福建省福州市八縣（市）一中2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考試題數(shù)學(xué)（理）

20172018學(xué)年第二學(xué)期八縣（市）一中期中聯(lián)考高中二年數(shù)學(xué)（理）科試卷命題學(xué)校：長(zhǎng)樂一中命題教師：葛鳳清審核教師：陳永河考試時(shí)間：4月25日完卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．）1、復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．用反證法證明某命題時(shí),對(duì)某結(jié)論:“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的假設(shè)為()A．都是奇數(shù)B．都是偶數(shù)C．中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)3．y＝loga(2x2－1)的導(dǎo)數(shù)是()A.eq\f(4x,（2x2－1）lna)B.eq\f(4x,2x2－1)C.eq\f(1,（2x2－1）lna)D.eq\f(2x2－1,lna)4．如圖，陰影部分的面積是()A．2eq\r(3)B．－2eq\r(3)C．eq\f(35,3)D．eq\f(32,3)5．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3處取得極值，則a等于()A．2B．3C．4D．56．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)7．平面內(nèi)有條直線，最多可將平面分成個(gè)區(qū)域，則的表達(dá)式為()A．B．C．D．8．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，則下列不等式中，一定成立的是（）A．B．C．D．9.一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙說：“我沒有作案，是丙偷的”：丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”：丁說：“乙說的是事實(shí)”.經(jīng)過調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是（）A．甲B．乙C.丙D．丁10．已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，則方程的解所在的區(qū)間是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）11．如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形D．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形12.已知,直線與函數(shù)的圖象在處相切，設(shè),若在區(qū)間上，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)有（）A.最大值B.最大值C.最小值D.最小值二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13、是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.14．15．若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長(zhǎng)為，則三角形的面積等于，根據(jù)類比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個(gè)面的面積分別是，則四面體的體積．16.若函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則有，設(shè)函數(shù)，則________．三、解答題（本大題6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知定義在上的函數(shù)，求證：存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于．18.已知函數(shù)，其中，且曲線在點(diǎn)的切線垂直于直線．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．19．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)滿足bn＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試證明：bn＝eq\f(2n＋1,1－2n).20．設(shè)f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值．(2)求a的取值范圍，使得g(a)－g(x)<eq\f(1,a)對(duì)任意x>0成立．21．某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價(jià)格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式，其中3<x<6，a為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克。(I）求a的值(II）若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大。22、已知函數(shù)f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）． （1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程； （2）求函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間； （3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 20172018學(xué)年第一學(xué)期八縣（市）一中期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)(理科)參考答案一、選擇題（每小題5分，共60分）題號(hào)123456789101112答案BDADDBCABCDB二、填空題（每小題5分，共20分）131/314、215、(1/3)R(S1+S2+S3+S4)16、0三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟）17【解析】．，，在單調(diào)遞增．5分，，，使得，9分∴存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于．10分18試題解析：（Ⅰ）∵曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，∴，∴。4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則6分令，解得，又的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，∴在內(nèi)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，∴在內(nèi)為增函數(shù)，故該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.9分由上面得如下表格：（0,2）2（2，）0+減增由表格知函數(shù)在處取得極小值，無極大值。12分19證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝4，b1＝1－4＝－3，b1＝eq\f(2×1＋1,1－2×1)＝－3，等式成立．2分(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即bk＝eq\f(2k＋1,1－2k)，4分那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有bk＋1＝(1－a1)(1－a2)…(1－ak)(1－ak＋1)＝bk(1－ak＋1)＝eq\f(2k＋1,1－2k)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(4,2k＋12)))＝eq\f(2k＋1＋1,1－2k＋1).9分所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立．10分由(1)(2)可知，等式對(duì)任何正整數(shù)n都成立．12分20解：(1)由題設(shè)知f′(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝lnx＋eq\f(1,x)，所以g′(x)＝eq\f(x－1,x2).令g′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為g(1)＝1.6分(2)由(1)知g(x)的最小值為1，所以g(a)－g(x)<eq\f(1,a)，對(duì)任意x>0成立?g(a)－1<eq\f(1,a)，即lna<1，得0<a<e，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，e)．12分21【答案】（I）因?yàn)閤=5時(shí)，y=11，所以2分(II）由（I）可知，該商品每日的銷售量所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)6分從而，于是，當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：由上表可得，x=4是函數(shù)在區(qū)間（3，6）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)；所以，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取得最大值，且最大值等于42。11分答：當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大12分22、解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna， ∴f′（x）=axlna+2x﹣lna， ∴f′（0）=0，f（0）=1 即函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)（0，1）處的切線斜率為0， ∴圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1；3分 （2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna ①當(dāng)a＞1，y=2x單調(diào)遞增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna單調(diào)遞增，故y=2x+（ax﹣1）lna單調(diào)遞增， ∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增； ②當(dāng)0＜a＜1，y=2x單調(diào)遞增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna單調(diào)遞增，故y=2x+（ax﹣1）lna單調(diào)遞增， ∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增； 綜上，函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）； 6分 （3）因?yàn)榇嬖趚1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1， 所以當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，|（f（x））max﹣（f（x））min| =（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1， 由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上遞減，在[0，1]上遞增， 所以當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，（f（x））min=f（0）=1， （f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}， 而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna， 記g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0）， 因?yàn)間′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)）， 所以g（t）=t﹣﹣2l