數(shù)字信號處理 離散傅里葉變換(DFT)

離散傅里葉變換(DFT)

問題的提出

有限長序列的傅里葉分析離散傅里葉變換的性質(zhì)利用DFT計算線性卷積利用DFT分析信號的頻譜學習要求了解四種信號的傅里葉變換的數(shù)學概念及特點。深刻理解有限長序列DFT的定義及概念。掌握序列DFT與序列DTFT和z變換的相互關系。掌握利用DFT分析任意信號頻譜的原理和方法。理解DFT分析信號頻譜中出現(xiàn)的現(xiàn)象以及改善這些現(xiàn)象的方法。掌握利用DFT實現(xiàn)序列線性卷積的原理和方法。

重點和難點

本章的重點是信號DFT的數(shù)學概念和物理概念，以及DFT在信號分析和系統(tǒng)分析中的重要作用本章的難點是利用DFT分析連續(xù)信號頻譜過程中出現(xiàn)的現(xiàn)象引言

連續(xù)時間傅里葉變換CTFT不適宜于在數(shù)字計算機上進行計算。其主要原因為：信號覆蓋了整個時間軸(時間受限信號除外);信號是時間連續(xù)的;信號的頻譜覆蓋了整個頻譜軸(頻帶受限信號除外);信號是頻譜連續(xù)的。連續(xù)時域信號與連續(xù)頻譜不能在計算機被處理，需要離散化DFT是重要的變換

1.分析有限長序列的有用工具。

2.在信號處理的理論上有重要意義。

3.在運算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關都可以通DFT在計算機上實現(xiàn)。DFT是現(xiàn)代信號處理橋梁DFT要解決兩個問題:(1).是離散與量化，(2).是快速運算。信號處理DFT(FFT)傅氏變換離散量化

有限長序列的傅里葉分析

四種信號傅里葉表示有限長序列離散傅里葉變換

DFT矩陣表示利用MATLAB計算DFT

四種信號的傅里葉分析連續(xù)周期信號連續(xù)非周期信號離散非周期信號離散周期信號連續(xù)時間傅里葉級數(shù)離散傅里葉變換離散傅里葉級數(shù)連續(xù)時間傅里葉變換

連續(xù)時間(周期)、離散頻率---傅里葉級數(shù)(FS)

連續(xù)時間(非周期)、連續(xù)頻率(非周期)---傅里葉變換(FT)

離散時間(非周期)、連續(xù)頻率---序列的傅里葉變換(DTFT)

離散時間(周期)、離散頻率---離散傅里葉變換(DFT)傅里葉變換的幾種形式(四種，時域與頻域)：四種信號傅里葉表示1.周期為T0的連續(xù)時間周期信號頻譜特點：離散非周期譜時域信號頻域信號連續(xù)的周期的非周期的離散的*時域周期為T0,，頻域譜線間隔為2π/T0四種信號傅里葉表示2.連續(xù)時間非周期信號頻譜特點：連續(xù)非周期譜時域信號頻域信號連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的對稱性:時域連續(xù)，則頻域非周期。反之亦然。四種信號傅里葉表示3.離散非周期信號頻譜特點：周期為2

的連續(xù)譜時域信號頻域信號離散的非周期的周期的連續(xù)的*時域抽樣間隔為Ts，頻域的周期為2

或者模擬角頻率為：四種信號傅里葉表示4.周期為N的離散周期信號頻譜特點：周期為N的離散譜

由上述分析可知，要想在時域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時域信號頻域信號離散的周期的周期的離散的*時域周期為T0,，頻域譜線間隔為2π/T0*時域抽樣間隔為Ts，頻域的周期為2

或者模擬角頻率為：k01N-1m01N-1

四種信號的傅里葉表示的物理含義時域信號可以表示為正弦(虛指數(shù))信號的線性組合；其對應的加權(quán)系數(shù)就是信號的頻譜函數(shù)；反映了信號中各個頻率正弦(虛指數(shù))信號的分布特性。

四種信號的頻譜之間聯(lián)系如果離散非周期信號x[k]是連續(xù)非周期信號x(t)的等間隔抽樣序列，則信號x[k]的頻譜函數(shù)X(ej

)是信號x(t)的頻譜函數(shù)X(jω)的周期化。信號在時域的離散化導致其頻譜函數(shù)的周期化如果離散周期信號是離散非周期信號x[k]的周期化，則信號的頻譜函數(shù)是信號x[k]的頻譜函數(shù)的離散化。信號在時域的周期化導致其頻譜函數(shù)的離散化有限長序列離散傅里葉變換IDFTDFT符號表示有限長序列DFT與DTFT關系

有限長序列x[k]離散傅里葉變換X[m]是其離散時間傅里葉變換X(ejW)在一個周期[0,2p)的等間隔取樣DFT與DFS關系DFT可以看成是截取DFS的主值區(qū)間構(gòu)成的變換對解:解:例:

求有限長4點序列的DFT如果序列后補零，其DFT有何變化?*(答案見書59頁)解:x[k]=R4[k]，求x[k]的DTFT，8點和16點DFT解：(1).x[k]=R4[k]的8點DFT解：(2).x[k]=R4[k]的16點DFT解：(3).X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限長4點序列DFT矩陣表示DFT矩陣表示DFT矩陣表示DFT矩陣形式為其中DFT矩陣表示IDFT矩陣形式為dftmtx(N)

函數(shù)產(chǎn)生N×N的DFT矩陣DNconj(dftmtx(N))/N

函數(shù)產(chǎn)生N×N的IDFT矩陣DN-1利用MATLAB計算DFTfft(x)fft(x,N)ifft(x)ifft(x,N)fft(x)

計算M點的DFT。M是序列x的長度。fft(x,N)

計算N點的DFT。

M>N，將原序列裁為N點計算N點的DFT；

M<N，將原序列補零至N點，然后計算N點DFT。利用MATLAB計算16點序列x[k]的512點DFTk=0:N-1;f=cos(2*pi*k*4./16);F=fft(f);FE=fft(f,512);L=0:511;plot(L/512,abs(FE))holdonplot(k/16,abs(F),'o');N=16;離散傅里葉變換的性質(zhì)1.線性需將較短序列補零后，再按長序列的點數(shù)做DFT2.循環(huán)位移(Circularshiftofasequence)

循環(huán)位移定義為序列的循環(huán)位移過程序列的循環(huán)移位包括三層意思(操作過程)：1.先將x[k]

進行周期延拓2.再進行周期序列移位3.最后取主值序列k0N-10k周期延拓k0左移2k0N-1取主值DFT時域循環(huán)位移特性時域的循環(huán)位移對應頻域的相移DFT循環(huán)位移特性

時域的循環(huán)位移對應頻域的相移

時域的相移對應頻域的循環(huán)位移離散傅里葉變換的性質(zhì)3.對稱性(symmetry)

周期共軛對稱(Periodicconjugatesymmetry)定義為

周期共軛反對稱(Periodicconjugateantisymmetry)定義為

當序列x[k]為實序列時，周期偶對稱序列滿足

當序列x[k]為實序列時，周期奇對稱序列滿足x[k]為有限長實數(shù)序列，偶對稱：奇對稱：對稱中心點在何處？對稱中心點=N/2對稱中心點01324576N=8偶對稱801324576N=8對稱中心點奇對稱8對稱中心點01324576N=9偶對稱89對稱中心點013245768N=9奇對稱9離散傅里葉變換的性質(zhì)3.對稱性(symmetry)當x[k]是實序列時例：已知一9點實序列的DFT在偶數(shù)點的值為X[0]=3.1,X[2]=2.5+4.6j,X[4]=-1.7+5.2j,X[6]=9.3+6.3j,X[8]=5.5-8.0j。確定DFT在奇數(shù)點的值。

解：X[1]=X*[9-1]=X*[8]=5.5+8.0j;X[3]=X*[9-3]=X*[6]=9.3-6.3j；X[5]=X*[9-5]=X*[4]=-1.7-5.2j;X[7]=X*[9-7]=X*[2]=2.5-4.6j;

根據(jù)實序列DFT的對稱特性X[m]=X*[N-m]可得離散傅里葉變換的性質(zhì)4.序列的循環(huán)卷積例：計算序列的循環(huán)卷積h[(-n)N]h[(1-n)N]h[(2-n)N]h[(3-n)N]x2[(-n)6]

R6[n]

100111

x2[(-n)6]100111100111100111x2[(n)6]111100111100111100x2[k/n]111100x1[k/n]543210k/n

-6-5-4-3-2-101234567891011x1[n]543210y[0]=8x2[(1-n)6]

R6[n]

11001110x1[n]543210y[k]x2[(2-n)6]

R6[n]

11100112x2[(3-n)6]

R6[n]

11110014x2[(4-n)6]

R6[n]

011110