第5講二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)九年級數(shù)學下冊講義（北師大版）

第5講二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)目標導航目標導航理解二次函數(shù)的概念，能用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式；并結(jié)合圖像理解拋物線、對稱軸、頂點、開口方向等概念；.經(jīng)歷探索二次函數(shù)圖象及性質(zhì)緊密聯(lián)系的過程，能運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡單的實際問題，深刻理解數(shù)學建模思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．知識精講知識精講知識點01二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像及性質(zhì)1.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像用描點法畫出二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像，如圖，它是一條關(guān)于y軸對稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線.因為拋物線y=x2關(guān)于y軸對稱，所以y軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，從圖上看，拋物線y=x2的頂點是圖像的最低點。因為拋物線y=x2有最低點，所以函數(shù)y=x2有最小值，它的最小值就是最低點的縱坐標.2.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像的畫法用描點法畫二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像時，應(yīng)在頂點的左、右兩側(cè)對稱地選取自變量x的值，然后計算出對應(yīng)的y值，這樣的對應(yīng)值選取越密集，描出的圖像越準確.特別說明：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像．用描點法畫二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像，該圖像是軸對稱圖形，對稱軸是y軸．y=ax2(a≠0)是最簡單的二次函數(shù)，把y=ax2(a≠0)的圖像左右、上下平行移動可以得到y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的圖像．畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：1）開口方向，2）對稱軸，3）頂點，4）與軸的交點，5）與軸的交點.3.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像的性質(zhì)，見下表：函數(shù)圖像開口方向頂點坐標對稱軸函數(shù)變化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y軸x>0時，y隨x增大而增大；x<0時，y隨x增大而減小.當x=0時，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y軸x>0時，y隨x增大而減?。粁<0時，y隨x增大而增大.當x=0時，y最大=0特別說明：

頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.│a│相同，拋物線的開口大小、形狀相同.│a│越大，開口越小，圖像兩邊越靠近y軸，│a│越小，開口越大，圖像兩邊越靠近x軸.【知識拓展1】作出二次函數(shù)??y=a畫函數(shù)的圖像．【分析】利用列表、描點、連線的方法作出函數(shù)的圖像即可．解：列表：描點、連線如下圖所示：【點撥】本題考查了圖像的作法，比較簡單，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖像的作法是解題的關(guān)鍵．【即學即練1】畫出二次函數(shù)y＝x2的圖像．【分析】建立平面直角坐標系，然后利用五點法作出大致函數(shù)圖像即可．解：函數(shù)y＝x2的圖像如圖所示：【點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖像的作法，五點法作圖是常用的方法，要熟練掌握并靈活運用．【知識拓展2】二次函數(shù)如圖所示四個二次函數(shù)的圖像中，分別對應(yīng)的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．則a、b、c、d的大小關(guān)系為_____．【答案】a＞b＞d＞c【分析】設(shè)x=1，函數(shù)值分別等于二次項系數(shù)，根據(jù)圖像，比較各對應(yīng)點縱坐標的大?。猓阂驗橹本€x=1與四條拋物線的交點從上到下依次為（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），

所以，a＞b＞d＞c．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖像，采用了取特殊點的方法，比較字母系數(shù)的大小．【即學即練1】如圖，已知點A（4，8）和點B（2，n）在拋物線y=ax2上．求a的值及點B的坐標.【答案】a=12【解析】先把A點坐標代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值和二次函數(shù)解析式；再B點坐標代入二次函數(shù)解析式，即可求出n的值，從而確定點B的坐標.試題解析：把點A（4，8）代入y=ax2,得：16a=8∴a=12，∴y=12x再把點B（2，n）代入y=12x2∴B（2,2）.考點：二次函數(shù)的性質(zhì).【知識拓展3】二次函數(shù)函數(shù)y=ax2（a≠0）與直線y=2x3的圖像交于點（1，b）．求：（1）a和b的值；（2）求拋物線y=ax2的開口方向、對稱軸、頂點坐標；（3）作y=ax2的草圖．【答案】（1）a=1（2）y軸，（0，0）（3）圖像見解析試題分析：（1）把點（1，b）代入y=2x3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，從而可確定拋物線y=ax2的開口方向，對稱軸和頂點坐標；（3）根據(jù)（2）中求得的拋物線y=ax2的開口方向、對稱軸和頂點坐標可畫出其草圖.解：（1）把（1，b）代入直線y=2x3中，得b=23=1，把點（1，1）代入y=ax2中，得a=1；（2）∵在y=x2中，a=1<0，∴拋物線開口向下；拋物線y=ax2的對稱軸為y軸，頂點坐標為（0，0）；（3）作函數(shù)y=ax2的草圖如下：【即學即練】已知函數(shù)y=m+3（1）求m的值．（2）當m為何值時，該函數(shù)圖像的開口向下？（3）當m為何值時，該函數(shù)有最小值，最小值是多少？【答案】（1）m1＝?4，m2＝1；（2）當m＝?4時，該函數(shù)圖像的開口向下；（3）當m＝1時，函數(shù)為，該函數(shù)有最小值，最小值為0．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義求出m的值即可解決問題．（2）運用當二次項系數(shù)小于0時，拋物線開口向下；（3）運用當二次項系數(shù)大于0時，拋物線開口向上，圖像有最低點，函數(shù)有最小值；解：（1）∵函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴m2＋3m?2＝2，m＋3≠0，解得：m1＝?4，m2＝1；（2）∵函數(shù)圖像的開口向下，∴m＋3＜0，∴m＜?3，∴當m＝?4時，該函數(shù)圖像的開口向下；（3）∵m＝?4或1，∵當m＋3＞0時，拋物線有最低點，函數(shù)有最小值，∴m＞?3，∵m＝?4或1，∴當m＝1時，函數(shù)為，該函數(shù)有最小值，最小值為0．【點撥】該題主要考查了二次函數(shù)的定義及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；牢固掌握定義及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【知識拓展4】二次函數(shù)已知是關(guān)于x的二次函數(shù).(1)求滿足條件的k的值；(2)k為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點.當x為何值時，y的值隨x值的增大而增大？(3)k為何值時，函數(shù)有最大值？最大值是多少？當x為何值時，y的值隨x值的增大而減?。俊敬鸢浮?1)k=±2；

(2)見解析；

(3)見解析.【分析】（1）直接利用二次函數(shù)定義得出符合題意的k的值；（2）拋物線有最低點，所以開口向上，k+1大于0，再根據(jù)（1）中k的值即可確定滿足條件的值，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，即可得最低點的坐標和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）函數(shù)有最大值，可得拋物線的開口向下，k+1小于0，再根據(jù)（1）中k的值即可確定滿足條件的值，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得最大值和函數(shù)單調(diào)區(qū)間．解：(1)根據(jù)二次函數(shù)的定義得解得k=±2.

∴當k=±2時，原函數(shù)是二次函數(shù).

(2)根據(jù)拋物線有最低點，可得拋物線的開口向上，∴k+1＞0，即k＞1，根據(jù)第(1)問得：k=2.

∴該拋物線的解析式為，∴拋物線的頂點為(0，0)，當x＞0時，y隨x的增大而增大.

(3)根據(jù)二次函數(shù)有最大值，可得拋物線的開口向下，∴k+1＜0，即k＜1，根據(jù)第(1)問得：k=2.

∴該拋物線的解析式為，頂點坐標為(0，0)，∴當k=2時，函數(shù)有最大值為0.當x＞0時，y隨x的增大而減小.【點撥】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的定義，正確掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題型．【即學即練1】已知y=(k+2)x（1）求k的值；（2）求頂點坐標和對稱軸，并說明當x為何值時，y隨x的增大而減少．【答案】（1）k=﹣3；（2）當k=﹣3時，y=﹣x2頂點坐標（0，0），對稱軸為y軸，當x＞0時，y隨x的增大而減少．【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義得出k2+k﹣4=2，再利用函數(shù)圖像有最高點，得出k+2＜0，即可得出k的值；（2）利用（1）中k的值得出二次函數(shù)的解析式，利用形如y=ax2（a≠0）的二次函數(shù)頂點坐標為（0，0），對稱軸是y軸即可得出答案．試題解析：解：（1）∵是二次函數(shù)，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函數(shù)有最高點，∴拋物線的開口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；當k=﹣3時，二次函數(shù)為y=﹣x2，頂點坐標為（0，0），對稱軸為y軸，當x＞0時，y隨x的增大而減少．【即學即練2】已知函數(shù)y＝（k﹣2）是關(guān)于x的二次函數(shù)，求：（1）滿足條件的k的值；（2）當k為何值時，拋物線有最高點？求出這個最高點，這時，x為何值時，y隨x的增大而增大？（3）當k為何值時，函數(shù)有最小值？最小值是多少？這時，當x為何值時，y與x的增大而減小？【答案】（1）；（2）k＝1，最高點為（0，0），當x＜0時，y隨x的增大而增大；（3）k＝3，最小值為0，當x＜0時，y隨x的增大而減小．【分析】（1）由于函數(shù)是二次函數(shù)，所以x的次數(shù)為2，且系數(shù)不為0，即可求得滿足條件的k的值；（2）拋物線有最高點，所以開口向下，系數(shù)小于0，再根據(jù)（1）中k的值即可確定滿足條件的值，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）函數(shù)有最小值，則開口向上，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得最小值，即可知函數(shù)單調(diào)區(qū)間．解：（1）∵函數(shù)y＝（k﹣2）是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴k滿足，且k﹣2≠0，∴解得：；（2）∵拋物線有最高點，∴圖像開口向下，即k﹣2＜0，結(jié)合（1）所得，∴k＝1，∴最高點為（0，0），當x＜0時，y隨x的增大而增大．（3）∵函數(shù)有最小值，∴圖像開口向上，即k﹣2＞0，∴k＝3，∴最小值為0，當x＜0時，y隨x的增大而減小．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的定義、待定系數(shù)法求解析式、解一元二次方程以及二次函數(shù)圖像的性質(zhì)；解決本題的關(guān)鍵在于知道二次函數(shù)的表達形式，用待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)．【知識拓展5】二次函數(shù)如圖，梯形ABCD的頂點都在拋物線上，且軸.A點坐標為（a,4），C點坐標為（3,b）.（1）求a，b的值；（2）求B，D兩點的坐標；（3）求梯形的面積.【答案】（1）,；（2），；（3）25.【分析】（1）把點A，點C坐標分別代入解析式，即可求出a，b的值；（2）由B與A的縱坐標相等，D與C的縱坐標相等，由對稱關(guān)系，即可求出B，D的坐標；（3）分別求出AB，CD和梯形的高，即可得到答案.解：（1）當時，，∴.∵點A在第三象限，∴.當時，，∴.（2）∵軸，∴A點與B點，C點與D點的縱坐標相同.∵關(guān)于y軸對稱，∴，.（3）由題意，得梯形的高為5，∴.【點撥】本題考查了二次函數(shù)與四邊形的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì).【即學即練1】在平面直角坐標系中，若拋物線與直線交于點和點，其中，點為原點，求的面積.【答案】.【分析】首先求得兩個交點的坐標，然后求得直線與y軸的交點坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案．解：由題意得：解得：或∵點和點，其中∴，直線與y軸的交點坐標為：（0，1）∴【點撥】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解如何求得兩個圖像的交點坐標．【即學即練2】拋物線y＝ax2(a＞0)上有A、B兩點，A、B兩點的橫坐標分別為－1，2．求a為何值時，△AOB為直角三角形．【答案】【分析】先求出AB兩點坐標，再根據(jù)△AOB為直角三角形，根據(jù)勾股定理分情況列出含a的方程進行求解.解：∵x=1,∴y=a,∵x=2,∴y=4a，∴A（1，a）,B（2，4a）當AB為斜邊時，AB2=AO2+BO2，即32+(3a)2=(1+a2)+(4+16a2),解得a2=，∴a=，∵a0,∴a=.當BO為斜邊時，OB2=AB2+AO2，得a=1，∵a0,∴a=1，∵AO2=1+a29+9a2=AB2，AO2=1+a24+16a2=OB2∴AO不是斜邊，∴a=或1.【點撥】此題主要考查二次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出方程解出a的值.知識點02二次函數(shù)y=ax2+k(a≠0)的圖像及性質(zhì)1.二次函數(shù)y=ax2+k(a≠0)的圖像（1）（2）2.二次函數(shù)y=ax2+k(a≠0)的圖像的性質(zhì)關(guān)于二次函數(shù)y=ax2+k(a≠0)的性質(zhì)，主要從拋物線的開口方向、頂點、對稱軸、函數(shù)值的增減性以及函數(shù)的最大值或最小值等方面來研究．下面結(jié)合圖像，將其性質(zhì)列表歸納如下：函數(shù)圖像開口方向向上向下頂點坐標(0，k)(0，k)對稱軸y軸y軸函數(shù)變化當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小.當時，y隨x的增大而減?。划敃r，y隨x的增大而增大.最大（?。┲诞敃r，當時，3.二次函數(shù)與y=ax2+k(a≠0)之間的關(guān)系；（上加下減）.的圖像向上（k＞0）【或向下（k＜0）】平移│k│個單位得到y(tǒng)=ax2+k(a≠0)的圖像.特別說明：拋物線y=ax2+k(a≠0)的對稱軸是y軸，頂點坐標是(0，c)，與拋物線的形狀相同．函數(shù)y=ax2+k(a≠0)的圖像是由函數(shù)的圖像向上（或向下）平移個單位得到的，頂點坐標為(0，k)．拋物線y＝ax2(a≠0)的對稱軸、最值與頂點密不可分，其對稱軸即為過頂點且與x軸垂直的一條直線，其頂點橫坐標x＝0，拋物線平移不改變拋物線的形狀，即a的值不變，只是位置發(fā)生變化而已．【知識拓展1】二次函數(shù)??y=a如圖，已知拋物線．（1）該拋物線頂點坐標為________；（2）在坐標系中畫出此拋物線y的大致圖像（不要求列表）；（3）該拋物線可由拋物線向________平移________個單位得到；（4）當時，求x的取值范圍．【答案】解：（1）；（2）見解析；（3）上，4；（4）．．【分析】（1）求出對稱軸得到拋物線的頂點坐標；（2）先確定拋物線與y軸的交點為（0，4），與x軸交點為（2，0）和（2，0），然后利用描點法畫函數(shù)圖像；（3）根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“上加下減，左加右減”即可求解；（4）結(jié)合函數(shù)圖像，寫出函數(shù)圖像上x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．解：（1）拋物線的對稱軸為：x==0令x=0，y=4則頂點坐標為（0，4）；（2）由（1）得，拋物線與y軸的交點為（0，4），令y=0，x=±2，則拋物線與x軸交點為（2，0）和（2，0），畫圖得：（3）由上加下減的原則可得，y=x向上平移4個單位可得出y=x+4；（4）根據(jù)圖像得，當y>0時，x的取值范圍為：2<x<2．【點撥】本題考查拋物線與坐標軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)和拋物線的平移等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．【即學即練1】已知二次函數(shù)與．（1）隨著系數(shù)和的變化，分別說出這兩個二次函數(shù)圖像的變與不變；（2）若這兩個函數(shù)圖像的形狀相同，則______；若拋物線沿軸向下平移2個單位就能與的圖像完全重合，則______．（3）二次函數(shù)中、的幾組對應(yīng)值如下表：15表中、、的大小關(guān)系為______．（用“”連接）．【答案】（1）見解析；（2），；（3）【分析】（1）二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的變化會影響開口大小，開口方向，對稱軸和頂點坐標，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出圖像的具體影響．（2）由于函數(shù)圖像形狀相同，可以得到；根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律上加下減可求得函數(shù)，再由題意就可得到c=2．（3）將表中數(shù)值代入二次函數(shù)即可分別得到m、n、p含未知數(shù)c的代數(shù)式，比較大小即可．解：（1）二次函數(shù)的圖像隨著的變化，開口大小和開口方向都會變化，但是對稱軸、頂點坐標不會改變；二次函數(shù)的圖像隨著的變化，開口大小和開口方向都沒有改變，對稱軸也沒有改變，但是，頂點坐標會發(fā)生改變．（只要學生答對變與不變各一個點就給滿分）．（2）由于函數(shù)與函數(shù)的形狀相同，所以，即．拋物線沿y軸向下平移兩個單位，即得到拋物線．因為該拋物線與的圖像完全重合所以故答案為；（3）表中數(shù)值代入二次函數(shù)可得;,,因為<<所以．故答案為【點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像與幾何變換，二次函數(shù)上點的坐標特征．特別注意（2）時兩個函數(shù)圖像形狀相同．【即學即練2】在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=-x2和的圖像，并根據(jù)圖像回答下列問題：（1）拋物線經(jīng)過怎樣的平移才能得到拋物線？（2）函數(shù)，當x_______時，y隨x的增大而減??；當x________時，函數(shù)有最大值，最大值是_____________；其圖像與y軸的交點坐標是______，與x軸的交點坐標是________________.（3）試說出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.【答案】（1）拋物線向下平移1個單位長度才能得到拋物線;（2）>0；=0，1；（0，1），（1，0）和（1，0）;（3）拋物線的開口方向向上，對稱軸是y軸，頂點坐標是（0，3）.【分析】（1）根據(jù)作出的圖像，即可得到平移方向和單位；（2）由，結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，即可得到答案；（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，即可得到答案.解：函數(shù)和的圖像如圖所示.（1）拋物線向下平移1個單位長度才能得到拋物線.（2）函數(shù)，當時，y隨x的增大而減??；當時，函數(shù)有最大值，最大值是1；其圖像與y軸的交點坐標是（0，1），與x軸的交點坐標是（1，0）和（1，0）；故答案為：>0；=0；1；（0，1）；（1，0）和（1，0）.（3）拋物線的開口方向向上，對稱軸是y軸，頂點坐標是（0，3）.【點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，做出圖像后即可得到平移的單位和方向．解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì).【知識拓展2】已知二次函數(shù)y＝ax2與y＝﹣2x2+c．（1）隨著系數(shù)a和c的變化，分別說出這兩個二次函數(shù)圖像的變與不變；（2）若這兩個函數(shù)圖像的形狀相同，則a＝；若拋物線y＝ax2沿y軸向下平移2個單位就能與y＝﹣2x2+c的圖像完全重合，則c＝；（3）二次函數(shù)y＝﹣2x2+c中x、y的幾組對應(yīng)值如表：x﹣215ymnp表中m、n、p的大小關(guān)系為（用“＜”連接）．【答案】（1）二次函數(shù)y＝ax2的圖像隨著a的變化，開口大小和開口方向都會變化，但是對稱軸、頂點坐標不會改變；二次函數(shù)y＝﹣2x2+c的圖像隨著c的變化，開囗大小和開口方向都沒有改變，對稱軸也沒有改變，但是，頂點坐標會發(fā)生改變；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(2)由函數(shù)圖像的形狀相同得到a=±2，根據(jù)上加下減的平移規(guī)律即可求得函數(shù)y=ax22，根據(jù)完全重合，得到c=2．(3)由二次函數(shù)的解析式得到開口方向和對稱軸，然后根據(jù)點到對稱軸的距離即可判斷．解：（1）二次函數(shù)y＝ax2的圖像隨著a的變化，開口大小和開口方向都會變化，但是對稱軸、頂點坐標不會改變；二次函數(shù)y＝﹣2x2+c的圖像隨著c的變化，開囗大小和開口方向都沒有改變，對稱軸也沒有改變，但是，頂點坐標會發(fā)生改變；（2）∵函數(shù)y＝ax2與函數(shù)y＝﹣2x2+c的形狀相同，∴a＝±2，∵拋物線y＝ax2沿y軸向下平移2個單位得到y(tǒng)＝ax2﹣2，與y＝﹣2x2+c的圖像完全重合，∴c＝﹣2，故答案為：±2，﹣2．（3）由函數(shù)y＝﹣2x2+c可知，拋物線開口向下，對稱軸為y軸，∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，∴p＜m＜n，故答案為：p＜m＜n．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像與幾何變換，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【即學即練2】在同一直角坐標系中畫出二次函數(shù)與二次函數(shù)的圖形．（1）從拋物線的開口方向、形狀、對稱軸、頂點等方面說出兩個函數(shù)圖像的相同點與不同點；（2）說出兩個函數(shù)圖像的性質(zhì)的相同點與不同點．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖像解答即可；（2）從開口大小和增減性兩個方面作答即可.解：（1）解：如圖：，與圖像的相同點是：形狀都是拋物線，對稱軸都是y軸，與圖像的不同點是：開口向上，頂點坐標是（0，1），開口向下，頂點坐標是（0，﹣1）；（2）解：兩個函數(shù)圖像的性質(zhì)的相同點：開口程度相同，即開口大小一樣；不同點：，當x＜0時，y隨x的增大而減小，當x＞0時，y隨x的增大而增大；，當x＜0時，y隨x的增大而增大，當x＞0時，y隨x的增大而減?。军c撥】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握拋物線的圖像與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.【即學即練2】二次函數(shù)圖像上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應(yīng)值如下表：x…432101……50343m…（1）m=；（2）在圖中畫出這個二次函數(shù)的圖像；（3）當時，x的取值范圍是；（4）當時，y的取值范圍是.【答案】（1）0；（2）見解析；（3）x≤4或x≥2；（4）4≤y＜5．【分析】（1）先確定出對稱軸，根據(jù)拋物線的對稱性即可求得；

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像的畫法作出圖像即可；

（3）根據(jù)拋物線的對稱性，（4，5）關(guān)于直線x=1的對稱點是（2，5），根據(jù)圖像即可求得結(jié)論，

（4）根據(jù)函數(shù)圖像，寫y的取值范圍即可．解：（1）由圖表可知拋物線的頂點坐標為（1，4），

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

∵（3，0）關(guān)于直線x=1的對稱點是（1，0），

∴m=0，

故答案為：0；

（2）函數(shù)圖像如圖所示；

（3）∵（4，5）關(guān)于直線x=1的對稱點是（2，5），

由圖像可知當y≥5時，x的取值范圍是x≤4或x≥2，

故答案為x≤4或x≥2；

（4）由圖像可知當4＜x＜1時，y的取值范圍是4≤y＜5，

故答案為4≤y＜5．【點撥】此題考查二次函數(shù)的圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合．【知識拓展3】求二次函數(shù)如圖，在平面直角坐標系中，y軸上一點A（0,2），在x軸上有一動點B，連結(jié)AB，過B點作直線l⊥x軸，交AB的垂直平分線于點P(x,y)，在B點運動過程中，P點的運動軌跡是________,y關(guān)于x的函數(shù)解析式是________.【答案】拋物線y=x2+1【分析】當點B在x軸的正半軸上時，如圖1，連接PA，作AC⊥PB于點C，

則四邊形AOBC是矩形，由

P在AB的垂直平分線上可得PA=PB，進而可用y的代數(shù)式表示出PC、AP，在Rt△APC中根據(jù)勾股定理即可得出y與x的關(guān)系式；當點B在x軸的負半軸上時，用同樣的方法求解即可.解：當點B在x軸的正半軸上時，如圖1，連接PA，作AC⊥PB于點C，

則四邊形AOBC是矩形，

∴AC=OB=x，BC=OA=2，

∵P在AB的垂直平分線上，∴PA=PB=y，在Rt△APC中，AC2+PC2=AP2，∴x2+(y?2)2=y2，整理得y=x2+1；當點B在x軸的負半軸上時，如圖2，同理可得y，x滿足的關(guān)系式是：y=x2+1，

∴y，x滿足的關(guān)系式是：y=x2+1.

故答案為：拋物線、y=x2+1.【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理和求解圖形中的二次函數(shù)關(guān)系式，難度不大，構(gòu)建直角三角形、熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理是解題關(guān)鍵.【即學即練1】在線段上取點，分別以、為邊在的同一側(cè)構(gòu)造正方形和正方形，點、分別是、的中點，連接，若，則線段的最小值為______．【答案】4【分析】過點Q作QH⊥BG，垂足為H，求出PH，設(shè)CG=2x，利用勾股定理表示出PQ，根據(jù)x的值即可求出PQ的最小值．解：如圖，過點Q作QH⊥BG，垂足為H，∵P，Q分別為BC，EF的中點，BG=8，∴H為CG中點，∴PH=4，設(shè)CG=2x，則CH=HG=EQ=x，QH=2x，∴PQ===，則當x=0時，PQ最小，且為4，故答案為：4．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，勾股定理，線段最值問題，解題的關(guān)鍵是表示出PQ的長．【即學即練2】請你寫出一個二次函數(shù)，其圖像滿足條件：①開口向下；②與軸的交點坐標為.此二次函數(shù)的解析式可以是______________【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像和性質(zhì)得a0,c=3,即可設(shè)出解析式.解：根據(jù)題意可知a0,c=3,故二次函數(shù)解析式可以是【點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),屬于簡單題,熟悉概念是解題關(guān)鍵.【即學即練3】寫出一個對稱軸是y軸的二次函數(shù)的解析式_____．【答案】y=x2+2，答案不唯一．【分析】對稱軸是y軸，即直線x=?=0，所以b=0，只要拋物線的解析式中缺少一次項即可．解：∵拋物線對稱軸為y軸，即直線x=0，只要解析式一般式缺少一次項即可，如y=x2+2，答案不唯一.故答案為y=x2+2.【點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的性質(zhì).知識點03函數(shù)與函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.函數(shù)的圖像與性質(zhì)的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．2.函數(shù)的圖像與性質(zhì)的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．特別說明：二次函數(shù)的圖像常與直線、三角形、面積問題結(jié)合在一起，借助它的圖像與性質(zhì)．運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想解決問題．2.性質(zhì)：二次函數(shù)的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．特別說明：⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）⑵沿x軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）【知識拓展1】二次函數(shù)已知二次函數(shù)經(jīng)過點，且當時，函數(shù)有最大值4．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出一個與該函數(shù)圖像開口方向相反，形狀相同，且經(jīng)過點的二次函數(shù)解析式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)頂點式為y＝a（x?1）2＋4，然后把（0，3）代入求出a即可；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線解析式為可設(shè)為y＝（x?1）2＋h，然后把（0，3）代入求出h解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x?1）2＋4，把（0，3）代入得a（0?1）2＋4＝3，解得a＝?1，所以拋物線解析式為y＝?（x?1）2＋4；（2）設(shè)拋物線解析式為y＝（x?1）2＋h，把（0，3）代入得1＋h＝3，解得h＝2，所以滿足條件的一個拋物線解析式為y＝（x?1）2＋2．【點撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖像上的坐標特征．【即學即練1】已知函數(shù)是二次函數(shù)．（1）求m的值；（2）求這個二次函數(shù)的解析式，并指出開口方向、對稱軸和頂點坐標．【答案】（1）3；（2），開口方向向下，對稱軸是直線，頂點坐標是（2，5）【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的概念，二次項次數(shù)為2，可以求出m的值，再結(jié)合二次項系數(shù)不等于0，即可最終確定m的值；（2）將m代入解析式中，即可得到二次函數(shù)的頂點式，根據(jù)a的正負，對稱軸為直線x=h以及頂點坐標為（h，k），即可解決本題．解：（1）∵∴∵∴m≠3∴（2）將m=3代入解析式中，得二次函數(shù)的解析式為∵a=6＜0∴開口方向向下∴對稱軸是直線，頂點坐標是（2，5）．【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的概念以及二次函數(shù)的頂點式，熟練其概念以及頂點式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【即學即練2】已知二次函數(shù)y＝－x2＋4x.(1)用配方法把該二次函數(shù)化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并指出函數(shù)圖像的對稱軸和頂點坐標；(2)求這個函數(shù)圖像與x軸的交點的坐標．【答案】(1)對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為(2，4);(2)(0，0)，(4，0)【解析】試題分析：(1)先將二次函數(shù)的表達式化為頂點式，然后寫出對稱軸與頂點坐標即可.(2)令，然后解一元二次方程即可.試題解析：(1)y＝－(x－2)2＋4，其對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為(2，4)．(2)令y＝0，則－x2＋4x＝0，∴x1＝0，x2＝4，∴這個函數(shù)圖像與x軸的交點的坐標為(0，0)，(4，0)．【即學即練3】已知拋物線，當時，有最大值，且拋物線過點．（1）求拋物線的解析式；（2）當y隨x的增大而增大時，求x的取值范圍；（3）求拋物線與y軸的交點坐標．【答案】（1）；（2）x的取值范圍為；（3）拋物線與y軸的交點坐標為．【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為，把點代入即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的對稱軸即可求解；（3）令x=0，即可求解．解：（1）∵拋物線，當時，有最大值，∴拋物線的解析式為．∵拋物線過點，∴，∴．∴此拋物線的解析式．（2）∵拋物線的對稱軸為直線，且拋物線開口向下，∴當時，y隨x的增大而增大．∴x的取值范圍為．（3）當時，，∴拋物線與y軸的交點坐標為．【點撥】此題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知對稱軸的應(yīng)用．【知識拓展2】求二次函數(shù)??y=a已知二次函數(shù)，求頂點坐標，小明的計算結(jié)果與其他同學的不同，小明的計算過程：……①；……②；……③；頂點坐標是……④；（1）請你幫他檢查一個，在標出的①②③④幾個步驟中開始出現(xiàn)錯誤的是________________步．（2）請寫出此題正確的求頂點的計算過程．【答案】（1）①；（2）見詳解【分析】（1）根據(jù)配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點式的步驟，即可得到答案；（2）利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，即可得到答案．解：（1）y＝0.5x2?x?0.5＝0.5（x2?2x）?0.5①＝0.5（x2?2x＋1?1）?0.5②＝0.5（x?1）2?1③∴頂點坐標是（1，?1）④；故答案為：①；（2）y＝0.5x2?x?0.5＝0.5（x2?2x）?0.5＝0.5（x2?2x＋1?1）?0.5＝0.5（x?1）2?1∴頂點坐標是（1，?1）．【點撥】此題考查二次函數(shù)的頂點式，二次函數(shù)解析式的三種形式有：頂點式；兩根式以及一般式，掌握配方法，是解題的關(guān)鍵．【即學即練1】確定下列函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸及頂點坐標.(1)；(2).【答案】(1)拋物線開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為；(2)拋物線開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為.【分析】（1）已知拋物線解析式為頂點式，可根據(jù)頂點式求拋物線的開口方向，對稱軸及頂點坐標；（2）已知拋物線解析式為頂點式，可根據(jù)頂點式求拋物線的開口方向，對稱軸及頂點坐標．解：(1)由可知，二次項系數(shù)為，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為；(2)由可知，二次項系數(shù)為，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為.【點撥】本題考查了二次函數(shù)解析式的頂點式與其性質(zhì)的聯(lián)系，根據(jù)二次項系數(shù)的符號確定開口方向，根據(jù)頂點式確定頂點坐標及對稱軸．【知識拓展3】二次函數(shù)??y=a把二次函數(shù)y=2x2的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為____________．【答案】或（答出這兩種形式中任意一種均得分）【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答．解：由“左加右減”的原則可知，將二次函數(shù)y=2x2的圖像向左平移1個單位長度所得拋物線的解析式為：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=2（x+1）2向下平移2個單位長度所得拋物線的解析式為：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案為y=2（x+1）2﹣2．考點：二次函數(shù)圖像與幾何變換．【即學即練1】拋物線y＝3(x－2)2的開口方向是______，頂點坐標為______，對稱軸是______．當x______時，y隨x的增大而增大；當x＝______時，y有最______值是______，它可以由拋物線y＝3x2向______平移______個單位得到．【答案】向上(2，0)直線x＝2≥22小0右2．解：拋物線y＝3（x－2）2的開口方向是向上，頂點坐標為（2，0），對稱軸是直線x＝2．當x≥2時，y隨x的增大而增大；當x＝2時，y有最小值是0，它可以由拋物線y＝3x2向右平移2個單位得到．故答案為：向上；（2，0）；直線x＝2；≥2；2；小；0；右；2．【即學即練2】將二次函數(shù)y=2x2﹣1的圖像沿y軸向上平移2個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)表達式為________．【答案】y=2x2+1【分析】利用二次函數(shù)與幾何變換規(guī)律“上加下減”，進而求出圖像對應(yīng)的函數(shù)表達式．解：由二次函數(shù)的圖像沿y軸向上平移2個單位，因此所得圖像對應(yīng)的函數(shù)表達式為：．【點撥】本題考查二次函數(shù)的平移，掌握平移規(guī)律是本題的解題關(guān)鍵.【知識拓展4】求二次函數(shù)??y=a一條拋物線經(jīng)過點A(2，0)且拋物線的頂點是(1，－3)，求滿足此條件的函數(shù)解析式．【答案】【分析】設(shè)拋物線為：根據(jù)拋物線的頂點坐標求解，再把代入解析式可得答案．解：設(shè)拋物線為：拋物線的頂點是(1，－3)，拋物線為：把代入拋物線得：，拋物線為：【點撥】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，根據(jù)題意設(shè)出合適的拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．【即學即練1】將拋物線y=﹣2（x+1）2+1繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線的解析式為______；將拋物線y=﹣2（x+1）2+1繞原點旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線的解析式為______．【答案】y=2（x+1）2+1y=2（x﹣1）2﹣1解：（1）∵將拋物線繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°后新的拋物線的頂點和對稱軸都和原拋物線相同，只有開口方向變了，∴將拋物線y=﹣2（x+1）2+1繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線的解析式為：；（2）∵拋物線繞原點旋轉(zhuǎn)180°后，新拋物線的頂點的坐標和原拋物線的頂點坐標關(guān)于原點對稱，新拋物線對稱軸和原拋物線的對稱軸關(guān)于y軸對稱，開口方向和原來開口方向相反，∴將拋物線y=﹣2（x+1）2+1繞原點旋轉(zhuǎn)180°后得到的新拋物線的解析式為：.【點撥】（1）拋物線關(guān)于其頂點對稱的拋物線的解析式為；（2）拋物線關(guān)于原點對稱的拋物線的解析式：.【即學即練2】已知二次函數(shù)的頂點為且過點，求該函數(shù)解析式．【答案】【分析】由題意設(shè)拋物線的頂點式：，再把代入拋物線的解析式，解方程即可得到答案．解：由頂點（2，2），可設(shè)拋物線為：，將點（1，3）代入上式可得：綜上所述：．【點撥】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，掌握根據(jù)題意設(shè)出合適的二次函數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵．【即學即練3】求符合下列條件的拋物線的函數(shù)關(guān)系式，（1）通過點（3，8）；（2）與的開口大小相同，方向相反?！敬鸢浮?；試題分析：(1)、將點(3，8)代入函數(shù)解析式求出a的值得出函數(shù)解析式；(2)、根據(jù)題意得出，從而得出函數(shù)解析式．解：(1)、將(3，8)代入函數(shù)解析式可得：，解得：a=2，∴二次函數(shù)的解析式為：；(2)、∵函數(shù)與的開口大小相同，方向相反，∴，∴二次函數(shù)的解析式為：．【即學即練4】已知，如圖，直線l經(jīng)過A（4，0）和B（0，4）兩點，拋物線y=a（x﹣h）2的頂點為P（1，0），直線l與拋物線的交點為M．（1）求直線l的函數(shù)解析式；（2）若S△AMP=3，求拋物線的解析式．【答案】（1）y=﹣x+4；（2）y=2（x﹣1）2．【分析】(1)根據(jù)交點坐標先求直線l的函數(shù)解析式（2）拋物線的頂點坐標已知，設(shè)交點M的坐標，再根據(jù)S△AMP=3求出M的坐標，最后求出解析式.解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，把A（4，0），B（0，4）分別代入解析式得解得解析式為y=﹣x+4．（2）設(shè)M點的坐標為（m，n），∵S△AMP=3，∴（4﹣1）n=3，解得，n=2，把M（m，2）代入為2=﹣m+4得，m=2，M（2，2），∵拋物線y=a（x﹣h）2的頂點為P（1，0），可得y=a（x﹣1）2，把M（2，2）代入y=a（x﹣1）2得，2=a（2﹣1）2，解得a=2，函數(shù)解析式為y=2（x﹣1）2．【點撥】此題重點考察學生對函數(shù)解析式的理解，熟練解析式的求法是解題的關(guān)鍵.【知識拓展5】二次函數(shù)A、B兩地果園分別有橘子40噸和60噸，C、D兩地分別需要橘子30噸和70噸；已知從A、B到C、D的運價如表：到C地到D地A果園每噸15元每噸12元B果園每噸10元每噸9元（1）若從A果園運到C地的橘子為x噸，則從A果園運到D地的橘子為____噸，從A果園將橘子運往D地的運輸費用為____元；（2）設(shè)總運費為y元，請你求出y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）求總運輸費用的最大值和最小值；（4）若這批橘子在C地和D地進行再加工，經(jīng)測算，全部橘子加工完畢后總成本為w元，且w=(x25)2+4360，則當x＝___時，w有最__值（填“大”或“小”）．這個值是___．【答案】（1）（40x），12（40x）；（2）y=2x+1050；（3）最大值為1110元，最小值為1050元；（4）25，大，4360【分析】（1）因為從A果園運到C地的橘子是x噸，剩下的都運往D地，所以運往D地的是（40x）噸．運輸費用=噸數(shù)×每噸的運費．（2）總運費=從A運往C、D的費用+從B運往C、D的費用．（3）總運費與x是一次函數(shù)關(guān)系，由于0≤x≤30，可計算出總運費的最大值和最小值．（4）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最值．解：（1）因為從A果園運到C地的橘子是x噸，那么從A果園運到D地的橘子為（40x）噸，從A運到D地的運費是12元每噸，所以A果園將橘子運往D地的運輸費用為12（40x）噸．故答案為：（40x），12（40x）；（2）從A果園運到C地x噸，運費為每噸15元；從A果園運到D地的橘子為（40x）噸，運費為每噸12元；從B果園運到C地（30x）噸，運費為每噸10元；從B果園運到D地（30+x）噸，運費為每噸9元；所以總運費為：y=15x+12（40x）+10（30x）+9（30+x）=2x+1050；（3）因為總運費y=2x+1050，∵，∴函數(shù)值隨x的增大而增大，由于0≤x≤30，∴當x=30時，有最大值2×30+1050=1110元，當x=0時，有最小值2×0+1050=1050元；（4）w=(x25)2+4360，∵二次項系數(shù)1＜0，∴拋物線開口向下，當x=25時，w有最大值．最大值時4360．故答案為：25，大，4360．【點撥】本題考查了列代數(shù)式及函數(shù)的性質(zhì)．利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出總運費的最大值和最小值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出總成本的最值．【即學即練1】某商店以30元/千克的單價新進一批商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內(nèi)，銷售量（千克）與銷售單價（元/千克）之間為一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．（1）求與的函數(shù)解析式；（2）要使銷售利潤達到最大，銷售單價應(yīng)定為每千克多少元？【答案】（1）；（2）65元【分析】（1）設(shè)與的函數(shù)解析式為，把，代入，得解得即可；（2）設(shè)銷售利潤為元，先求出每件銷售利潤，再乘以銷售量，根據(jù)題意，，由，時，有最大值，最大值為1225．解：（1）設(shè)與的函數(shù)解析式為，把，代入，得，解得，∴與的函數(shù)解析式為；（2）設(shè)銷售利潤為元，根據(jù)題意，得，，，，∵，∴當時，有最大值，最大值為1225．∴要使銷售利潤達到最大，銷售單價應(yīng)定為每千克65元．【點撥】本題考查一次函數(shù)的解析式，列二次函數(shù)，利用配方法轉(zhuǎn)化為頂點式，掌握一次函數(shù)的解析式的求法，列二次函數(shù)方法，會利用配方法將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點式，根據(jù)開口向下有最大值是解題關(guān)鍵知識點04二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系頂點式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(h，k)，所以我們稱為頂點式，將頂點式去括號，合并同類項就可化成一般式．一般式化成頂點式．對照，可知，．∴拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．特別說明：1．拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是，可以當作公式加以記憶和運用．2．求拋物線的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用．二次函數(shù)的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點、連線；2.簡易畫法：五點定形法.其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標和對稱軸，在直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線與坐標軸的交點，當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A、B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C關(guān)于對稱軸的對稱點D，將A、B、C、D及M這五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來．特別說明：當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D，由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點，畫出二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，2.二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b24ac的符號之間的關(guān)系項目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負半軸相交b24acb24ac=0與x軸有唯一交點b24ac＞0與x軸有兩個交點b24ac＜0與x軸沒有交點求二次函數(shù)的最大（小）值的方法如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大（或最?。┲?，即當時，．特別說明：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當時，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當x＝x2時，；當x＝x1時，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當x＝x1時，；當x＝x2時，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時y值的情況．【知識拓展1】二次函數(shù)已知拋物線經(jīng)過點A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線的頂點坐標．【答案】（1）（2）（1，4）解：（1）∵拋物線經(jīng)過點A（3，0），B（－1，0），∴拋物線的解析式為；，即，（2）∵拋物線的解析式為，∴拋物線的頂點坐標為：（1，4）．（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點A（3，0），B（﹣1，0），直接由交點式得出拋物線的解析式．（2）將拋物線的解析式化為頂點式，即可得出答案．【即學即練1】用配方法把二次函數(shù)y=x2–4x+5化為y=a(x+m)2+k的形式，再指出該函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．【答案】拋物線的開口向上，對稱軸是直線x＝4，頂點坐標是(4，－3)．【分析】用配方法把一般式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．解：∵y＝x2－4x＋5＝(x－4)2－3，∴拋物線的開口向上，對稱軸是直線x＝4，頂點坐標是(4，－3)．【點撥】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式，正確利用配方法把一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵．【即學即練2】已知二次函數(shù)．用配方法將其化為的形式；在所給的平面直角坐標系xOy中，畫出它的圖象．【答案】（1）；（2）見解析.【分析】（1）利用配方法把二次函數(shù)解析式化成頂點式即可；（2）利用描點法畫出二次函數(shù)圖象即可．解：==，頂點坐標為，對稱軸方程為．函數(shù)二次函數(shù)的開口向上，頂點坐標為，與x軸的交點為，，其圖象為：故答案為（1）；（2）見解析.【點撥】本題考查二次函數(shù)的配方法，用描點法畫二次函數(shù)的圖象，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【即學即練3】已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此拋物線的解析式；（2）求此拋物線的對稱軸和頂點坐標；（3）設(shè)拋物線的頂點為C，試求△CAO的面積．【答案】（1）y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）對稱軸為直線x＝﹣1，頂點坐標為（﹣1，6）；（3）△CAO的面積為2．【分析】（1）利用待定系數(shù)法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，從而求得函數(shù)關(guān)系式即可；（2）利用配方法求出圖象的對稱軸和頂點坐標；（3）由（2）可得頂點C的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△CAO的面積．解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c，得：c=4-2×12所以此拋物線的解析式為y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4＝﹣2（x2+2x）+4＝﹣2[（x+1）2﹣1]+4＝﹣2（x+1）2+6，∴此拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，頂點坐標為（﹣1，6）；（3）由（2）知：頂點C（﹣1，6），∵點A（0，4），∴OA＝4，∴S△CAO＝12OA?|xc|＝1即△CAO的面積為2．故答案為：（1）y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）對稱軸為直線x＝﹣1，頂點坐標為（﹣1，6）；（3）△CAO的面積為2．【點撥】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)解析式的三種形式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積，難度適中．正確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【知識拓展2】畫二次函數(shù)??y=a已知：二次函數(shù)（1）求出該函數(shù)圖象的頂點坐標；（2）在所提供的網(wǎng)格中畫出該函數(shù)的草圖．【答案】（1）(－2，－1)；（2）見解析【分析】（1）將二次函數(shù)化為頂點式即可得出頂點坐標；（2）利用五點法畫二次函數(shù)的圖象即可．解：（1）化為頂點式為則該函數(shù)圖象的頂點坐標為；（2）先求出自變量x在處的函數(shù)值，再列出表格當和時，當和時，當時，列出表格如下：由此畫出該函數(shù)的草圖如下：【點撥】本題考查了二次函數(shù)的頂點式、畫二次函數(shù)的圖象，掌握函數(shù)圖象的畫法是解題關(guān)鍵．【即學即練1】已知二次函數(shù)y=﹣x2+4x．（1）寫出二次函數(shù)y=﹣x2+4x圖象的對稱軸；（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出這個函數(shù)的圖象（列表、描點、連線）；（3）根據(jù)圖象，寫出當y＜0時，x的取值范圍．【答案】（1）對稱軸是過點（2，4）且平行于y軸的直線x=2；（2）見解析；（3）x＜0或x＞4．試題分析：（1）把一般式化成頂點式即可求得；（2）首先列表求出圖象上點的坐標，進而描點連線畫出圖象即可．（3）根據(jù)圖象從而得出y＜0時，x的取值范圍．解：（1）∵y=x2+4x=（x2）2+4，∴對稱軸是過點（2，4）且平行于y軸的直線x=2；（2）列表得：x…1012345…y…5034305…描點，連線．（3）由圖象可知，當y＜0時，x的取值范圍是x＜0或x＞4．【即學即練2】已知二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣．（1）在平面直角坐標系內(nèi)，畫出該二次函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象寫出：①當x時，y＞0；②當0＜x＜4時，y的取值范圍為．【答案】（1）見解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜．【分析】（1）先把解析式配成頂點式得到拋物線的頂點坐標為（1，2）；再分別求出拋物線與坐標軸的交點坐標，然后利用描點法畫二次函數(shù)圖象；（2）①利用函數(shù)圖象寫出拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可；②先確定x＝4時，y＝，然后利用函數(shù)圖象寫出當0＜x＜4時對應(yīng)的函數(shù)值的范圍．解：（1）∵y＝（x﹣1）2﹣2，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，2）；當x＝0時，y＝x2﹣x﹣＝﹣，則拋物線與y軸交點坐標為（0，﹣）當y＝0時，x2﹣x﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，拋物線與x軸的交點坐標為（﹣1，0）、（3，0），如圖，（2）①當x＜﹣1或x＞3時，y＞0；②當0＜x＜4時，﹣2≤y＜；故答案為x＜﹣1或x＞3；﹣2≤y＜．【點撥】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．【即學即練3】已知拋物線．（1）求這條拋物線的對稱軸；（2）若該拋物線的頂點在x軸上，求其解析式；（3）設(shè)點，在拋物線上，若，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）或；（3）當a＞0時，；當a＜0時，或．【分析】（1）將二次函數(shù)化為頂點式，即可得到對稱軸；（2）根據(jù)（1）中的頂點式，得到頂點坐標，令頂點縱坐標等于0，解一元二次方程，即可得到的值，進而得到其解析式；（3）根據(jù)拋物線的對稱性求得點Q關(guān)于對稱軸的對稱點，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到的取值范圍．解：（1）∵，∴，∴其對稱軸為：．（2）由（1）知拋物線的頂點坐標為：，∵拋物線頂點在軸上，∴，解得：或，當時，其解析式為：，當時，其解析式為：，綜上，二次函數(shù)解析式為：或．（3）由（1）知，拋物線的對稱軸為，∴關(guān)于的對稱點為，當a＞0時，若，則1＜m＜3；當a＜0時，若，則m＜1或m＞3.【點撥】本題考查了二次函數(shù)對稱軸，解析式的計算，以及根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求不等式的取值范圍，熟知相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵．【知識拓展3】二次函數(shù)??y=a把拋物線先向右平移4個單位長度，再向下平移5個單位長度得到拋物線．（1）直接寫出拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）動點能否在拋物線上？請說明理由；（3）若點都在拋物線上，且，比較的大小，并說明理由．【答案】（1）；（2）不在，見解析；（3），見解析【分析】（1）先求出拋物線的頂點坐標，再根據(jù)向右平移橫坐標加，向下平移縱坐標減求出平移后的拋物線的頂點坐標即可；（2）根據(jù)拋物線的頂點的縱坐標為，即可判斷點不在拋物線上；（3）根據(jù)拋物線的增減性質(zhì)即可解答．解：（1）拋物線，∴拋物線的頂點坐標為(1，2)，根據(jù)題意，拋物線的頂點坐標為(1+4，25)，即(3，3)，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）動點P不在拋物線上．理由如下：∵拋物線的頂點為，開口向上，∴拋物線的最低點的縱坐標為．∵，∴動點P不在拋物線上；（3）．理由如下：由（1）知拋物線的對稱軸是，且開口向上，∴在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小．∵點都在拋物線上，且，∴．【點撥】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”以及熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學即練1】在平面直角坐標系中，關(guān)于的二次函數(shù)的圖象過點，．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）求當時，的最大值與最小值的差；（3）一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標分別是和，且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法將點，代入解析式中解方程組即可；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)關(guān)系式得到對稱軸，從而知在中，當x=2時，y有最大值，當時，y有最小值，求之相減即可；（3）根據(jù)兩函數(shù)相交可得出x與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)有兩個交點可得出>0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出a，b的值，然后根據(jù)，整理得出m的取值范圍．解：（1）∵的圖象過點，，∴解得∴（2）由（1）得，二次函數(shù)對稱軸為∴當時，y的最大值為(2)2(2)2=4,y的最小值為∴的最大值與最小值的差為；（3）由題意及（1）得整理得即∵一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標分別是和，∴化簡得即解得m≠5∴a，b為方程的兩個解又∵∴a=1，b=4m即4m>3∴m<1綜上所述，m的取值范圍為．【點撥】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系等知識．解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．【即學即練2】如圖，已知拋物線y=x22x3與x軸交于A、B兩點．（1）當0＜x＜3時，求y的取值范圍；（2）點P為拋物線上一點，若S△PAB=10，求出此時點P的坐標．【答案】(1)﹣4≤y＜0;(2)P點坐標為（﹣2，5）或（4，5）分析：(1)、首先將拋物線配成頂點式，然后根據(jù)x的取值范圍，從而得出y的取值范圍；(2)、根據(jù)題意得出AB的長度，然后根據(jù)面積求出點P的縱坐標，根據(jù)拋物線的解析式求出點P的坐標．解：（1）∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴頂點坐標為（1，﹣4），由圖可得當0＜x＜3時，﹣4≤y＜0．（2）當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=1x2=3∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4．設(shè)P（x，y），則S△PAB=AB?|y|=2|y|=10，∴|y|=5，∴y=±5．①當y=5時，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4，此時P點坐標為（﹣2，5）或（4，5）；②當y=﹣5時，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程無解；綜上所述，P點坐標為（﹣2，5）或（4，5）．點撥：本題主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型．求函數(shù)值取值范圍時，一定要注意自變量的取值范圍是否是在對稱軸的一邊．【即學即練3】已知拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，直線x=1是其對稱軸，（1）確定a，b，c，Δ=b24ac的符號，（2）求證：ab+c>0，（3）當x取何值時，y>0；當x取何值時y<0.【答案】（1）a<0，b<0，c>0，b24ac>0；（2）ab+c>0；（3）當3<x<1時y>0，∴當x<3或x>1時，y<0.【解析】思路點撥：（1）根據(jù)開口方向確定a的符號，根據(jù)對稱軸的位置確定b的符號，根據(jù)拋物線與y軸的交點確定c的符號，根據(jù)拋物線與x軸交點的個數(shù)確定b24ac的符號；（2）根據(jù)圖象和x=1的函數(shù)值確定ab+c與0的關(guān)系；（3）拋物線在x軸上方時y＞0；拋物線在x軸下方時y＜0．解：由拋物線的開口向下，得a<0，由拋物線與y軸的交點在x軸上方，得c>0，又由<0，∴>0，∴a、b同號，由a<0得b<0.由拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴Δ=b24ac>0（2）由拋物線的頂點在x軸上方，對稱軸為x=1.∴當x=1時，y=ab+c>0（3）由圖象可知：當3<x<1時y>0，∴當x<3或x>1時，y<0考點：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系【知識拓展4】二次函數(shù)的圖象和各項系數(shù)的符號如圖，拋物線y＝﹣x2+(m﹣1)x+m與y軸交于點(0，3)．（1）m的值為________；（2）當x滿足________時，y的值隨x值的增大而減??；（3）當x滿足________時，拋物線在x軸上方；（4）當x滿足0≤x≤4時，y的取值范圍是________．【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）1＜x＜3；（4）5≤y≤4【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．解：（1）將（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，故答案為3；（2）m＝3時，拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+3，函數(shù)的對稱軸為直線x＝＝1，∵﹣1＜0，故拋物線開口向下，當x＞1時，y的值隨x值的增大而減小，故答案為x＞1；（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，從圖象看，當﹣1＜x＜3時，拋物線在x軸上方；故答案為﹣1＜x＜3；（4）當x＝0時，y＝3；當x＝4時，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，而拋物線的頂點坐標為（1，4），故當x滿足0≤x≤4時，y的取值范圍是﹣5≤y≤4，故答案為﹣5≤y≤4．【點撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【即學即練1】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a+b﹣c＜0；④4a+2b+c＞0，⑤若點（﹣，y1）和（，y2）在該圖象上，則y1＞y2．其中正確的結(jié)論是_____（填入正確結(jié)論的序號）【答案】②③④解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵對稱軸在y軸右邊，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①錯誤；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象可知，當x=﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②正確；∵二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1，c＞0，∴﹣=1，∴2a+b=0，∴2a+b＜c，∴2a+b﹣c＜0，故③正確；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象可知，當x=2時，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故④正確；∵二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1，∴拋物線上x=﹣時的點與當x=時的點對稱，∵x＞1，y隨x的增大而減小，∴y1＜y2，故⑤錯誤；故答案為：②③④．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．【知識拓展5】一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的綜合判斷如圖，已知直線=2x+m與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．（1）求m的值；（2）求拋物線的解析式；（3）若點P是x軸上一點，當△ABP為直角三角形時直接寫出點P的坐標．【答案】（1）m＝6；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）點P的坐標為（7，0）或（1，0）．【分析】（1）將點A坐標代入y=2x+m，即可求解；（2）y=2x+6，令y=0，則x=3，故點B（3，0），則二次函數(shù)表達式為：y=a（x1）2+4，將點B的坐標代入上式，即可求解；（3）分∠BAP=90°、∠AP（P′）B=90°兩種情況，求解即可．解：（1）將點A坐標代入y＝﹣2x+m得：4＝﹣2+m，解得：m＝6；（2）y＝﹣2x+6，令y＝0，則x＝3，故點B（3，0），則二次函數(shù)表達式為：y＝a（x﹣1）2+4，將點B的坐標代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（3）①當∠BAP＝90°時，直線AB的表達式為：y＝﹣2x+6，則直線PB的表達式中的k值為，設(shè)直線PB的表達式為：y＝x+b，將點A的坐標代入上式得：4＝×1+b，解得：b＝，即直線PB的表達式為：y＝x+，當y＝0時，x＝﹣7，即點P（7，0）；②當∠AP（P′）B＝90°時，點P′（1，0）；故點P的坐標為（7，0）或（1，0）．【點撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的基本知識，要注意類討論，避免遺漏，本題較為簡單．【即學即練1】已知二次函數(shù)．如果二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，求m的取值范圍；如圖，二次函數(shù)的圖象過，點，與y軸交于點B，直線AB與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點P，求點P的坐標．【答案】（1）且；（2）P點坐標為．解：（1）根據(jù)題意得且；（2）先求二次函數(shù)的解析式，再求拋物線的對稱軸，用待定系數(shù)法求直線AB的解析式，再求AB與對稱軸的交點P.解：根據(jù)題意得且，所以且；把代入得，解得，所以拋物線解析式為，所以拋物線的對稱軸為直線，當時，，則，設(shè)直線AB的解析式為，把，代入得，解得，所以直線AB的解析式為，當時，，所以P點坐標為．【點撥】本題考核知識點：二次函數(shù)與一次函數(shù).解題關(guān)鍵點：理解二次函數(shù)圖象的交點問題.【即學即練2】如圖所示，已知直線y=x與拋物線y=交于A、B兩點，點C是拋物線的頂點．(1)求出點A、B的坐標；(2)求出△ABC的面積；(3)在AB段的拋物線上是否存在一點P，使得△ABP的面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點A、B的坐標分別為：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)當a＝1時，△ABP的面積最大，此時點P的坐標為(1，)．【分析】（1）由直線與拋物線交于A、B兩點，可得方程，解方程即可求得點A、B的坐標；（2）首先由點C是拋物線的頂點，即可求得點C的坐標，又由S△ABC=S△OBC+S△OAC即可求得答案；（3）首先過點P作PD∥OC，交AB于D，然后設(shè)，即可求得點D的坐標，可得PD的長，又由S△ABP=S△BDP+S△ADP，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法，即可求得答案．解：(1)∵直線與拋物線交于A、B兩點，∴，解得：x＝6或x＝﹣4，當x＝6時，y＝﹣3，當x＝﹣4時，y＝2，∴點A、B的坐標分別為：(6，﹣3)，(﹣4，2)；∵點C是拋物線的頂點．∴點C的坐標為(0，6)，∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC＝×6×4+×6×6＝30；(3)存在．過點P作PD∥OC，交AB于D，設(shè)P(a，﹣a2+6)，則D(a，﹣a)，∴PD＝﹣a2+6+a，∴S△ABP＝S△BDP+S△ADP＝×(﹣a2+6+a)×(a+4)+×(﹣a2+6+a)×(6﹣a)＝(﹣4＜a＜6)，∴當a＝1時，△ABP的面積最大，此時點P的坐標為(1，)．【點撥】此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，三角形面積的求解以及二次函數(shù)的最值問題等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【知識拓展6】兩個二次函數(shù)圖像的綜合判斷 已知二次函數(shù)與．（1）隨著系數(shù)和的變化，分別說出這兩個二次函數(shù)圖像的變與不變；（2）若這兩個函數(shù)圖像的形狀相同，則______；若拋物線沿軸向下平移2個單位就能與的圖像完全重合，則______．（3）二次函數(shù)中、的幾組對應(yīng)值如下表：15表中、、的大小關(guān)系為______．（用“”連接）．【答案】（1）見解析；（2），；（3）【分析】（1）二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的變化會影響開口大小，開口方向，對稱軸和頂點坐標，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出圖像的具體影響．（2）由于函數(shù)圖像形狀相同，可以得到；根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律上加下減可求得函數(shù)，再由題意就可得到c=2．（3）將表中數(shù)值代入二次函數(shù)即可分別得到m、n、p含未知數(shù)c的代數(shù)式，比較大小即可．解：（1）二次函數(shù)的圖像隨著的變化，開口大小和開口方向都會變化，但是對稱軸、頂點坐標不會改變；二次函數(shù)的圖像隨著的變化，開口大小和開口方向都沒有改變，對稱軸也沒有改變，但是，頂點坐標會發(fā)生改變．（只要學生答對變與不變各一個點就給滿分）．（2）由于函數(shù)與函數(shù)的形狀相同，所以，即．拋物線沿y軸向下平移兩個單位，即得到拋物線．因為該拋物線與的圖像完全重合所以故答案為；（3）表中數(shù)值代入二次函數(shù)可得;,,因為<<所以．故答案為【點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像與幾何變換，二次函數(shù)上點的坐標特征．特別注意（2）時兩個函數(shù)圖像形狀相同．【即學即練1】如圖，拋物線F：的頂點為P，拋物線：與y軸交于點A，與直線OP交于點B．過點P作PD⊥x軸于點D，平移拋物線F使其經(jīng)過點A、D得到拋物線F′：，拋物線F′與x軸的另一個交點為C．⑴當a=1，b=－2，c=3時，求點C的坐標(直接寫出答案)；⑵若a、b、c滿足了①求b：b′的值；②探究四邊形OABC的形狀，并說明理由．【答案】解：（1）C（3，0）；（2）①拋物線，令=0，則=，∴A點坐標（0，c）．∵，∴，∴點P的坐標為（）．∵PD⊥軸于D，∴點D的坐標為（）．根據(jù)題意，得a=a′，c=c′，∴拋物線F′的解析式為．又∵拋物線F′經(jīng)過點D（），∴．∴．又∵，∴．∴b:b′=．②由①得，拋物線F′為．令y=0，則．∴．∵點D的橫坐標為∴點C的坐標為（）．設(shè)直線OP的解析式為．∵點P的坐標為（），∴，∴，∴．∵點B是拋物線F與直線OP的交點，∴．∴．∵點P的橫坐標為，∴點B的橫坐標為．把代入，得．∴點B的坐標為．∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC=OA），∴四邊形OABC是平行四邊形．又∵∠AOC=90°，∴四邊形OABC是矩形．【解析】（1）先求出拋物線解析式，再根據(jù)平移的特征即可得到點C的坐標；（2）①根據(jù)拋物線頂點坐標的表達式及拋物線與坐標軸的交點坐標的特征即可得到結(jié)果；②根據(jù)拋物線與坐標軸的交點坐標及拋物線與直線OP的交點坐標的特征即可得到結(jié)果；【知識拓展7】根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式的符號如圖，二次函數(shù)的圖像開口向上，圖像經(jīng)過點和，且與軸相交于負半軸．第問：給出四個結(jié)論：①；②；③；④．寫出其中正確結(jié)論的序號（答對得分，少選、錯選均不得分）第問：給出四個結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1．寫出其中正確結(jié)論的序號．【答案】（1）正確的序號為①④；（2）正確的序號為②③④．【分析】（1）根據(jù)拋物線開口向上對①進行判斷；根據(jù)拋物線對稱軸x=在y軸右側(cè)對②進行判斷；根據(jù)拋物線與y軸的交點在x軸下方對③進行判斷；根據(jù)x=1時，y=0對④進行判