《高等數(shù)學(xué) 函數(shù)》課件

函數(shù)高等數(shù)學(xué)一、函數(shù)的概念二、函數(shù)的特性五、小結(jié)與思考判斷題三、函數(shù)的運(yùn)算四、初等函數(shù)第一節(jié)函數(shù)因變量自變量定義1設(shè)和是兩個(gè)變量，是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)數(shù)，變量按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記作數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域函數(shù)值全體組成的數(shù)集當(dāng)

時(shí)，稱

為函數(shù)在

的函數(shù)值.稱為函數(shù)的值域.一、函數(shù)的概念自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f1.函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.約定

定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.例如例如

如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．2.單值函數(shù)與多值函數(shù)例如3、下面介紹一種與區(qū)間有關(guān)的概念鄰域以x0為中心，長(zhǎng)度為的開(kāi)區(qū)間稱為x0的鄰域的實(shí)數(shù)

x0的鄰域?qū)嶋H就是指其附近的點(diǎn)的集合簡(jiǎn)記作:記作函數(shù)的表示方法1解析式法：用含x,y的等式表示函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法像上面這類用含x的式子表示y的顯函數(shù)像上面這類變量x與y的函數(shù)關(guān)系隱含在二元方程中（由二元方程確定）注：1顯、隱函數(shù)的關(guān)系：有的隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)2隱函數(shù)的一般形式隱函數(shù)求定義域指出單調(diào)區(qū)間判斷函數(shù)的奇偶性指出最小正周期簡(jiǎn)記作：高等數(shù)學(xué)中，在研究函數(shù)極限、函數(shù)局部性態(tài)等問(wèn)題時(shí)常用到鄰域的去心鄰域挖去中心點(diǎn)的數(shù)集。2)列表法月份123456銷(xiāo)售量(件)1001051101151111203圖象法形象直觀的表現(xiàn)變量間的關(guān)系所以定義域?yàn)榻饫}函數(shù)的定義域是使得式子有意義的所有的自變量取值。

例1

符號(hào)函數(shù)4.幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線例2

取整函數(shù)

y=[x][x]表示不超過(guò)

的最大整數(shù).在

為整數(shù)值處,圖形發(fā)生跳躍,躍度為1.有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo例3

狄利克雷函數(shù)如果函數(shù)在不同的定義區(qū)間上用不同的解析式子表示稱為分段函數(shù),例1至例3均是分段函數(shù).二、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX1.函數(shù)的有界性2．函數(shù)的單調(diào)性:xyoxyo例如,函數(shù)

在

內(nèi)是單調(diào)增加的.如圖所示.例如,函數(shù)

在

內(nèi)是單調(diào)減少的,在

內(nèi)是單調(diào)增加的.如圖所示.3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x偶函數(shù)的圖形關(guān)于

軸對(duì)稱.奇函數(shù)yxox-x奇函數(shù)的圖形對(duì)稱于原點(diǎn).不滿足上述性質(zhì)的函數(shù)為非奇非偶函數(shù).例如

與

是奇函數(shù)；

與

是偶函數(shù)；

與是非奇非偶函數(shù).4．函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.例如函數(shù)

都是以

為周期的周期函數(shù).函數(shù)

都是以為周期的周期函數(shù).三角函數(shù)是典型的周期函數(shù)，它廣泛地應(yīng)用于生活中的各個(gè)領(lǐng)域，物理學(xué)中，經(jīng)常研究一些周期性的運(yùn)動(dòng)。例如：振動(dòng)、波動(dòng)、蒸汽機(jī)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，交流電的強(qiáng)度和方向諸如此類的研究中，三角函數(shù)起著重要的作用。

并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期.例如函數(shù)

(

為常數(shù))及狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)為有理數(shù)為無(wú)理數(shù)均為周期函數(shù),但沒(méi)有最小正周期.三、函數(shù)的運(yùn)算對(duì)函數(shù)除了可以作加，減，乘，除四則運(yùn)算之外，還有復(fù)合運(yùn)算與求反函數(shù)的運(yùn)算.定義2

設(shè)函數(shù)的定義域與的值域的交集非空，則是的復(fù)合函數(shù).例如可看作由復(fù)合而成.注：不是任何函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)函數(shù)。例4

設(shè)

求解由于

的值域的定義域

為顯然故可進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算，即例5

設(shè)

求解顯然給出的函數(shù)符合復(fù)合的條件，因此例6

設(shè)

求的定義域

為是沒(méi)有意義的.不滿足復(fù)合函數(shù)定義的條件，從而例7

已知

求解因?yàn)楣世?

函數(shù)

是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的.解顯然，是由復(fù)合而成.定義3設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，如果?duì)于每一個(gè)，根據(jù)關(guān)系能確定唯一的，則稱得到的新函數(shù)為的反函數(shù).亦稱與互為反函數(shù).函數(shù)的反函數(shù)常記為

相對(duì)于反函數(shù)

來(lái)說(shuō)，原來(lái)的函數(shù)稱為直接函數(shù).它們圖形的關(guān)系如下所示.DW

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線

對(duì)稱.

函數(shù)在上沒(méi)有反函數(shù)，但在及上分別有反函數(shù)及.1.基本初等函數(shù)（1）常數(shù)函數(shù)如下圖所示.1.2、初等函數(shù)2.冪函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).5.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)它們均為周期函數(shù)，和有界.其余三角函數(shù)無(wú)界.為奇函數(shù)，為偶函數(shù).6.反三角函數(shù)

是單調(diào)遞增的,是單調(diào)遞減的，它們均為有界函數(shù).

冪函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)：自然對(duì)數(shù)三角函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：反三角函數(shù)：以上為基本初等函數(shù)2.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算所得到的并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)