1 平面匯交力系

山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)第二章平面力系的合成與平衡

力系多種多樣，按力系中各力作用線的分布，可分為平面力系和空間力系。

凡各力的作用線都在同一平面內(nèi)的力系稱為平面力系；而各力的作用線不在同一平面內(nèi)，則為空間力系。

在工程中有不少結(jié)構(gòu)，其厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)方向的尺寸，這些結(jié)構(gòu)稱為平面結(jié)構(gòu)。(a)(b)圖示平面桁架上作用的各力，都在桁架平面內(nèi)，組成平面力系。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)在實(shí)際工程中，有些結(jié)構(gòu)所受的作用力雖是空間力系，但在一定條件下，可以簡(jiǎn)化為平面力系。圖示水壩(包括擋土墻)，縱向很長，其受力情況延長度方向大致相同，通常就截取1m長度的結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象。這樣，經(jīng)過簡(jiǎn)化后，水壩受到的自重、水壓力、地基反力等就可以看作是一個(gè)平面力系。1m自重地基反力水壓力在建筑工程中，很多力學(xué)問題都屬于平面力系問題，或者可以簡(jiǎn)化為平面力系問題。平面力系是工程中最常見的力系，本章將討論平面力系的合成與平衡問題。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)第一節(jié)平面匯交力系平面力系中，各力的作用線都匯交于一點(diǎn)，即構(gòu)成平面匯交力系。WFT

CFT1FT2

FT=WC60o45oWCFN1FN2WC起重機(jī)起吊重物時(shí)，吊鉤上點(diǎn)C受到的力，如圖所示;擱置于兩斜面間的圓柱體，所受W、FN1和FN2匯交于C，如圖所示。這都構(gòu)成了平面匯交力系。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)平面匯交力系是建筑力學(xué)中最簡(jiǎn)單、最基本的力系。研究平面匯交力系的方法有幾何法和解析法兩種。一、平面匯交力系合成的幾何法兩個(gè)匯交力的合成，可由平行四邊形法則或三角形法則來完成。BAF1F2FRDCBAF1F2FRCF1F2FRDCA對(duì)于多個(gè)匯交力的合成，只是兩力合成的簡(jiǎn)單重復(fù)。具體來講，就是連續(xù)應(yīng)用三角形法則，逐個(gè)合成每個(gè)力，從而求出多個(gè)匯交力的合力。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)F1F2F3F4ABCDEF1AF2F3F4F12F123FRAFR連續(xù)使用三角形法則，將各力首尾相接，得到一條矢量折線，而合力就是從最初的起點(diǎn)指向最末的終點(diǎn)。合力即是力多邊形的閉合邊。這種求合力的方法稱為力的多邊形法則。上述的求合力的多邊形法則，是通過幾何作圖來完成的，稱為幾何法。應(yīng)用力的多邊形法則求合力時(shí)，按照不同的合成順序，可以得到形狀不同的力多邊形，但力多邊形的閉合邊不變，即合力不變。作圖時(shí)應(yīng)將各力按照選定的比例、準(zhǔn)確的角度繪制，以確保結(jié)果的精確度。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)F1F2F3F4AAFR力的多邊形法則推廣到求平面中任意個(gè)力的合力時(shí)，可表示為FR=F1+F2+F3+……+Fn即，平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，其作用點(diǎn)是原力系各力的匯交點(diǎn)。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)吊環(huán)上作用共面且共點(diǎn)的三個(gè)拉力，如圖所示。已知F1=100N，F(xiàn)2=150N，F(xiàn)3=200N。試用幾何法求吊環(huán)所受的合力。例2-1F1F2F345o45oAaFRBCDF1F2F3按比例量得:FR=295Na=82o山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)OF1F2F3F4第一節(jié)平面匯交力系二、平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系可以合成為一個(gè)合力FR，即FR與原力系等效。如果力多邊形中的最后一個(gè)力的終點(diǎn)與第一個(gè)力的起點(diǎn)重合，則意味著合力FR=0，即力多邊形自行封閉。F1F2F3F4此時(shí)的物體處于平衡狀態(tài)，該力系為平衡力系。反過來，欲使平面匯交力系平衡，必使其合力等于零。所以，平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的合力等于零。用公式表示為FR=∑F=0山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)平面匯交力系平衡的幾何條件為：力多邊形自行閉合。利用這一幾何條件，可以求解平面匯交力系中的兩個(gè)未知量。圖中，已知W=100N。當(dāng)構(gòu)件勻速起吊時(shí)，求兩鋼絲繩的拉力。例2-2WFT

C45o45oFT1FT2

FT=100N

C45o45oFT1FT2

100

C45o45oED1.畫出受力圖2.作閉合的力多邊形3.量出未知量FT1=F

T2=71N100N

50

0

山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)簡(jiǎn)支梁AB在中點(diǎn)C受力F作用，如圖所示。已知F=10kN，梁自重不計(jì)。求支座A、B的反力。例2-31.畫出受力圖45oFABC(a)2m2m(b)FBFA45oFABCO2.作閉合的力多邊形FAFBFCDE45o21(c)5kN3.量出未知量FA=7.9kNFB=3.5kN山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)圖示剛架中，若已知F=30kN，各部分尺寸如圖所示。試求支座A、B的反力。例2-4FABC(a)3m3m4m1.畫出受力圖BA(e)CFAFBF2.作閉合的力多邊形F(f)02010FBFA3.量出未知量FA=FB

=25kNFA的實(shí)際方向?yàn)樽笙?。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)通過以上例題，可以歸納出幾何法求解平面匯交力系平衡問題的步驟如下：(1)選取研究對(duì)象。根據(jù)題意選取與已知力和未知力有關(guān)的物體作為研究對(duì)象；(2)畫出受力圖。在研究對(duì)象上畫出全部的主動(dòng)力和約束反力，注意運(yùn)用二力構(gòu)件的性質(zhì)和三力平衡匯交定理來確定約束反力的作用線。當(dāng)無法確定約束反力的指向時(shí)，可先假設(shè)。(3)作閉合的力多邊形。選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，作出封閉的力多邊形，先畫已知力，后畫未知力。按首尾相接的方法和自行閉合的要求，確定未知力的實(shí)際指向。⑷量出未知量。根據(jù)比例尺量出未知力的大小和方向。對(duì)于特殊角還可用三角公式計(jì)算得出。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)第一節(jié)平面匯交力系一、平面匯交力系合成的幾何法二、平面匯交力系平衡的幾何條件三、平面匯交力系合成的解析法平面匯交力系的幾何法直觀、簡(jiǎn)捷，但其精確度難以保證，在力學(xué)應(yīng)用較多的還是解析法。所謂解析法就是通過列代數(shù)表達(dá)式來求解的方法，又稱數(shù)解法。解析法以力在坐標(biāo)軸上的投影計(jì)算為基礎(chǔ)。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)1.力在坐標(biāo)軸上的投影三、平面匯交力系合成的解析法xyOFxFyABbaa'b'FXYa(a)投影的正負(fù)規(guī)定：當(dāng)力的始端投影a到終端投影b的方向與投影軸正向一致時(shí)，投影為正值；反之為負(fù)。xyOBAabb'a'FXYa(b)通常，可直觀判斷出力投影的正負(fù)號(hào)。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)xyOFxFyABbaa'b'FXYa投影X、Y可用下式計(jì)算：X=±FcosαY=±Fsinα式中α為力F與坐標(biāo)軸x所夾的銳角兩種特殊情形：(1)當(dāng)力與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，力在該軸上的投影為零;(2)當(dāng)力與坐標(biāo)軸平行時(shí)，力在該軸上投影的絕對(duì)值等于該力的大小。力F沿直角坐標(biāo)軸方向的分力Fx和Fy，分力與力的投影是不同的：力的投影只有大小和正負(fù)，是標(biāo)量；而分力既有大小又有方向，是矢量，二者不可混淆。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)試計(jì)算圖中各力在x軸和y軸上的投影。各力的大小均為100kN。例2-5xyO30o60o60o45oF1F2F3F4F5F6由式(2-3)分別計(jì)算各力投影：X=±FcosαY=±FsinαX1=±F1cos30oY1=±F1sin30o=100×0.866=86.6(kN)=100×0.5=50(kN)X2=±F2cos60oY2=±F2sin60o=-100×0.5=-50(kN)=100×0.866=86.6(kN)X3=±F3cos60oY3=±F3sin60o=-100×0.5=-50(kN)=-100×0.866=-86.6(kN)X4=±F4cos45oY4=±F4sin45o=100×0.707=70.7(kN)=-100×0.707=-70.7(kN)X5

Y5

=0=-100(kN)X6

Y6

=0=-100(kN)山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)xyOFxFyABbaa'b'FXYa如果力F在坐標(biāo)軸x和y上的投影X和Y已知，由圖中的幾何關(guān)系，也可以確定力F

的大小和方向F=tanα=式中α為力F

與x軸所夾的銳角。

F

的指向，由X和Y的正負(fù)號(hào)來確定。

X>0、Y>0，F(xiàn)

位于第一象限;

X<0、Y>0，F(xiàn)

位于第二象限;

X<0、Y<0，F(xiàn)

位于第三象限;

X>0、Y<0，F(xiàn)

位于第四象限。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)三、平面匯交力系合成的解析法2.合力投影定理F1F3F2AFRF1F2F3FRABCDabcdX1=abX2=bcX3

=?cd

XR=ad顯然

ad=ab+bc?cd所以XR=X1+X2+X3山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)合力投影定理建立了合力投影與分力投影之間的關(guān)系，為進(jìn)一步用解析法求平面匯交力系的合力奠定了基礎(chǔ)。XR=X1+X2+X3+……+Xn=∑X這一關(guān)系可推廣到任意個(gè)匯交力的情形，即由此可見，合力在任一坐標(biāo)軸上的投影，等于各分力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。這就是合力投影定理。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)(1)利用下式(2-3)分別計(jì)算各分力在x軸、y軸上的投影；三、平面匯交力系合成的解析法3.用解析法求平面匯交力系的合力X=±FcosαY=±Fsinα(2)根據(jù)合力投影定理，利用下式(2-5)計(jì)算合力FR在兩軸上的投影；XR=X1+X2+X3+……+Xn=∑XYR=Y1+Y2+Y3+……+Yn=∑Y(3)最后根據(jù)已知投影求力，利用下式(2-6)求出合力FR的大小和方向。FR=tanα===xyOABFRXRYRa山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)例2-6用解析法計(jì)算例2-1。

10015020045o(1)建立坐標(biāo)系

x通常水平向右為x軸，豎直向上為y軸；

y(2)計(jì)算各力投影，同時(shí)計(jì)算合力的投影：XR=∑X=X1+X2+X3=

-100+0+200×0.707=41.4NYR=∑Y=Y1+Y2+Y3=

-1500-200×0.707=-

291.4N(3)代入式(2-6)求出合力FR的大小和方向FR==tanα==

294.3N=α=82o=7.04FR82o山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)第一節(jié)平面匯交力系一、平面匯交力系合成的幾何法二、平面匯交力系平衡的幾何條件三、平面匯交力系合成的解析法四、平面匯交力系平衡的解析條件平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的合力等于零。其解析表達(dá)式為：FR==0上式中(∑X)2

與(∑Y)2

恒為正數(shù)。若使FR=0，必須同時(shí)滿足

∑X

=0

∑Y

=0

反之，若上式成立，則力系的合力必為零。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)

∑X

=0

∑Y

=0所以，平面匯交力系平衡的必要和充分的解析條件是：力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。上式稱為平面匯交力系的平衡方程。這是兩個(gè)獨(dú)立的投影方程，可以求解兩個(gè)未知量。這一點(diǎn)與幾何法相一致。平面匯交力系平衡方程的物理意義是：

∑X=0

表明物體在x軸方向的作用效應(yīng)相互抵消;

∑Y=0

表明物體在y軸方向的作用效應(yīng)相互抵消。兩個(gè)方程聯(lián)立，說明物體在力系平面內(nèi)的任何方向都處于平衡狀態(tài)。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)例2-7

求圖示三角支架中，桿AC和桿BC所受的力。已知W=8.66kN。

(1)取鉸C為研究對(duì)象。解

因桿AC和桿BC均為二力桿，所以兩桿受力的作用線都沿桿軸方向假設(shè)兩桿均受拉力，可畫出鉸C的受力圖，同時(shí)選取坐標(biāo)系，如圖所示。

ABC60oW(2)列平衡方程，并求解未知力。WFBCFACxyC60o

∑X

=0

∑Y

=0

-

FBC×cos60°–FAC=0

FBC×sin60°–8.66=0解得

FBC=10kN

FAC=–5kNFAC的計(jì)算結(jié)果為–5kN，說明其實(shí)際方向與假設(shè)相反。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)例2-8

平面剛架受水平力F作用，如圖2-17a所示。已知F=40kN，不計(jì)剛架自重。求支座A、B的反力。AB4m3mFCD(1)取剛架為研究對(duì)象，畫出剛架的受力圖。解F354DABCFAFB(2)列平衡方程，并求解未知力。

∑X

=0

∑Y

=0xy40–FA×0.8

FB=0=0–FA×0.6解得FA=50kN

FB=30kN山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)例2-9

如圖所示的起重裝置，桿AB和桿BC均鉸接于塔架上，重物通過定滑輪B由卷揚(yáng)機(jī)D用鋼索起吊。已知W=2kN，各桿與滑輪的自重不計(jì)，滑輪的大小及軸承的摩擦也不計(jì)。試求桿AB和桿BC所受的力。W30o30o60oACDB(1)取鉸B(包含滑輪)作為研究對(duì)象，畫受力圖。解xyFABFBCWFT30o30oB30o(2)列平衡方程，并求解未知力。

∑X

=0

∑Y

=0–FBC×cos30°=0–2×cos30°+FAB×cos60°FBC×sin30°–2×sin30°+FAB