重慶市烏江新高考協(xié)作體2025屆高三上學(xué)期高考質(zhì)量調(diào)研（二）（10月）數(shù)學(xué)試題 含解析

重慶市烏江新高考協(xié)作體2025屆高考質(zhì)量調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.由1，2，3抽出一部分或全部數(shù)字所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)集合有（）個(gè)元素A.15 B.16 C.17 D.18【答案】A【解析】【分析】根據(jù)取出的數(shù)字個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，每一類中一一列舉出來計(jì)數(shù)即可.【詳解】只取一個(gè)元素組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：共3個(gè)；只取兩個(gè)元素組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：有12，21，13，31，23，32共6個(gè)；取三個(gè)元素組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)：有123，132，213，231，312，321共6個(gè)；共有種方法，即由1，2，3抽出一部分或全部數(shù)字所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)集合有15個(gè)元素，故選：A.2.若直線是曲線的切線，則（）A. B. C.1 D.e【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切點(diǎn)及切線的斜率求得正確答案.【詳解】，，依題意，直線是曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，，通過對(duì)比系數(shù)可得，則.故選：B3.已知，則（）A.3 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式計(jì)算再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解.【詳解】.故選：D.4.若，，三點(diǎn)共線，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用共線向量的性質(zhì)，設(shè)且，進(jìn)而列方程求解.【詳解】三點(diǎn)共線，且，得，解得,故選：A.5.《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步．問：勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為b和a的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)d．由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3，設(shè)D為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形對(duì)角線，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，則下列推理正確的是（）A.由圖1和圖2面積相等得 B.由可得C.由可得 D.由可得【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖1，圖2面積相等，可求得d的表達(dá)式，可判斷A選項(xiàng)正誤，由題意可求得圖3中的表達(dá)式，逐一分析B、C、D選項(xiàng)，即可得答案【詳解】對(duì)于A，由圖1和圖2面積相等得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以，整理得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)镈為斜邊BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，整理得，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，整理得，故D錯(cuò)誤．故選：C．6.已知設(shè)，則，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】先求得復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部的關(guān)系，再去求的最小值即可解決.【詳解】由，可得，可令，則（為銳角，且）由，可得則的最小值為3.故選：A7.若數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，數(shù)列為公差為6，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，則數(shù)列前5項(xiàng)和的最小值為（）A. B. C. D.65【答案】A【解析】【分析】由已知可得，利用導(dǎo)數(shù)可求其最小值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為公差為6，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，所以若數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，設(shè)公比為，則，所以數(shù)列前5項(xiàng)和為，設(shè)，求導(dǎo)可得，令，可得，在上增函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，又，所以當(dāng),，，，所以，當(dāng),,所以則數(shù)列前5項(xiàng)和的最小值為.故選：A.8.設(shè)，,，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先通過構(gòu)造函數(shù)得到當(dāng)時(shí)，，再通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)一步得到，，由此即可比較，進(jìn)一步比較，由此即可得解.【詳解】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，從而，即，，所以，，從而當(dāng)時(shí)，，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在比較的大小關(guān)系時(shí)，可以通過先放縮再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，由此即可順利得解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分.9.已知非零向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若則C.若，則 D.向量與向量垂直【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件，利用數(shù)乘向量的定義得到，即可判斷選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算及模的定義，即可判斷選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)C，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義，得到，即可求解；選項(xiàng)D，根據(jù)條件，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，得到，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)闉榉橇阆蛄浚?，則，故，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，若，故，所以選項(xiàng)В正確，對(duì)于選項(xiàng)C，若，則，得到，不能確定，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，，故，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD．10.已知，若，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)得，通過代入即可判斷A；由二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；代入即可求出a的值，則可判斷C；由可得，可解得a的取值范圍，則可判斷D.【詳解】由題意知，所以，所以．對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，若，則，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，解得，故C正確；對(duì)于D，若，則，不能得到，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.11.已知，則可以是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】利用積化和差和輔助角公式得到，即可求解得到或，，可求答案.【詳解】，，，，，，，，或，,，，或，，經(jīng)檢驗(yàn)，或符合，其它都不符合.故選：AB.12.1843年，Hamilton在愛爾蘭發(fā)現(xiàn)四元數(shù)．當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的點(diǎn)）．他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)．根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家運(yùn)河上散步時(shí)突然想到的方程解．之后哈密頓立刻將此方程刻在BroughantBridge．對(duì)四元數(shù)，的單位，其運(yùn)算滿足：，，，，，，；記，，，定義，記所有四元數(shù)構(gòu)成的集合為，則以下說法中正確的有（）A.集合的元素按乘法得到一個(gè)八元集合B.若非零元，則有：C.若，則有：D.若非零元，則有：【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，利用已知條件求出所求集合為即可；對(duì)于B，直接給出反例，即可；對(duì)于C，利用的定義計(jì)算即可；對(duì)于D，利用C選項(xiàng)的結(jié)果驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A，由于，，，，故集合的元素按乘法可以得到集合，容易驗(yàn)證該集合中任意兩個(gè)元素的乘積還在該集合中，故集合的元素按乘法得到的集合是八元集合，故A正確；對(duì)于B，取，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，設(shè)，，則，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)題目中的定義有，從而.所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，只有理解了定義，方可求解所求的問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出對(duì)稱軸與的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，圖象開口向上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為：.14.若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)是偶函數(shù)，則，代入計(jì)算并驗(yàn)證即可求出.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，則,,化簡(jiǎn)可得.當(dāng)時(shí)，則所以，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，則.故答案為：15.小澄玩一個(gè)游戲：一開始她在2個(gè)盒子中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，如果結(jié)果小于3她就將中的1顆糖放入中，否則將中的1顆糖放入中，直到無法繼續(xù)游戲．那么游戲結(jié)束時(shí)中沒有糖的概率是__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)最初在A中有k顆糖，B中有顆糖時(shí)，游戲結(jié)束時(shí)B中沒有糖的概率為，歸納找出遞推關(guān)系，利用方程得出，再由遞推關(guān)系求.【詳解】設(shè)A中有k顆糖，B中有顆糖，游戲結(jié)束時(shí)B中沒有糖的概率為.顯然，，可得，則，，同理，，解得故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于建立統(tǒng)一的一個(gè)6顆糖果放入2個(gè)盒子不同情況的模型，找到統(tǒng)一的遞推關(guān)系，利用遞推關(guān)系建立方程求出，即可得出這一統(tǒng)一模型的答案.16.已知，如果有且僅有四個(gè)不同的復(fù)數(shù)，同時(shí)滿足和，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，再數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來研究即可.【詳解】由可得，又由可得，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓上，設(shè)單位圓上動(dòng)點(diǎn)，，，則表示長(zhǎng)度，表示長(zhǎng)度，即，又因?yàn)?，所以，令，可設(shè)，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，所以上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；由，，，所以當(dāng)時(shí)，在0,2有兩解，即在軸上方一定存在兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足條件，再利用圓關(guān)于軸對(duì)稱，所以在軸下方也一定存在兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足條件，綜上此時(shí)有四個(gè)不同的復(fù)數(shù)，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合，把問題轉(zhuǎn)化為，再利用消元，然后再利用函數(shù)求導(dǎo)來研究值域，即可求得的范圍.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)．（1）判斷并證明的奇偶性；（2）若對(duì)任意，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用奇偶性定義證明判斷即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定在上最小值，把問題化為在上恒成立，即可求結(jié)果.【小問1詳解】為奇函數(shù)，證明如下：由解析式易知，函數(shù)定義域?yàn)?，而，故為奇函?shù).【小問2詳解】由在上為減函數(shù)，而在定義域上為增函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，故，要使任意，，不等式恒成立，只需在上恒成立，即在上恒成立，由開口向上，則，綜上，.18.海水受日月引力會(huì)產(chǎn)生潮汐．以海底平面為基準(zhǔn)，漲潮時(shí)水面升高，退潮時(shí)水面降低．現(xiàn)測(cè)得某港口某天的時(shí)刻與水深的關(guān)系表如下所示：（3.1時(shí)即為凌晨3點(diǎn)06分）時(shí)刻：x（時(shí)）03.16.29.312.415.518.621.724水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以用函數(shù)來近似描述這一天內(nèi)港口水深與時(shí)間的關(guān)系，求出這個(gè)函數(shù)的解析式；（2）某條貨船的吃水深度（水面高于船底的距離）為4.2米．安全條例規(guī)定，在本港口進(jìn)港和在港口停靠時(shí)，船底高于海底平面的安全間隙至少有2米，根據(jù)（1）中的解析式，求出這條貨船最早可行的進(jìn)港時(shí)間及這條貨船一天最多可以在港口中?？康目倳r(shí)長(zhǎng)．【答案】（1）（2）最早可行的進(jìn)港時(shí)間為1時(shí)2分，5時(shí)10分出港；這條貨船一天中最多可以在港口中停靠的總時(shí)長(zhǎng)為8小時(shí)16分.【解析】【分析】（1）由公式可求，由表格可得周期，進(jìn)而求，代入最高點(diǎn)可求；（2）由題意可知進(jìn)港條件為，解不等式即可.【小問1詳解】由表格可知y的最大值為7.4，最小值為2.6，所以，由表格可知，所以，所以，將點(diǎn)代入可得：，所以，解得，因?yàn)?，所以，所?【小問2詳解】貨船需要的安全水深為米,所以進(jìn)港條件為.令,即,所以,解得,因?yàn)?，所以時(shí)，,k=1時(shí)，因?yàn)椋〞r(shí)）=1時(shí)2分,（時(shí)）時(shí)10分.（時(shí)）時(shí)26分，（時(shí)）時(shí)34分.因此，貨船可以在1時(shí)2分進(jìn)港，早晨5時(shí)10分出港；或在下午13時(shí)26分進(jìn)港，下午17時(shí)34分出港.則該貨船最早進(jìn)港時(shí)間1時(shí)2分，?？靠倳r(shí)長(zhǎng)為8小時(shí)16分鐘.19.在中，角的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求角；（2）若是邊上的一點(diǎn)，且滿足，，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合向量夾角公式可得，利用面積關(guān)系可得，利用乘“1”法結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理可得，且，即，可得，且，則，可得，又因?yàn)椋?【小問2詳解】因?yàn)?，即，可得，即，可知平分，則，因?yàn)?，即，整理可得，又因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，可得，所以的最大值為.20.某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程）的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）由頻率分布直方圖計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差S.（?。├迷撜龖B(tài)分布，求；（ⅱ）假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續(xù)航里程位于區(qū)間（250.25，399.5）的車輛數(shù)，求E（Z）；參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，.（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在x軸上從原點(diǎn)O出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都，客戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動(dòng)一次，若擲出正面，則遙控車向移動(dòng)一個(gè)單位，若擲出反面，則遙控車向右移動(dòng)兩個(gè)單位，直到遙控車移到點(diǎn)（59，0）（勝利大本營(yíng)）或點(diǎn)（60，0）（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購車優(yōu)惠券.設(shè)遙控車移到點(diǎn)的概率為，試證明數(shù)列是等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并比較和的大小.【答案】（1）300（2）（?。?；（ⅱ）（3）證明見解析，，【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的求法求得正確答案.（2）（?。└鶕?jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求得正確答案.（ⅱ）根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得正確答案.（3）根據(jù)已知條件構(gòu)造等比數(shù)列，然后利用累加法求得，利用差比較法比較和的大小.【小問1詳解】.【小問2詳解】（?。?（ⅱ））∵Z服從二項(xiàng)分布，∴.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，.∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，..累加得：.∴∵，∴.注：比較和的另一個(gè)過程：.21.已知的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．（1）若，求C；（2）若，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，化切為弦，再利用內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和正弦公式化簡(jiǎn)求值即可；（2）法一，由利用正、余弦定理化角為邊，聯(lián)立解方程組可得，進(jìn)而求得，然后由面積公式可得