連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的S域分析

1連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的S域分析

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬2

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析

從傅立葉變換到拉普拉斯變換

單邊拉普拉斯變換及其存在的條件

常用信號(hào)的拉普拉斯變換拉普拉斯變換與傅里葉變化的關(guān)系拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換反變換3傅里葉變換的缺陷Fourier變換的不足：1、某些信號(hào)不存在Fourier變換，無(wú)法利用頻域分析方法；2、頻域分析方法只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，而不能求解零輸入響應(yīng)；3、頻域分析方法中，F(xiàn)ourier反變換一般比較復(fù)雜；4一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換f(t)=eatu(t)a>0的傅里葉變換？將f(t)乘以衰減因子e

-

t不存在!若

5一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換推廣到一般情況令s=

+j

定義：對(duì)f(t)e-

t求傅里葉反變換可推出拉普拉斯正變換拉普拉斯反變換6一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換

拉普拉斯變換符號(hào)表示及物理含義

符號(hào)表示：

物理意義：信號(hào)f(t)可分解成復(fù)指數(shù)est的線性組合F(s)為單位帶寬內(nèi)各諧波的合成振幅，是密度函數(shù)。s是復(fù)數(shù)稱(chēng)為復(fù)頻率，F(xiàn)(s)稱(chēng)復(fù)頻譜。7二、單邊拉普拉斯變換及其存在的條件關(guān)于積分下限的說(shuō)明：1、積分下限定義為零的左極限，目的在于分析和計(jì)算時(shí)可以直接利用起始給定的0-狀態(tài)。

單邊拉普拉斯變換2、一般把積分下限簡(jiǎn)寫(xiě)為0，含義與0-相同。8二、單邊拉普拉斯變換及其存在的條件

單邊拉普拉斯變換存在的條件對(duì)任意信號(hào)f(t)

，若滿足上式，則f(t)應(yīng)滿足(

>

0)充分條件為：9二、單邊拉普拉斯變換及其存在的條件

單邊拉普拉斯變換存在的條件

>

0稱(chēng)收斂條件收斂區(qū)j

0

0稱(chēng)絕對(duì)收斂坐標(biāo)S平面右半平面左半平面10例1

計(jì)算下列信號(hào)拉普拉斯變換的收斂域。分析：求收斂域即找出滿足的

取值范圍。11例1

計(jì)算下列信號(hào)拉普拉斯變換的收斂域。解：判定準(zhǔn)則：收斂域?yàn)椋喝玈平面12例1

計(jì)算下列信號(hào)拉普拉斯變換的收斂域。解：判定準(zhǔn)則：代入得：對(duì)于有：因此收斂域?yàn)椋?3例1

計(jì)算下列信號(hào)拉普拉斯變換的收斂域。解：判定準(zhǔn)則：代入得：對(duì)于有：因此收斂域?yàn)椋?4例1

計(jì)算下列信號(hào)拉普拉斯變換的收斂域。解：判定準(zhǔn)則：對(duì)于有：因此收斂域?yàn)椋?5例1

計(jì)算下列信號(hào)拉普拉斯變換的收斂域。解：判定準(zhǔn)則：代入得：對(duì)于任意因此收斂域不存在16三、常用信號(hào)的拉普拉斯變換1.

指數(shù)型函數(shù)etu(t)同理：17三、常用信號(hào)的拉普拉斯變換1.

指數(shù)型函數(shù)etu(t)正弦信號(hào)18三、常用信號(hào)的拉普拉斯變換2.

階躍函數(shù)u(t)19三、常用信號(hào)的拉普拉斯變換3.

沖激偶信號(hào)取樣性20三、常用信號(hào)的拉普拉斯變換4.

t的正冪函數(shù)tn，n為正整數(shù)，t>0根據(jù)以上推理,可得21常用信號(hào)的單邊拉氏變換22常用信號(hào)的單邊拉氏變換23常用信號(hào)的單邊拉氏變換24常用信號(hào)的單邊拉氏變換25

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析

從傅立葉變換到拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換及其存在的條件常用信號(hào)的拉普拉斯變換

拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系

拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換反變換26四、拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系2）當(dāng)收斂域包含j

軸時(shí)，拉普拉斯變換和傅里葉變換均存在。1）當(dāng)收斂域不包含j

軸時(shí)，拉普拉斯變換存在而傅里葉變換不存在。3）當(dāng)收斂域的收斂邊界位于j

軸時(shí)，拉普拉斯變換和傅里葉變換均存在。27例1計(jì)算下列信號(hào)的拉普拉斯變換與傅里葉變換。解：時(shí)域信號(hào) 傅里葉變換 拉普拉斯變換不存在28五、單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)1.

線性特性若則292.

展縮特性若則五、單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)只允許展縮，不允許翻轉(zhuǎn)，因?yàn)閱芜?03.

時(shí)移特性若則五、單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)731例2

已知信號(hào),求和的單邊Laplace變換解：利用因此對(duì)于可以直接應(yīng)用時(shí)移特性32單邊周期信號(hào)拉氏變換33例

試求如圖所示周期信號(hào)的單邊Laplace變換。解：因?yàn)?所以 Re(s)>021344.

卷積特性五、單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)935例3

已知信號(hào),

求的Laplace變換解：求出兩個(gè)信號(hào)Laplace變換根據(jù)卷積特性可得10365.

乘積特性五、單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)11375.

乘積特性

乘積性質(zhì)兩種特殊情況：1）指數(shù)加權(quán)性質(zhì)（復(fù)頻域平移特性）若則2）線性加權(quán)性質(zhì)（復(fù)頻域微分特性）五、單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)1238例4

已知,求的Laplace變換解：根據(jù)線形加權(quán)特性可得類(lèi)推得根據(jù)指數(shù)加權(quán)特性可得13396.

微分特性證明：五、單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)14406.

微分特性重復(fù)應(yīng)用微分性質(zhì)，求得：五、單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)15一般掌握到第三階41例

已知,求的Laplace變換解：根據(jù)時(shí)域微分特性可得1642例

試求如圖所示信號(hào)的單邊Laplace變換。解：1)1943例6

試求如圖所示信號(hào)的單邊Laplace變換。解：2)3)20447.

積分特性若f-1(0-)=0，則有五、單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)17458.

初值定理和終值定理五、單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)18真分式：分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)46五、單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)47例5已知F(s)=s/(s+1),48連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的S域分析

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬149

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析

從傅立葉變換到拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換及其存在的條件常用信號(hào)的拉普拉斯變換拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系拉普拉斯變換的性質(zhì)

拉普拉斯變換反變換50六、拉普拉斯反變換

計(jì)算拉普拉斯反變換方法：1.利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理2.采用部分分式展開(kāi)法直接由Laplace反變換分解成簡(jiǎn)單表示式之和，然后得到原信號(hào)51六、拉普拉斯反變換

——留數(shù)法上述積分式等于圍線中被積函數(shù)所有極點(diǎn)的留數(shù)之和。設(shè)在極點(diǎn)s=pi處的留數(shù)為ri，并設(shè)在圍線中共有n個(gè)極點(diǎn)。52

計(jì)算留數(shù)的方法：1.若極點(diǎn)pi六、拉普拉斯反變換

——留數(shù)法為的單極點(diǎn)2.若極點(diǎn)pi為的k階重極點(diǎn)53例1

采用留數(shù)法求F(s)的反變換。解：令F(s)的分母為零，求出F(s)具有兩個(gè)單極點(diǎn)0，-3及一個(gè)二階重極點(diǎn)-1。利用留數(shù)公式求出相應(yīng)極點(diǎn)的留數(shù)兩個(gè)單極點(diǎn)0，-3的留數(shù)分別是：54例1

采用留數(shù)法求F(s)的反變換。解：二階重極點(diǎn)-1的留數(shù)如下所以55六、拉普拉斯反變換

——部分分式展開(kāi)法

歸納：1)

F(s)為有理真分式(m<n)，極點(diǎn)為一階極點(diǎn)562)

F(s)包含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)式中共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在表示分母多項(xiàng)式的其余部分，引入符號(hào)57六、拉普拉斯反變換

——部分分式展開(kāi)法

歸納：3)

F(s)為有理真分式(m<n)，極點(diǎn)為r重階極點(diǎn)58六、拉普拉斯反變換

——部分分式展開(kāi)法

歸納：4)

F(s)為有理假分式(m≥n)為真分式，根據(jù)極點(diǎn)情況按1)或2)展開(kāi)。59例2

采用部分分式展開(kāi)法求下列F(s)的反變換。解：F(s)為有理真分式，極點(diǎn)為一階極點(diǎn)。60例2

采用部分分式展開(kāi)法求下列F(s)的反變換。解：61例2

采用部分分式展開(kāi)法求下列F(s)的反變換。解：F(s)為有理假分式，將F(s)化為有理真分式62例3

求下列F(s)的反變換。解：63例3

求下列F(s)的反變換。解：令s2=q,64例3

求下列F(s)的反變換。解：65總結(jié)求拉普拉斯反變換方法從以上分析可以看出，當(dāng)F(s)為有理分式時(shí)，可利用部分分式分解和查表的方法求得逆變換，無(wú)需引用留數(shù)定理。如果F(s)表達(dá)式為有理分式與e-st相乘時(shí)，可再借助延時(shí)定理得出逆變換。當(dāng)F(s)分母為二次多項(xiàng)式時(shí)，可進(jìn)行配方。利用性質(zhì)當(dāng)F(s)為無(wú)理函數(shù)時(shí)，需利用留數(shù)定理求逆變換，然而，這種情況在電路分析問(wèn)題中幾乎不會(huì)遇到。66信號(hào)的復(fù)頻域分析小結(jié)信號(hào)的復(fù)頻域分析實(shí)質(zhì)是將信號(hào)分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合。信號(hào)的復(fù)頻域分析使用的數(shù)學(xué)工具是拉普拉斯變換。利用基本信號(hào)的復(fù)頻譜和拉普拉斯變換的性質(zhì)可對(duì)任意信號(hào)進(jìn)行復(fù)頻域分析。復(fù)頻域分析主要用于線性系統(tǒng)的分析。67

連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的復(fù)頻域分析

微分方程描述系統(tǒng)的S域分析電路的S域模型268一、微分方程描述系統(tǒng)的S域分析時(shí)域微分方程時(shí)域響應(yīng)y(t)S域響應(yīng)Y(s)拉氏變換拉氏變換解微分方程解代數(shù)方程S域代數(shù)方程369一、微分方程描述系統(tǒng)的S域分析

二階系統(tǒng)響應(yīng)的S域求解已知f(t)，y(0-)，y'(0-)，求y(t)。1)

經(jīng)拉氏變換將域微分方程變換為s域代數(shù)方程2)

求解s域代數(shù)方程，求出Yx(s),Yf(s)3)

拉氏反變換，求出響應(yīng)的時(shí)域表示式

求解步驟：470一、微分方程描述系統(tǒng)的S域分析

二階系統(tǒng)響應(yīng)的S域求解Yx(s)Yf(s)y"(t)a1y'(t)a2y(t)571例1系統(tǒng)的微分方程為

y''(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+8f(t)

激勵(lì)f(t)=e-tu(t)，初始狀態(tài)y(0-)=3，

y'(0-)=2，求響應(yīng)y(t)。解：對(duì)微分方程取拉氏變換可得零輸入響應(yīng)：672例1系統(tǒng)的微分方程為

y''(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+8f(t)

激勵(lì)f(t)=e-tu(t)，初始狀態(tài)y(0-)=3，

y'(0-)=2，求響應(yīng)y(t)。解：零狀態(tài)響應(yīng)：773二、電路的S域模型時(shí)域復(fù)頻域874二、電路的S域模型R、L、C串聯(lián)形式的S域模型975例2圖示電路初始狀態(tài)為vc(0-)=-E,求電容兩端電壓vc(t)。解：建立電路的s域模型由s域模型寫(xiě)回路方程求出回路電流電容電壓為1076

系統(tǒng)函數(shù)H(s)與系統(tǒng)特性系統(tǒng)函數(shù)H(s)

系統(tǒng)函數(shù)的定義

H(s)與h(t)的關(guān)系

S域求零狀態(tài)響應(yīng)求H(s)的方法零極點(diǎn)與系統(tǒng)時(shí)域特性零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻響特性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性1177一、系統(tǒng)函數(shù)H(s)1.定義

系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，輸出的拉氏變換式與輸入的拉式變換式之比，記為H(s)。1278一、系統(tǒng)函數(shù)H(s)2.H(s)與h(t)的關(guān)系h(t)

(t)

yf(t)=

(t)*h(t)1379一、系統(tǒng)函數(shù)H(s)3.求零狀態(tài)響應(yīng)h(t)H(s)f(t)yf(t)=f(t)*h(t)F(s)Yf(s)=F(s)H(s)1480一、系統(tǒng)函數(shù)H(s)4.求H(s)的方法①

由系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求解：H(s)=L[h(t)]③

由系統(tǒng)的微分方程寫(xiě)出H(s)②

由定義式1581二、零極點(diǎn)與時(shí)域特性

零極點(diǎn)分布圖極點(diǎn)零點(diǎn)1682二、零極點(diǎn)與時(shí)域特性

H(s)與h(t)的關(guān)系sjw0u(t)e-t

u(t)et

u(t)1-131111)

位于s

軸的單極點(diǎn)1783二、零極點(diǎn)與時(shí)域特性

H(s)與h(t)的關(guān)系32)

共軛單極點(diǎn)sjw0-11sin(t)e-t

u(t)sin(t)etu(t)sin(t)u(t)1-11884三、零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻響特性

頻響特性是指系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)之下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨信號(hào)頻率的變化情況。系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，令H(s)中

s=jw

，則得系統(tǒng)頻響特性幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)1985三、零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻響特性

系統(tǒng)頻響特性對(duì)于零極增益表示的系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，令s=jw，則得2086三、零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻響特性復(fù)數(shù)a和b及a-b的向量表示系統(tǒng)函數(shù)的向量表示87三、零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻響特性連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的S域分析

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬1

系統(tǒng)函數(shù)H(s)與系統(tǒng)特性系統(tǒng)函數(shù)H(s)

系統(tǒng)函數(shù)的定義

H(s)與h(t)的關(guān)系

S域求零狀態(tài)響應(yīng)求H(s)的方法零極點(diǎn)與系統(tǒng)時(shí)域特性零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻響特性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性2四、H(s)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是3

若H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面，則h(t)是按指數(shù)規(guī)律衰減的因果函數(shù)，h(t)是絕對(duì)可積的，所以H(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)也是穩(wěn)定系統(tǒng)，其逆也成立。例2判斷下述因果系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解：1）極點(diǎn)為s=-1和s=-2，都在s左半平面。顯然輸出也有界，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。若激勵(lì)為有界輸入u(t)，則其輸出為4例2判斷下述系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解：2）極點(diǎn)為s=±j

0，是虛軸上的一對(duì)共軛極點(diǎn)。顯然，輸出不是有界信號(hào)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。若激勵(lì)為有界輸入sin(

0t)u(t)，則其輸出為5

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬

系統(tǒng)的基本聯(lián)接系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的并聯(lián)反饋環(huán)路連續(xù)系統(tǒng)的模擬框圖

直接型結(jié)構(gòu)級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)并聯(lián)型結(jié)構(gòu)6一、系統(tǒng)的基