1.3 兩個(gè)重要極限 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

復(fù)習(xí)：一、極限的四則運(yùn)算二.極限求法;1.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;2.求函數(shù)極限時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)等情況，都不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，必須對(duì)原式進(jìn)行恒等變換、化簡(jiǎn)，然后再求極限．常使用的有以下幾種方法．（1）對(duì)于有理分式的型，常因式分解、約分，再求極限（4）對(duì)于型，可將分子分母同時(shí)除以未知數(shù)的最高次冪，然后再求極限．3.利用左右極限求分段函數(shù)極限.（2）對(duì)于無(wú)理分式的型，分子、分母有理化，

約分，再求極限.（3）對(duì)于型，往往需要先通分，化簡(jiǎn)，再求極限.1.3

兩個(gè)重要極限無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一、兩個(gè)重要極限二、無(wú)窮小與無(wú)窮大量一、兩個(gè)重要極限極限1注意：（2）所求變量中帶有三角函數(shù)；（1）（3）解:

例1

求例2求解：湊例3解:原式湊例4

求解：原式例5求例6求解：原式解：原式例7求解：原式極限2注意：（1）式子中，x可以用其他任何字母或式子代替。（2）底是，指數(shù)是;趨勢(shì)是，因此可記為：如：解：原式例9求解：原式例8求練習(xí)1求下列極限：例10求解：原式另解二：原式另解一：令，則原式

練習(xí)2求極限

（2）（1）例11求解：原式一、兩個(gè)重要極限或注:代表相同的表達(dá)式小結(jié)（1）牢記兩個(gè)重要極限的形式、結(jié)論。（2）方法：能湊則湊，不能湊換元當(dāng)1、無(wú)窮小定義1若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù)時(shí)為無(wú)窮小;為時(shí)的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小.三、無(wú)窮小與無(wú)窮大量即說(shuō)明:①同一個(gè)函數(shù)，在不同的趨向下，可能是無(wú)窮小，也可能不是無(wú)窮??；②無(wú)窮小不是一個(gè)常量，是在一個(gè)變化過(guò)程中的變量；③零是唯一可作為無(wú)窮小的常數(shù)。如無(wú)窮小運(yùn)算法則（在同一變化過(guò)程中）性質(zhì)1.有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小.說(shuō)明:無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小!例如，性質(zhì)2.有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論1.常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2.有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.解:利用性質(zhì)2可知的水平漸近線.說(shuō)明:是例12求例13求解2.無(wú)窮大量定義2.如果當(dāng)時(shí),函數(shù)的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱函數(shù)為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大。記作說(shuō)明：若成立，則也稱函數(shù)為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大。注意:1.無(wú)窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無(wú)窮大,必定無(wú)界.但反之不真!例如,函數(shù)當(dāng)?shù)詴r(shí),不是無(wú)窮大!3.若，則直線為曲線y=f(x)

的垂直漸近線3.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系若為無(wú)窮大,則為無(wú)窮小;若為無(wú)窮小,且則為無(wú)窮大.據(jù)此定理,關(guān)于無(wú)窮大的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮小來(lái)討論.

在自變量的同一變化過(guò)程中,說(shuō)明:解：例14求例16指出自變量x在怎樣的變化趨勢(shì)下，下列函數(shù)為無(wú)窮小、無(wú)窮大量

（2）解：（1）因?yàn)橐驗(yàn)椋?/p>

（1）所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，

（2）解：（2）因?yàn)橐驗(yàn)樗援?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，填空：4.無(wú)窮小的比較例如,不存在，不可比.

由上面結(jié)果可看出，當(dāng)時(shí)，同為無(wú)窮小,但是趨向于零的“快慢”程度卻有不同.定義例如，例5解常用等價(jià)無(wú)窮小:證明例7求解定理(等價(jià)無(wú)窮小代換定理)例8解例9解解：原式例10求小結(jié)：