距160km，小月從點沿BC走向點C，行走ts后她到達點，此時她仰望兩座建筑物的頂點和，兩條視線的夾角正好為，且．已知建筑物的高為，小月行走的速度為，則小月行走的時間的值為（

）A．100 B．80 C．60 D．5022．（2021春·七年級單元測試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接BE，則∠BED的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．135° D．150°23．（2020春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，ΔABC≌ΔABC，點B在AB邊上，線段AB，AC交于點D．若∠A＝40°，∠B＝60°，則∠ACB的度數(shù)為(

)A．100° B．120° C．135° D．140°24．（2022春·廣東揭陽·七年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，點D為AB的中點，若直角MDN繞點D旋轉(zhuǎn)分別交AC于點E，交BC于點F，則下列說法：①AE=CF；②EC+CF=；③DE=DF；④若△ECF的面積為一個定值，則EF的長也是一個定值，其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④25．（2019春·七年級單元測試）如圖（1），已知兩個全等三角形的直角頂點及一條直角邊重合．將△ACB繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，其中交直線AD于點E，分別交直線AD、AC于點F、G，則在圖（2）中，全等三角形共有（

）A．5對 B．4對 C．3對 D．2對二、解答題26．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，點A，B，D在同一條直線上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．連接CE，試判斷△CBE的形狀，并說明理由．27．（2021春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期中）（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．28．（2021春·廣東深圳·七年級?？计谥校┤鐖D，已知：在中，，，直線經(jīng)過點，，．（1）當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：；（2）當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：；（3）當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系：____________．29．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，把一塊直角三角尺ABC的直角頂點C放置在水平直線MN上，在中，，，試回答下列問題：（1）若把三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當AB∥MN時，度；（2）在三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，分別作AM⊥MN于M，BN⊥MN與N，若，，求MN．（3）三角尺ABC繞著點C按順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則AM、BN與MN之間有什么關(guān)系？請說明理由．30．（2021春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點P是∠MON內(nèi)部一點，過點P分別作PA∥ON交OM于點A，PB∥OM交ON于點B（PA≥PB），在線段OB上取一點C，連接AC，將△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，延長AD交PB于點E，延長CD交PB于點F．（1）如圖1，當四邊形AOBP是正方形時，求證：DF＝PF；（2）如圖2，當C為OB中點時，試探究線段AE，AO，BE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CE，∠ACE的平分線CH交AE于點H，設(shè)OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）．31．（2022春·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）（1）基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）綜合應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．三、填空題32．（2022秋·黑龍江大慶·七年級大慶市第六十九中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，求邊上中線的范圍為_____．33．（2021秋·上海浦東新·七年級?？计谀┤鐖D在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交CB、D