概率論 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1概率論的基本概念

(probabilitytheory)

ChapterOne概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2§1.1隨機(jī)試驗(yàn)(RandomTrial)§1.2樣本空間、隨機(jī)事件

(samplespace、RandomEvents)§1.3頻率與概率

(FrequencyandProbability)§1.4古典概型(ClassicalProbability)§1.5條件概率(ConditionalProbability)§1.6事件的獨(dú)立性

(IndependenceofEvents)內(nèi)容§1.1隨機(jī)試驗(yàn)(RandomTrial)ChapterOne4確定性現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。不確定現(xiàn)象在一定條件下不一定發(fā)生的現(xiàn)象。5隨機(jī)現(xiàn)象(Randomphenomenon)：

馬路口碰到紅綠燈麥穗上麥粒的顆數(shù)

每次試驗(yàn)前不能預(yù)言出現(xiàn)什么結(jié)果每次試驗(yàn)后出現(xiàn)的結(jié)果不止一個(gè)在相同的條件下進(jìn)行大量觀察或試驗(yàn)時(shí)，出現(xiàn)的結(jié)果有一定的規(guī)律性

——稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

6A.太陽(yáng)從東方升起；B.明天的最高溫度；C.上拋物體一定下落；D.新生嬰兒的體重.我們的生活和隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)下了不解之緣.下面的現(xiàn)象哪些是隨機(jī)現(xiàn)象？7

從觀察試驗(yàn)開始

研究隨機(jī)現(xiàn)象，首先要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行觀察試驗(yàn).這里的試驗(yàn)，指的是隨機(jī)試驗(yàn).8

試驗(yàn)如具有以下的特點(diǎn)：

⑴可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；⑵每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；⑶進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。我們將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)(Randomexperiment)。,用E表示。9請(qǐng)回答:隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言?否！在一定條件下對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量觀測(cè)會(huì)發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性.10例如:

一門火炮在一定條件下進(jìn)行射擊，個(gè)別炮彈的彈著點(diǎn)可能偏離目標(biāo)而有隨機(jī)性的誤差，但大量炮彈的彈著點(diǎn)則表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如一定的命中率，一定的分布規(guī)律等等.§1.2樣本空間、隨機(jī)事件

（SampleSpace、RandomEvents）ChapterOne樣本空間——隨機(jī)試驗(yàn)E所有可能的結(jié)果樣本空間的元素,即E

的直接結(jié)果,稱為隨機(jī)事件

——

的子集,記為A,B,…它是滿足某些條件的樣本點(diǎn)所組成的集合.組成的集合稱為樣本空間記為（或S）樣本點(diǎn)(or基本事件)

常記為

、e

，

={}，S＝{e};13其中T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度觀察某地區(qū)每天的最高溫度與最低溫度觀察總機(jī)每天9:00~10:00接到的電話次數(shù)有限樣本空間無限樣本空間投一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)例1

給出一組隨機(jī)試驗(yàn)及相應(yīng)的樣本空間14

隨機(jī)事件常用大寫字母A,B,C,…表示，它是樣本空間S的子集合。

2、隨機(jī)事件(Randomevent)在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)子集A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱事件A發(fā)生。隨機(jī)事件

——S的子集,記為A,B,…它是滿足某些條件的樣本點(diǎn)所組成的集合.基本事件

——

僅由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的子集它是隨機(jī)試驗(yàn)的直接結(jié)果,每次試驗(yàn)必定發(fā)生且只可能發(fā)生一個(gè)基本事件.

必然事件——全體樣本點(diǎn)組成的事件,記為

,每次試驗(yàn)必定發(fā)生的事件.隨機(jī)事件發(fā)生

——組成隨機(jī)事件的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生不可能事件——不包含任何樣本點(diǎn)的事件,記為

,每次試驗(yàn)必定不發(fā)生的事件.16

樣本空間S={1，2，3，4，5，6}，隨機(jī)事件A={1，2，3}，B={4，5，6}；隨機(jī)事件C={1}是基本事件；若1，2，3中任一點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),事件A發(fā)生；反之,

若事件A發(fā)生，則1，2，3中至少有一點(diǎn)出現(xiàn)。舉例：E4：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；17

對(duì)于一個(gè)試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中必然發(fā)生的事件，稱為E的必然事件(Certainevent)；在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生的事件，稱為E的不可能事件(Impossibleevent)

。例如，在擲骰子試驗(yàn)中，“擲出點(diǎn)數(shù)小于7”是必然事件;而“擲出點(diǎn)數(shù)8”則是不可能事件.18——

A

包含于B

事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B

發(fā)生AB

且1.事件的包含2.事件的相等二、事件間的關(guān)系與運(yùn)算

(Relationandoperationofevents)19

事件A與事件B

至少有一個(gè)發(fā)生發(fā)生的和事件——

的和事件——

——

A

與B

的和事件

3.事件的并(和)20

或事件A與事件B

同時(shí)發(fā)生發(fā)生的積事件

——

的積事件——

——

A

與B

的積事件

4.事件的交(積)21發(fā)生

事件A發(fā)生，但事件B

不發(fā)生

——

A

與B

的差事件5.事件的差22——

A

與B

互斥A、

B不可能同時(shí)發(fā)生AB兩兩互斥兩兩互斥6.事件的互斥(互不相容)23——

A

與B

互相對(duì)立每次試驗(yàn)A、

B中有且只有一個(gè)發(fā)生A稱B

為A的對(duì)立事件(or逆事件)，記為7.事件的對(duì)立符號(hào) 集合含義 事件含義Ω

全集 樣本空間,必然事件Φ

空集 不可能事件ω∈Ω

集合的元素 樣本點(diǎn){ω} 單點(diǎn)集 基本事件AΩ

一個(gè)集合 一個(gè)事件AB A的元素在B中 A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A=B 集合A與B相等 事件A與B相等A∪B A與B的所有元素 A與B至少有一個(gè)發(fā)生A∩B A與B的共同元素 A與B同時(shí)發(fā)生ā A的補(bǔ)集 A的對(duì)立事件A-B 在A而不在B的元素 A發(fā)生而B不發(fā)生A∩B=φ

A與B無公共元素 A與B互斥25

吸收律

冪等律

差化積

重余律運(yùn)算律對(duì)應(yīng)事件運(yùn)算集合運(yùn)算

交換律

結(jié)合律

分配律

反演律運(yùn)算順序：逆積和差，括號(hào)優(yōu)先。27

例

在圖書館中隨意抽取一本書，表示數(shù)學(xué)書，表示中文書，表示平裝書.——抽取的是精裝中文版數(shù)學(xué)書——精裝書都是中文書——非數(shù)學(xué)書都是中文版的，且中文版的書都是非數(shù)學(xué)書則事件28事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生具有隨機(jī)性，它發(fā)生的可能性大小是其本身所固有的性質(zhì)，概率是度量某事件發(fā)生可能性大小的一種數(shù)量指標(biāo).它介于0與1之間.

在這一節(jié)中，我們簡(jiǎn)要介紹了隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間隨機(jī)事件及其概率給出了事件的集合表示29

那么要問:如何求得某事件的概率呢?下面就來回答這個(gè)問題.

研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事率件概的§1.3頻率與概率

(FrequencyandProbability)ChapterOne31

研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.事件的概率概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！32

了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對(duì)人們的生活有什么意義呢？

我先給大家舉幾個(gè)例子，大家再補(bǔ)充幾個(gè)例子.33

例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險(xiǎn)金額.34

了解來商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員.35

了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.36一、頻率(Frequency)頻率穩(wěn)定性設(shè)在n

次試驗(yàn)中，事件A

發(fā)生了m

次，則稱為事件A發(fā)生的頻率

在充分多次試驗(yàn)中，事件的頻率總在一個(gè)定值附近擺動(dòng)，而且，試驗(yàn)次數(shù)越多，一般來說擺動(dòng)越小.這個(gè)性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性.37投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù)

n=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069

n=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005頻率穩(wěn)定性的實(shí)例

蒲豐(Buffon)投幣

皮爾森(Pearson)投幣38例

DeweyG.統(tǒng)計(jì)了約438023個(gè)英語(yǔ)單詞中各字母出現(xiàn)的頻率,發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006福爾莫斯破密碼

39(1)0

fn(A)

1；(2)fn(S)＝1；fn(

)=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(A

B)＝fn(A)

＋fn(B).實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，fn(A)逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值。可將此穩(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率。

頻率的性質(zhì)40

頻率的應(yīng)用第五章指出:當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)有事件發(fā)生的概率事件發(fā)生的頻率如：根據(jù)百年統(tǒng)計(jì)資料可得世界每年發(fā)生大地震的概率統(tǒng)計(jì)概率41

近百年世界重大地震1905.04.04克什米爾地區(qū)8.088萬(wàn)1906.08.17智利瓦爾帕萊索港地區(qū)

8.4

2

1917.01.20印度尼西亞巴厘島1.5萬(wàn)1920.12.16中國(guó)甘肅8.610萬(wàn)1923.09.01日本關(guān)東地區(qū)7.914.2萬(wàn)1935.05.30巴基斯坦基達(dá)地區(qū)7.55萬(wàn)

時(shí)間地點(diǎn)級(jí)別死亡“重大”的標(biāo)準(zhǔn)①震級(jí)7級(jí)左右②

死亡5000人以上42

時(shí)間地點(diǎn)級(jí)別死亡1948.06.28日本福井地區(qū)7.30.51萬(wàn)1970.01.05中國(guó)云南7.71萬(wàn)1976.07.28中國(guó)河北省唐山7.824.21978.09.16伊朗塔巴斯鎮(zhèn)地區(qū)7.9

1.5

1995.01.17日本阪神工業(yè)區(qū)7.20.6萬(wàn)1999.08.17土耳其伊茲米特市7.41.7萬(wàn)2003.12.26伊朗克爾曼省6.83萬(wàn)2004.12.26印尼蘇門答臘島附近海域

9.015萬(wàn)43

時(shí)間地點(diǎn)級(jí)別死亡2005.10.8南亞7.67.5萬(wàn)2008.5.12中國(guó)汶川7.8

實(shí)際中，當(dāng)概率不易求出時(shí)，人們常通過作大量試驗(yàn)，用事件出現(xiàn)的頻率去近似概率.世界每年發(fā)生大地震概率約為14%44

概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的定義在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的n

次試驗(yàn)中,事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng),

且隨n越大擺動(dòng)幅度越小,則稱p為事件A

的概率,記作P(A).對(duì)本定義的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：直觀易懂缺點(diǎn)：粗糙模糊不便使用45

醫(yī)生在檢查完病人的時(shí)候搖搖頭“你的病很重，在十個(gè)得這種病的人中只有一個(gè)能救活.”當(dāng)病人被這個(gè)消息嚇得夠嗆時(shí)，醫(yī)生繼續(xù)說“但你是幸運(yùn)的.因?yàn)槟阏业搅宋?，我已?jīng)看過九個(gè)病人了，他們都死于此病.”

醫(yī)生的說法對(duì)嗎？46歷史上概率的三次定義③公理化定義②統(tǒng)計(jì)定義①古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出

即通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率.在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈.47二、概率的公理化定義公理2

P(S)=1

(2)

公理3

若事件A1,A2

,…

兩兩互不相容，則有

(3)這里事件個(gè)數(shù)可以是有限或無限的.

設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于S中的每一個(gè)事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P()滿足下述三條公理:

公理10P(A)1

(1)48公理2

P(S)=1

(2)

公理3

若事件A1,A2

,…

兩兩互不相容，則有

(3)這里事件個(gè)數(shù)可以是有限或無限的.公理1說明，任一事件的概率大于0；公理2說明，必然事件的概率為1；公理3說明，對(duì)于任何互不相容（互斥）的事件序列，這些事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率正好等于它們各自概率之和.公理10P(A)1

(1)49

三概率的性質(zhì)

有限可加性:設(shè)

兩兩互斥

若

50例

有r個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是365天的任何一天是等可能的，試求事件“至少有兩人同生日”的概率.

為求P(A),先求P()解：令A(yù)={至少有兩人同生日}={r個(gè)人的生日都不同}則51用上面的公式可以計(jì)算此事出現(xiàn)的概率為

=1-0.524=0.476

美國(guó)數(shù)學(xué)家伯格米尼曾經(jīng)做過一個(gè)別開生面的實(shí)驗(yàn)，在一個(gè)盛況空前、人山人海的世界杯足球賽賽場(chǎng)上，他隨機(jī)地在某號(hào)看臺(tái)上召喚了22個(gè)球迷，請(qǐng)他們分別寫下自己的生日，結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩人同生日.即22個(gè)球迷中至少有兩人同生日的概率為0.47652

這個(gè)概率不算小，因此它的出現(xiàn)不值得奇怪.計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，這個(gè)概率隨著球迷人數(shù)的增加而迅速地增加，如下頁(yè)表所示：53人數(shù)至少有兩人同 生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有這些概率都是在假定一個(gè)人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下計(jì)算出來的.實(shí)際上,這個(gè)假定并不完全成立，有關(guān)的實(shí)際概率比表中給出的還要大.當(dāng)人數(shù)超過23時(shí)，打賭說至少有兩人同生日是有利的.54

對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,有

BAB=AB+(B–A)P(B)=P(AB)+P(B–AB)

B-ABAB55

加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,有

推廣：56一般：右端共有項(xiàng).57例設(shè)A,B滿足P(A)=0.6,P(B)=0.7,

在何條件下，

P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？58A,B滿足P(A)=0.6,P(B)=0.7,

求

P(AB)的最大(小)值？解最小值在時(shí)取得——最小值——最大值最大值在時(shí)取得

例259例

設(shè)事件A,B的概率分別為

在下列三種情況下分別求的值：A包含于B606162例小王參加“智力大沖浪”游戲,他能答出甲、乙二類問題的概率分別為0.7和0.2,

兩類問題都能答出的概率為0.1.求小王：(1)答出甲類而答不出乙類問題的概率

(2)至少有一類問題能答出的概率

(3)兩類問題都答不出的概率63解事件A,B分別表示“能答出甲,乙類問題”(1)(2)(3)64課后同學(xué)問：

例1中小王他能答出第一類問題的概率為0.7,答出第二類問題的概率為0.2,兩類問題都能答出的概率為0.1.為什么不是？若是的話,則應(yīng)有而現(xiàn)在題中并未給出這一條件.在§1.6中將告訴我們上述等式成立的條件是：事件相互獨(dú)立.§1.4古典概型

(ClassicalProbability)基本計(jì)數(shù)原理

這里我們先簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)一下計(jì)算古典概率所用到的1.加法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,…；第m種方式有nm種方法,無論通過哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.例如，某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火車,也可以乘輪船.火車有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3

+2

種方法回答是基本計(jì)數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有n1種方法，第二個(gè)步驟有n2種方法,…；第m個(gè)步驟有nm種方法,必須通過每一步驟,才算完成這件事，例如，若一個(gè)男人有三頂帽子和兩件背心，問他可以有多少種打扮？可以有種打扮

加法原理和乘法原理是兩個(gè)很重要計(jì)數(shù)原理，它們不但可以直接解決不少具體問題，同時(shí)也是推導(dǎo)下面常用排列組合公式的基礎(chǔ).三、排列、組合的幾個(gè)簡(jiǎn)單公式排列和組合的區(qū)別：順序不同是不同的排列3把不同的鑰匙的6種排列而組合不管順序從3個(gè)元素取出2個(gè)的排列總數(shù)有6種從3個(gè)元素取出2個(gè)的組合總數(shù)有3種1、排列:

從n個(gè)不同元素取k個(gè)（1kn)的不同排列總數(shù)為：k=n時(shí)稱全排列排列、組合的幾個(gè)簡(jiǎn)單公式ABDC例如：n=4,k=3第1次選取第2次選取第3次選取BDCBCDBDC……從n個(gè)不同元素取k個(gè)（允許重復(fù)）（1kn)的不同排列總數(shù)為：例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k=3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能取法2、組合:從n個(gè)不同元素取

k個(gè)（1kn)的不同組合總數(shù)為：常記作，稱為組合系數(shù)。組合系數(shù)又常稱為二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)樗霈F(xiàn)在下面的二項(xiàng)式展開的公式中：3、組合系數(shù)與二項(xiàng)式展開的關(guān)系4、n個(gè)不同元素分為k組，各組元素?cái)?shù)目分別為r1,r2,…,rk的分法總數(shù)為r1個(gè)元素r2個(gè)元素rk個(gè)元素…n個(gè)元素因?yàn)?、若n個(gè)元素中有n1個(gè)帶足標(biāo)“1”，n2個(gè)帶足標(biāo)“2”，……，nk個(gè)帶足標(biāo)“k”，且，從這n個(gè)元素中取出r個(gè)，使得帶足標(biāo)“i”的元素有ri個(gè)，而這時(shí)不同取法的總數(shù)為

……

一、古典概型（等可能概型）

(Classicalprobability)

定義1

若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)；

(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.

稱這種試驗(yàn)為古典概型。

我們用i表示取到i號(hào)球，i=1,2,…,10.稱這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型.34791086152且每個(gè)樣本點(diǎn)(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同.S={1,2,…,10},則該試驗(yàn)的樣本空間如i=2

這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題.定義2

設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,其樣本空間S由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,事件A由k個(gè)樣本點(diǎn)組成.則定義事件A的概率為：稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法.

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

P(A)＝k/n＝

S中的樣本點(diǎn)總數(shù)排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具.解：設(shè)所求事件為A.例1

從0到9這十個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)，問大小在中間的號(hào)碼恰為5的概率是多少？解：設(shè)A表示指定的3人排在一起。例2有9個(gè)人排成一排，求指定的3人排在一起的概率。例3.從1，2，…，10共10個(gè)數(shù)中任取一數(shù)，設(shè)每個(gè)數(shù)以1/10的概率被取中，取后放回，先后取出7個(gè)數(shù)，求系列事件的概率：（1）A1={7個(gè)數(shù)全部不相同}（2）A2={不含10和1}（3）A3={10恰好出現(xiàn)兩次}

（4）A4={10至少出現(xiàn)兩次}（1）A1={7個(gè)數(shù)全部不相同}（2）A2={不含10和1}（3）A3={10恰好出現(xiàn)兩次}

（4）A4={10至少出現(xiàn)兩次}×解：分別用A、B、C表示甲、乙、丙抽到難簽。有放回時(shí)，每人面對(duì)的簽數(shù)是相同的例4(抽簽的公正性)設(shè)有3個(gè)難簽，5個(gè)易簽。甲、乙、丙依次抽取，分別在有放回與不放回的情況下計(jì)算各人抽到難簽的概率。乙抽取時(shí)，可能與甲的抽取情況有關(guān)，但可將甲與乙的抽取同時(shí)考慮，只要乙抽到難簽即可例4(抽簽的公正性)設(shè)有3個(gè)難簽，5個(gè)易簽。甲、乙、丙依次抽取，分別在有放回與不放回的情況下計(jì)算各人抽到難簽的概率。

比如日常生活中人們常愛用“抽簽”的辦法解決難于確定的問題，本題結(jié)果告訴我們，抽到“中簽”的概率與“抽簽”的先后次序無關(guān)。例將15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問(1)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)的概率是多少?解15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù)為每一種分配法為一基本事件，且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。

問(1)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(1)將3名優(yōu)秀生分配到三個(gè)班級(jí)使每個(gè)班級(jí)都有一名優(yōu)秀生的分法共3!種。對(duì)于這每一種分法，其余12名新生平均分配到3個(gè)班級(jí)中的分法共有12!／(4!4!4!)種。因此，每一班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有(3!×12!)／(4!4!4!)種。于是所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)的分法共有3種。對(duì)于這每一種分法，其余12名新生的分法(一個(gè)班級(jí)2名，另兩個(gè)班級(jí)各5名)有12!／(2!5!5!)種。因此3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)的分法共有(3×12!)／(2!5!5!)種，于是，所求概率為例

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無放回抽樣.解：令B={恰有k件次品}P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品例

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.有放回抽樣：解：令B={恰有k件次品}P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品例5.某城有N部卡車，車牌號(hào)從1到N，一人到該城去把遇到的n部卡車的牌號(hào)抄下，求A=“抄到最大牌號(hào)正好是K”的概率（1≤K≤N）。有放回抽樣最大牌號(hào)不超過K：最大牌號(hào)不超過K－1：樣本空間：抄到最大牌號(hào)正好是K的概率：例6設(shè)有5個(gè)人，每個(gè)人以同等機(jī)會(huì)被分配在7個(gè)房間中，求恰好有5個(gè)房間中各有一個(gè)人的概率。解：設(shè)A表示恰有5個(gè)房間中各有一個(gè)人。每人進(jìn)入各房間等可能基本事件總數(shù)為75個(gè)。生日問題

若P(A)0.01,則稱A為小概率事件.小概率事件

一次試驗(yàn)中小概率事件一般是不會(huì)發(fā)生的.若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了,則可懷疑該事件并非小概率事件.（懷疑假設(shè)的正確性）小概率原理————(即實(shí)際推斷原理)例區(qū)長(zhǎng)辦公室某一周內(nèi)曾接待過9次來

訪,這些來訪都是周三或周日進(jìn)行的,是否

可以斷定接待時(shí)間是有規(guī)定的？解假定辦公室每天都接待，則P(9次來訪都在周三、日)==0.0000127這是小概率事件,一般在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)發(fā)生.現(xiàn)居然發(fā)生了,故可認(rèn)為假定不成立,從而推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.

例8“等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的.1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性”的條件.需要注意的是：

在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率.2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？下面的算法錯(cuò)在哪里？錯(cuò)在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？正確的答案是：請(qǐng)思考：還有其它解法嗎？2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.3、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：

有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率.人房3、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：

有n個(gè)旅客，乘火車途經(jīng)N個(gè)車站，設(shè)每個(gè)人在每站下車的概率為1/N(N≥n)，求指定的n個(gè)站各有一人下車的概率.旅客車站3、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：

有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個(gè)人的生日互不相同的概率.人任一天3、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：

某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同.求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率.車禍天你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí).

早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不夠的.

把等可能推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)場(chǎng)合,人們引入了幾何概型.由此形成了確定概率的另一方法——幾何方法.可選內(nèi)容例9

某人的表停了，他打開收音機(jī)聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，已知電臺(tái)是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間短于十分鐘的概率9點(diǎn)10點(diǎn)10分鐘幾何概型(等可能概型的推廣)例9幾何概型

設(shè)樣本空間為有限區(qū)域

,若樣本點(diǎn)落入內(nèi)任何區(qū)域G

中的概率與區(qū)域G

的測(cè)度成正比,則樣本點(diǎn)落入G內(nèi)的概率為例兩船欲停同一碼頭,兩船在一晝夜內(nèi)獨(dú)立隨機(jī)地到達(dá)碼頭.若兩船到達(dá)后需在碼頭停留的時(shí)間分別是1小時(shí)與2小時(shí)，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需要等待空出碼頭的概率.解設(shè)船1到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為x,0

x<24

船2到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為y,0

y<24設(shè)事件A

表示任一船到達(dá)碼頭時(shí)需要等待空出碼頭xy2424y=xy=x+1y=x-2幾何概率中的悖論

幾何概率在現(xiàn)代概率概念的發(fā)展中曾經(jīng)起過重大作用，十九世紀(jì)時(shí)，不少人相信，只要找到適當(dāng)?shù)牡瓤赡苄悦枋?，就可以給概率問題以唯一的解答，然而有人卻構(gòu)造出這樣的例子，它包含著幾種似乎都同樣有理但卻互相矛盾的答案，大家可以課后去尋求著名的例子。幾何概率中的蒲豐投針問題試驗(yàn)：通過向2條平行線之間任意投擲一根針，可以估計(jì)出圓周率∏的大小方法：隨機(jī)模擬法，MonteCarlo方法。[貝特朗奇論]在半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)地取一條弦，問其長(zhǎng)超過該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率等于多少?

解此題有3中考慮方法：

[解法一]任何弦交圓周二點(diǎn)，不失一般性，先固定其中一點(diǎn)于圓周上，以此點(diǎn)為頂點(diǎn)作一等邊三角形，顯然只有落入此三角形內(nèi)的弦才滿足要求，這種弦的另一端跑過的弧長(zhǎng)為整個(gè)圓周的1/3，故所求概率等于1/3(見圖)。

[解法二]弦長(zhǎng)只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無關(guān)，因此可以假定它垂直于某一直徑。當(dāng)且僅當(dāng)它與圓心的距離小于1/2時(shí)，才滿足要求，因此所求概率為1/2(見圖)。ABM1/21/2CNAB

同一問題有三種不同的答案，細(xì)究其原因，發(fā)現(xiàn)是在取弦時(shí)采用不同的等可能性假定．在第一種解法中，假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，在第二種解法中則假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，而在第三種解法中又假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布。由此例看出，等可能性引起了怪現(xiàn)象。由于采用等可能性來定義概率有這種困難，因此后來就選擇另外的途徑。即在定義概率這一基本概念時(shí)只指明概率應(yīng)具有的基本性質(zhì)，而把具體概率的給定放在一邊。這樣做的好處是能針對(duì)不同的隨機(jī)試驗(yàn)給定適當(dāng)?shù)母怕?。與概率的頻率解釋及古典概型一樣，幾何概率的研究對(duì)于我們了解應(yīng)要求概率具有哪些基本性質(zhì)是很有幫助的。[解法三]弦被其中點(diǎn)唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)其中點(diǎn)屬于半徑為1/2的同心圓內(nèi)時(shí)，才滿足要求，此小圓面積為大圓面積的1/4，故所求概率等于1/4(見圖)。DAC118§1.5條件概率

(ConditionalProbability)

條件概率與乘法公式

全概率公式與Bayes公式119

在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).

一般P(A|B)≠P(A)

（conditionalprobability）120P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，P(A|B)=？擲骰子

已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個(gè)在集A中容易看到P(A|B)121P(A)=3/10，

又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)122P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7

本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，

計(jì)算P(A|B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個(gè)新的條件.

這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.123

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,則稱

(1)2.條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.1243.條件概率的性質(zhì)(自行驗(yàn)證)設(shè)B是一事件，且P(B)>0,則1.對(duì)任一事件A，0≤P(A|B)≤1;2.P(S|B)=1；3.設(shè)A1,…,An互不相容，則P[(A1∪…∪An

)|B]=P(A1|B)+…+P(An|B)而且，前面對(duì)概率所證明的一些重要性質(zhì)都適用于條件概率.請(qǐng)自行寫出.125

2)從加入條件后改變了的情況去算

4.條件概率的計(jì)算1)用定義計(jì)算:P(B)>0

擲骰子例：A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)126例擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:解:設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算127由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時(shí),可以反求P(AB).將A、B的位置對(duì)調(diào)，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率128例甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)300個(gè)乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}129所求為P(AB).設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是P(A|B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)130例設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？解：設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).131條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別

每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則P(A)是在該試驗(yàn)條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A)與P(A|B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.

而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.132例3例

盒中裝有5個(gè)產(chǎn)品,其中3個(gè)一等品，2個(gè)二等品,從中不放回地取產(chǎn)品,每次1個(gè),求（1）取兩次，兩次都取得一等品的概率;（2）取三次，第三次才取得一等品的概率;解

令A(yù)i

為第

i次取到一等品（1）(2)133利用這個(gè)公式可以計(jì)算積事件。乘法公式可以推廣到個(gè)事件的情形：若則134

到底誰(shuí)說的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大?“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰(shuí)抽到‘入場(chǎng)券’的機(jī)會(huì)都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！?35例.(抓鬮問題)

某年全國(guó)足球甲A聯(lián)賽的最后一輪,四川全興隊(duì)與解放軍八一隊(duì)的比賽在成都市進(jìn)行,這場(chǎng)比賽是關(guān)系到四川全興隊(duì)是否降級(jí)的命運(yùn)之戰(zhàn).肯定會(huì)異常精彩,可某班30位同學(xué)僅購(gòu)得一張票,大家都想去看,只好采取抓鬮的辦法抽簽決定,每個(gè)人依次從30個(gè)鬮中地抽取一鬮,試問,每人抽得此票的機(jī)會(huì)是否相等?（抽簽的順序與機(jī)會(huì)有關(guān)系嗎？）136

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.綜合運(yùn)用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0137

設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它總是與A1,A2,…,An之一同時(shí)發(fā)生，則三、全概率公式(Completeprobabilityformula)138

設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,全概率公式:稱滿足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組.則對(duì)任一事件B，有另常將全概率公式敘述為：139在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算P(B)不易,但B總是伴隨著某個(gè)Ai出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組Ai往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算.全概率公式的來由,不難由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了許多部分之和.它的理論和實(shí)用意義在于:140

某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是

每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我們還可以從另一個(gè)角度去理解141

例有三個(gè)箱子,分別編號(hào)1,2,3。1號(hào)箱裝有1紅球,4白球;2號(hào)箱裝有2紅球,3白球;3號(hào)箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱,再?gòu)南渲腥稳∫磺?，求取到紅球的概率。解：記

Ai={球取自

i

號(hào)箱},

i

=1,2,3;B={取得紅球}。即B=A1B∪A2B∪A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥。B發(fā)生總是伴隨著A1,A2,A3之一同時(shí)發(fā)生，于是，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式142將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式。對(duì)和式中的各項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得143

全概率公式之所以有力，就在于它概括了一種普遍的解題思路：化整為零，各個(gè)擊破。144解：以A1,A2,A3表示事件“取得的這箱產(chǎn)品是甲、乙、丙廠生產(chǎn)”；以B表示事件“取得的產(chǎn)品為正品”，于是：

145

全概率公式之所以有力，就在于它概括了一種普遍的解題思路：化整為零，各個(gè)擊破。乘法公式146P(AB)=P(A)P(B|A)

從箱中每次任取一球，問：第一次取得白球且第二次取得紅球的概率？?摸球問題全概率公式147摸球問題：先從3箱中任取一箱，再?gòu)南渲腥稳∫磺?，求取得紅球的概率。123?事件B事件Ai={球取自i號(hào)箱｝i=1,2,3148摸球問題：已知取出的是紅球，求該球是取自2號(hào)箱的概率。123解：記

Ai={球取自i號(hào)箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求

P(A2|B)＝？乘法公式全概率公式P(A2|B)＝1/4?貝葉斯公式

設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,則對(duì)任一事件B，有A1AnBA2BAnA2BBA1四、貝葉斯公式150——在觀察到事件B(結(jié)果)發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)Ai(原因)的概率.A1A2A3B全概率公式貝葉斯公式“原因”“結(jié)果”151

某一地區(qū)患有癌癥的人占0.04％，患者對(duì)某種試驗(yàn)（如:AFP法）反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為99%，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.1％，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問此人是癌癥患者的概率有多大?解:應(yīng)用99%0.1%0.04%設(shè)A1={抽查的人患有癌癥}B={試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性}A2={抽查的人不患癌癥（正常人）｝152已知

P(A1)=0.0004,P(A2)=0.9996,

P(B|A1)=0.99,P(B|A2)=0.001解:由貝葉斯公式，得代入數(shù)據(jù)得:

P(A1｜B)=0.284設(shè)A1={抽查的人患有癌癥}B={試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性}A2={抽查的人不患癌癥（正常人）｝15341.檢出陽(yáng)性是否患有癌癥?

試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,患癌癥的概率為

P(A1｜B)=0.284正常人99.96%的比例0.04%的比例“虛報(bào)”的成分結(jié)果分析101542.此試驗(yàn)對(duì)確診有無幫助？結(jié)果分析如何提高準(zhǔn)確率？若被檢查人群中患病率P(C)=0.284則檢驗(yàn)結(jié)果陽(yáng)性的患病率P(C｜B)=0.997初篩復(fù)查P(A1｜B)=0.284155

對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為98％，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí)，其合格率為55％。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為95％。試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少?解設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”，

B為事件“機(jī)器調(diào)整良好”。已知P(A∣B)＝0．98，P(A∣)＝0．55，P(B)＝0．95，P()＝0．05，所需求的概率為P(B∣A)。應(yīng)用156解設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”，B為事件“機(jī)器調(diào)整良好”。已知P(A∣B)=0.98，P(A∣)=0.55，P(B)=0.95，

P()=0.05，所需求的概率為P(B∣A)。由貝葉斯公式157

這就是說，當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，此時(shí)機(jī)器調(diào)整良好的概率為0．97。這里，概率0．95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的，是先驗(yàn)概率。而在得到信息(即生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0．97)是后驗(yàn)概率。有了后驗(yàn)概率我們就能對(duì)機(jī)器的情況有進(jìn)一步的了解。158下面我們?cè)倩剡^頭來看一下貝葉斯公式159

貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).

當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。§1.6事件的獨(dú)立性

(IndependenceofEvents)

例小王參加“智力大沖浪”游戲,他能答出甲、乙二類問題的概率分別為0.7和0.2,

兩類問題都能答出的概率為0.1.求小王：(1)答出甲類而答不出乙類問題的概率

(2)至少有一類問題能答出的概率

(3)兩類問題都答不出的概率回顧1.3中的例題課后同學(xué)問：

例1中小王他能答出第一類問題的概率為0.7,答出第二類問題的概率為0.2,兩類問題都能答出的概率為0.1.為什么不是？若是的話,則應(yīng)有而現(xiàn)在題中并未給出這一條件.本節(jié)中將告訴我們上述等式成立的條件是：事件相互獨(dú)立.

顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.一、兩事件的獨(dú)立性A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)

由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨(dú)立性,比用

P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.P(AB)=P(B)P(A|B)若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B獨(dú)立，或稱A、B相互獨(dú)立.一、兩事件獨(dú)立的定義例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,說明事件A、B獨(dú)立.問事件A、B是否獨(dú)立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2

前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過計(jì)算條件概率去做:

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}

在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.

則由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13

P(A)=P(A|B),說明事件A、B獨(dú)立.

在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立.甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記

A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨(dú)立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率）

一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨(dú)立.

因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響.又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.3．相互獨(dú)立與互不相容的區(qū)別事件的獨(dú)立性與互斥是兩碼事互斥性表示兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生而獨(dú)立性則表示他們彼此不影響

請(qǐng)問：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？

即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨(dú)立.反之，若A與B獨(dú)立，且P(A)>0,P(B)>0,

則A

、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不獨(dú)立P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即

問：能否在樣本空間S中找兩個(gè)事件,它們既相互獨(dú)立又互斥?這兩個(gè)事件就是

S和P(S)=P()P(S)=0

與S獨(dú)立且互斥不難發(fā)現(xiàn)，與任何事件都獨(dú)立.設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)>0,