概率論 區(qū)間估計(jì)

§7.4區(qū)間估計(jì)

譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個實(shí)際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計(jì)為1000條.

若我們能給出一個區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了.實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.也就是說，我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.

習(xí)慣上把置信水平記作

，這里是一個很小的正數(shù).置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.例如，通常可取置信水平=0.95或0.9等.根據(jù)一個實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我小的區(qū)間，使們求出一個盡可能置信區(qū)間.稱區(qū)間為的置信水平為的引例已知X~N(

,1),

不同樣本算得的

的估計(jì)值不同，因此除了給出

的點(diǎn)估計(jì)外,還希望根據(jù)所給的樣本確定一個隨機(jī)區(qū)間,使其包含參數(shù)真值的概率達(dá)到指定的要求.

的無偏、有效點(diǎn)估計(jì)為隨機(jī)變量常數(shù)如引例中，要找一個區(qū)間,使其包含

的真值的概率為0.95.(設(shè)n=5)取查表得這說明即稱隨機(jī)區(qū)間為未知參數(shù)

的置信度為0.95的置信區(qū)間.

反復(fù)抽取容量為5的樣本,都可得一個區(qū)間。在這些區(qū)間中不一定都包含未知參數(shù)

的真值,而包含真值的區(qū)間占95%.置信區(qū)間的意義若測得一組樣本值,它可能包含也可能不包含

的真值,反復(fù)則得一區(qū)間(1.86–0.877,1.86+0.877)抽樣得到的區(qū)間中有95%包含

的真值.算得當(dāng)置信區(qū)間為時區(qū)間的長度為——達(dá)到最短取

=0.05設(shè)

為待估參數(shù),

是一給定的數(shù),(0<<1).

若能找到統(tǒng)計(jì)量,使則稱為

的置信水平為1-

的置信區(qū)間或區(qū)間估計(jì).置信下限置信上限

置信區(qū)間的定義

反映了估計(jì)的可靠度,

越小,越可靠.

置信區(qū)間的長度反映了估計(jì)精度

越小,1-越大,估計(jì)的可靠度越高,但

確定后,置信區(qū)間的選取方法不唯一,

常選最小的一個.幾點(diǎn)說明越小,估計(jì)精度越高.這時,往往增大,因而估計(jì)精度降低.

求參數(shù)置信區(qū)間保證可靠性先

提高精度再處理“可靠性與精度關(guān)系”的原則

尋找一個樣本的函數(shù)它含有待估參數(shù),不含其它未知參數(shù),它的分布已知,且分布不依賴于待估參數(shù)(常由

的點(diǎn)估計(jì)出發(fā)考慮

).例如求置信區(qū)間的步驟—稱為樞軸量取樞軸量

給定置信度1

,定出常數(shù)a,b,使得(引例中

由解出得置信區(qū)間

引例中

§7.4區(qū)間估計(jì)明確問題，求什么？尋找一個樣本的函數(shù)含待估參數(shù),不含其它未知參數(shù),且分布已知例如求置信區(qū)間的步驟—稱為樞軸量取樞軸量

由置信度1

,確定常數(shù)a,b,使得(引例中

由解出得置信區(qū)間

引例中

§7.5正態(tài)總體的均值與方差

的置信區(qū)間

定理1(樣本均值的分布，方差已知)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本，則有復(fù)習(xí)

定理2(樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有復(fù)習(xí)

定理3(樣本均值的分布，方差未知)

設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有復(fù)習(xí)

定理4(兩總體樣本均值差的分布，方差未知)

分別是這兩個樣本的且X與Y獨(dú)立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值,則有Y1,Y2,…,是樣本復(fù)習(xí)

定理5(兩總體樣本方差比的分布)

分別是這兩個樣本的且X與Y獨(dú)立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值，則有Y1,Y2,…,是樣本復(fù)習(xí)方差

2已知方差

2未知一、一個正態(tài)總體X~N(

2)的情形已知某地區(qū)新生嬰兒的體重X~隨機(jī)抽查100個嬰兒…得100個體重?cái)?shù)據(jù)X1,X2,…,X100

的區(qū)間估計(jì)求（置信水平為1-

）.(1)方差

2已知,

的置信區(qū)間由公式(一)(1)由確定(2)方差

2未知,

的置信區(qū)間

由公式(2)(3)當(dāng)

未知時,方差

2的置信區(qū)間選取??則由公式(4)例1

某工廠生產(chǎn)一批滾珠,其直徑X服從正態(tài)分布N(

2),現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)(1)若

2=0.06,求

的置信區(qū)間(2)若

2未知,求

的置信區(qū)間(3)求方差

2的置信區(qū)間.抽取

6

件,

測得直徑為15.1,

14.8,

15.2,

14.9,

14.6,

15.1置信度均為0.95例1由給定數(shù)據(jù)算得解

(1)即由公式(1)得

的置信區(qū)間為由給定數(shù)據(jù)算得(2)取查表由給定數(shù)據(jù)算得由公式(2)得

的置信區(qū)間為由公式(3)得

2

的置信區(qū)間為(3)選取樞軸量查表得為總體

N(

1

12)的樣本,為總體N(

2

22)

的樣本,置信度為1

分別表示兩樣本的均值與方差二、兩個正態(tài)總體的情形(二)相互獨(dú)立,的置信區(qū)間為(1)已知,的置信區(qū)間公式(5)(2)未知(但)的置信區(qū)間的置信區(qū)間為取(3)方差比的置信區(qū)間(

1,

2未知)公式(9)由F分布的分位數(shù)的特性？因此,方差比的置信區(qū)間為公式(9)例2

某廠利用兩條自動化流水線罐裝番茄醬.現(xiàn)分別從兩條流水線上抽取了容量分別為13與17的兩個相互獨(dú)立的樣本

與已知假設(shè)兩條流水線上罐裝的番茄醬的重量都服從正態(tài)分布,其均值分別為

1與

2例2(1)若它們的方差相同,求均值

若不知它們的方差是否相同,求它們的方差比的置信度為0.95的置信區(qū)間的置信度為0.95的置信區(qū)間;差解查表得由公式的置信區(qū)間為(1)取統(tǒng)計(jì)量(2)查表得

由公式得方差比的置信區(qū)間為求正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間利用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)軟件

SASMATLABSPSS三、單側(cè)置信區(qū)間上述置信區(qū)間都是雙側(cè)的，但對于有些實(shí)際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在某方向的界限.

例如對于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了.

這時，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.定義：滿足設(shè)是一個待估參數(shù)，給定

若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱為單側(cè)置信下限.又若統(tǒng)計(jì)量滿足則稱區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.

稱為單側(cè)置信上限.例3

已知燈泡壽命X服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn),測得壽命為

1050,1100,1120,1250,1280(小時)求燈泡壽命均值的單側(cè)置信下限與壽命方差的單側(cè)置信上限（置信度為0.95）.例3(1)選取樞軸量(2)選取樞軸量四、非正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)若總體

X的分布未知,但樣本容量很大,

由中心極限定理,可近似地視若

2已知,

則

的置信度為1-

的置信區(qū)間可取為若

2未知,

則

的置信度為1-

的置信區(qū)間可取為(四)某單位要估計(jì)平均每天職工的總醫(yī)療費(fèi)，觀察了30天,其總金額的平均值是170元，標(biāo)準(zhǔn)差為30元，試決定職工每天總醫(yī)療費(fèi)用平均值的區(qū)間估計(jì)（置信水平為0.95）.解：設(shè)每天職工的總醫(yī)療費(fèi)為X，近似服從正態(tài)分布大樣本，由中心極限定理，E(X)=,D(X)=未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S近似代替.取樞軸量近似N(0,1)分布

對給定的置信水平,確定分位數(shù)

使得均值的置信水平為的區(qū)間估計(jì)為將=170,S=30,=1.96,n=30代入得,的置信水平為0.95的置信區(qū)間是[159.27,180.74]得均值的置信水平為的區(qū)間估計(jì)為參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)7-2矩估計(jì)極大似然估計(jì)評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)？單個正態(tài)總體兩個正態(tài)總體單側(cè)雙側(cè)本章小結(jié)

請自己畫一張表，將各種情況下的區(qū)間估計(jì)加以總結(jié).一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)最大似然估計(jì).一個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì).2.難點(diǎn)顯著性水平

與置信區(qū)間.矩估計(jì)量估計(jì)量的評選二、主要內(nèi)容最大似然估計(jì)量似然函數(shù)無偏性正態(tài)總體均值方差的置信區(qū)間與上下限有效性置信區(qū)間和上