【典例精講】第8講 數(shù)學(xué)廣角-數(shù)與形-六年級上冊數(shù)學(xué)

第8講數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形（思維導(dǎo)圖+學(xué)問梳理+例題精講+易錯專練）一、思維導(dǎo)圖二、學(xué)問點(diǎn)梳理學(xué)問點(diǎn)一：利用直觀圖形表示數(shù)的規(guī)律從1開頭的n個連續(xù)奇數(shù)相加的和可以用n2表示。用小正方形拼成答正方形，需要的小正方形的各數(shù)可以寫成連續(xù)奇數(shù)的和，且這個和正好是每行或每列小正方形個數(shù)的平方。學(xué)問點(diǎn)二：借助直觀圖形解決比較簡單的算式問題有些計算問題或較為簡單的題目可以通過畫圖，把數(shù)字、算式轉(zhuǎn)化成圖形，使簡單的問題簡潔化、抽象的問題直觀化，解決起來會更直觀、更簡潔。從開頭的數(shù)列、、......的和是1。三、例題精講考點(diǎn)一：數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形【典型一】在一個平面上有68個點(diǎn)，一共可以連（

）條線段。A．68 B．2278 C．2346 D．1190【分析】每個點(diǎn)都可與其它點(diǎn)連成一條線段，這樣就重復(fù)了一遍，點(diǎn)數(shù)×（點(diǎn)數(shù)－1）÷2＝線段數(shù)量，據(jù)此分析?！驹斀狻?8×（68－1）÷2＝68×67÷2＝4556÷2＝2278（條）故答案為：B【點(diǎn)睛】數(shù)和圖形的規(guī)律是相對應(yīng)的，圖形的排列有什么變化規(guī)律，數(shù)的排列就有相應(yīng)的變化規(guī)律?！镜湫投堪匆?guī)律填空?！瓐D形……小棒根數(shù)3579…照這樣擺下去，第10幅圖需要()根小棒。第n幅圖需要()根小棒?！痉治觥客ㄟ^觀看可知，三角形個數(shù)每次增加1個，所需小棒數(shù)每次增加2根，據(jù)此解答?！驹斀狻康?圖小棒數(shù)：3＝3第2圖小棒數(shù)：5＝3＋1×2第3圖小棒數(shù)：7＝3＋2×2第4圖小棒數(shù)：9＝3＋3×2……第10圖小棒數(shù)：21＝3＋9×2第n圖小棒數(shù)：1＋2n＝3＋（n－1）×2【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，探究數(shù)學(xué)規(guī)律?！镜湫腿啃∶饔醚篮灤盍呅?，如下圖。（1）數(shù)一數(shù)，上面四幅圖每幅各用了多少根牙簽？（2）接著畫下去，第五幅圖將用多少根牙簽？第八幅圖呢？（3）你能利用規(guī)律直接寫成第n幅圖一共要用多少根嗎？【分析】分析圖形可知，每增加一個六邊形就增加5根牙簽，第1個圖形一共用了6根牙簽，第2個圖形一共用了（6＋5）根牙簽，第3個圖形一共用了（6＋5×2）根牙簽，第4個圖形一共用了（6＋5×3）根牙簽……則第n個圖形一共用了[6＋5×（n－1）]根牙簽，據(jù)此解答。【詳解】（1）第1幅圖用了6根，第2幅圖用了11根，第3幅圖用了16根，第4幅圖用了21根。（2）第5幅圖：6＋5×（5－1）＝6＋5×4＝6＋20＝26（根）第8幅圖：6＋5×（8－1）＝6＋40－5＝46－5＝41（根）答：第五幅圖將用26根牙簽，第八幅圖將用41根牙簽。（3）6＋5×（n－1）＝6＋5n－5＝（5n＋1）根答：第n幅圖一共要用（5n＋1）根。【點(diǎn)睛】用含有字母的式子表示出圖形變化的規(guī)律是解答題目的關(guān)鍵?！镜湫退摹繑?shù)與形。（1）認(rèn)真觀看每幅圖和它下面的算式之間的關(guān)系，依據(jù)發(fā)覺的規(guī)律，接著畫出后面的兩個圖形，并完成圖形下面的算式。（2）依據(jù)上面的規(guī)律，完成下面的算式。1002－992＝（

）＋（）＝（

）20202－20192＝（

）＋（）＝（

）【分析】觀看可知，大正方形和空白正方形的邊長依次增加1，相鄰兩個數(shù)的平方的差等于這兩個數(shù)的和，據(jù)此分析?！驹斀狻浚?）（2）依據(jù)上面的規(guī)律，完成下面的算式。1002－992＝100＋99＝19920202－20192＝2020＋2019＝4039【點(diǎn)睛】數(shù)和圖形的規(guī)律是相對應(yīng)的，圖形的排列有什么變化規(guī)律，數(shù)的排列就有相應(yīng)的變化規(guī)律。四、易錯專練一、選擇題（滿分16分）1．如圖，依據(jù)圖形擺放的規(guī)律，第n個圖形共有（

）個小三角形。A． B．2n C． D．2．用火柴棒按下圖的方式搭正方形，搭30個這樣的正方形需要（

）根火柴棒。A．120 B．90 C．913．已知：3×9＝27，3×99＝297，3×999＝2997，3×9999＝29997，那么：3×999999＝（

）。A．299997 B．3000007 C．2999997 D．299999974．一組圖形按“☆☆☆〇〇△☆☆☆〇〇△……”的規(guī)律排列，第36個圖形是（

）。A．△ B．〇 C．☆5．一串?dāng)?shù)：2、3、6、11、18…是按某種規(guī)律排列的，這串?dāng)?shù)左起第112個是（

）。A．10100 B．12321 C．12323 D．13216．有一列數(shù)按如下方式排列：2，4，6，8，10…，x，□，…那么方框里應(yīng)填（

）A．x＋2 B．2x C．y7．假如一個小三角形的邊長為，照這樣接著畫下去，第7個圖形的周長是（

）。A． B． C．8．依據(jù)規(guī)律填數(shù)字15，25，35，45，（

）。A．60 B．65 C．50 D．55二、填空題（滿分16分）9．如下圖，第1個數(shù)是1，第2個數(shù)是8，第3個數(shù)是27…，依據(jù)圖形與數(shù)的排列規(guī)律，第5個數(shù)應(yīng)是()，第n個數(shù)是()。10．看圖找規(guī)律，想一想，填一填。假如照這樣排下去，第7幅圖下面的□里應(yīng)填()。11．用1米長的木桿搭建圍欄，下表顯示的是搭建規(guī)律。當(dāng)圍欄長度為n米時，用了()根木桿。圖形……圍欄長度/米1234n總數(shù)量/根610141812．如下圖，用方桌依據(jù)下面的方法拼成長方形大桌支配座位，照這樣的規(guī)律，5個方桌拼成的大桌一共可以支配()個座位。n個方桌可以支配()個座位。13．一個從1開頭的自然數(shù)表如下，表中下一行數(shù)的個數(shù)是上一行數(shù)個數(shù)的2倍。那么第六行的最終一個數(shù)是()。第一行1其次行23第三行4567…………14．按規(guī)律填分?jǐn)?shù)：、、、、、()、()。15．找規(guī)律填數(shù)：（1）4.8，1.2，()，0.075，0.01875；（2）()，32，4，0.5，()。16．按規(guī)律填空∶1，2，4，8，16，32，()，……三、推斷題（滿分8分）17．1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝52。()18．…＝1。()19．在數(shù)列“，，，，，，……”中，第10個數(shù)是。_____20．算式9×6＝54，99×96＝9504，999×996＝995004；通過這三個算式不用計算就可以得出999999×999996＝999995000004。()四、作圖題（滿分12分）21．(6分)觀看下列圖形的變化規(guī)律，在空格內(nèi)畫出適當(dāng)?shù)膱D形。22．(6分)觀看下面的圖形，按規(guī)律在“？”處填上合適的圖形。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）五、解答題（滿分48分）23．(6分)下圖是由火柴棒擺成的圖形，第n個圖形是由n個正方形組成。請思考下列問題。（1）像這樣擺下去，第n個圖形中有（

）根火柴棒。（2）當(dāng)時，用第（1）題的式子計算出擺21個正方形需要的火柴棒數(shù)。24．(6分)先認(rèn)真觀看，再填一填。（1）下面每個圖中最外圈各有多少個小正方形？照樣子填一填。32－1＝8

52－32＝16

（

）（2）照這樣的規(guī)律畫下去，第5個圖形最外圈有（

）個小正方形。請你解釋其中的道理：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________25．(6分)將奇數(shù)1、3、5、7、9……按圖中規(guī)律排列，如：數(shù)19在第3行第3列，數(shù)37排在第5行第4列，那么數(shù)2001在第幾行第幾列？26．(6分)觀看下列挨次排列的等式，猜想第21個等式應(yīng)當(dāng)是多少？9×0＋1＝19×1＋2＝119×2＋3＝219×4＋5＝41……27．(6分)找規(guī)律計算。已知：1－＝－＝－＝－＝請計算：＋＋＋＋＋＋＋＋28．(6分)下列各圖至少要用幾筆才能畫成？29．(6分)下圖的兩個圖形（實(shí)線）是分別用10根和16根單位長的小棍圍成的。假如按此規(guī)律（每一層比上面一層多擺出兩個小正方形）圍成的圖形共用了60多根小棍，那么圍成的圖形有幾層，共用了多少根小棍？30．(6分)在一個正方形的每條邊上擺4枚棋子，四條邊上最多能擺多少枚？最少能擺多少枚？（用畫圖的方法表示出來即可）參考答案1．D【分析】解答此類的方法是從給出的幾個圖形進(jìn)行分析，找出規(guī)律即可?！驹斀狻竣偃切蝹€數(shù)：1②三角形個數(shù)：＝4③三角形個數(shù)：＝9④三角形個數(shù)：＝16所以第n個圖形有個三角形。故答案為：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，找出圖形之間消滅的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵。2．C【分析】1個正方形需要4根火柴棒，2個正方形需要7根火柴棒，3個正方形需要10根火柴棒，依據(jù)圖示可知，每增加一個正方形就增加3根火柴棒，所以搭n個這樣的正方形需3n＋1根火柴?！驹斀狻坑煞治隹芍?n＋1＝30×3＋1＝90＋1＝91（根）故答案為：C【點(diǎn)睛】主要考查了同學(xué)通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的力量。對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是依據(jù)什么規(guī)律變化的。3．C【分析】依據(jù)已知的算式可得積的規(guī)律：固定數(shù)字不變的是2、7；假如其次個因數(shù)9的個數(shù)是n個，那么在積的數(shù)字“2”和“7”的之間就排n－1個9；據(jù)此解答。【詳解】依據(jù)分析可得，3×999999＝2999997；故答案為：C?！军c(diǎn)睛】主要考查了同學(xué)通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的力量．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是依據(jù)什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。4．A【分析】觀看圖形可知，這組圖形是6個圖形一個循環(huán)周期，分別依據(jù)☆☆☆〇〇△的挨次依次循環(huán)排列，據(jù)此求出第36個圖形是第幾個圖形中的第幾個圖形即可解答問題?！驹斀狻?6÷6＝6所以第36個圖形是第6周期的最終一個是△。故答案為：A?！军c(diǎn)睛】依據(jù)題干得出這組圖形的排列周期規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵。5．C【分析】依據(jù)題意：從前面的幾個數(shù)可以得出：相鄰的兩個數(shù)的差依次是1，3，5，7，……，所以得到第1個數(shù)：2；第2個數(shù)：2＋1＝3；第3個數(shù)：2＋1＋3＝6；第4個數(shù)：2＋1＋3＋5＝11；第5個數(shù)：2＋1＋3＋5＋7＝18；可得出第n個數(shù)：2＋（n－1）2，題目中要求第112個數(shù)，即把n＝112代入式子即可?！驹斀狻康?個數(shù)：2；第2個數(shù)：2＋1＝3；第3個數(shù)：2＋1＋3＝6；第4個數(shù)：2＋1＋3＋5＝11；第5個數(shù)：2＋1＋3＋5＋7＝182，3，6，11，18，……的差為1，3，5，7，……，可得當(dāng)?shù)趎個數(shù)是：2＋（n－1）2當(dāng)n＝112時2＋（112－1）2＝2＋111×111＝2＋12321＝12323故答案為：C。【點(diǎn)睛】通過觀看，分析，歸納并發(fā)覺其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)覺的規(guī)律解決問題。6．A【分析】觀看可知，這一列數(shù)都是偶數(shù)，相鄰的偶數(shù)相差2，據(jù)此分析?！驹斀狻俊趵锩娴那耙粋€數(shù)是x，則□里面應(yīng)填：x＋2。故答案為：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是看出這一列數(shù)的特點(diǎn)，相鄰的兩個數(shù)相差2。7．B【分析】第一個圖形的周長是3，其次個圖形的周長是4，第三個圖形的周長是5，據(jù)此分析，每增加一個三角形周長就多1，所以第n個圖形的周長＝3＋（n－1）×1＝n＋2?！驹斀狻康谄邆€圖形的周長＝7＋2＝9（厘米）故答案為：B?！军c(diǎn)睛】此題考查同學(xué)的推理力量，依據(jù)數(shù)據(jù)歸納出圖形周長存在的規(guī)律是解題的關(guān)鍵。8．D【解析】依據(jù)前幾個數(shù)，可以找出規(guī)律，每次遞增10，45＋10＝55?！驹斀狻恳罁?jù)規(guī)律填數(shù)字15，25，35，45，55。故選D?！军c(diǎn)睛】先找出哪些部分發(fā)生了變化，是依據(jù)什么規(guī)律變化的，再利用規(guī)律求解。9．

125

n3【分析】經(jīng)觀看發(fā)覺，每個數(shù)都是個數(shù)的3次方，據(jù)此解答即可。【詳解】53＝125依據(jù)圖形與數(shù)的排列規(guī)律，第5個數(shù)應(yīng)是125，第n個數(shù)是n3。【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是數(shù)與個數(shù)之間的關(guān)系。10．28【分析】觀看圖形可知：第一幅圖要排1個；其次幅圖要排1＋2；第三幅圖要排1＋2＋3；由此即可找出規(guī)律解決問題?！驹斀狻坑煞治隹傻茫?＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝3＋3＋4＋5＋6＋7＝6＋4＋5＋6＋7＝10＋5＋6＋7＝15＋6＋7＝21＋7＝28【點(diǎn)睛】主要考查了同學(xué)通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的力量，對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是依據(jù)什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。11．4n＋2【分析】圍欄長度為1米時，用了6根木桿，即4×1＋2；圍欄長度為2米時，用了10根木桿，即4×2＋2；圍欄長度為3米時，用了14根木桿，即4×3＋2；圍欄長度為4米時，用了18根木桿，即4×4＋2；當(dāng)圍欄長度為n米時，用的木桿根數(shù)為：4n＋2?！驹斀狻坑煞治隹芍?，當(dāng)圍欄長度為n米時，用了（4n＋2）根木桿?！军c(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，發(fā)覺圍欄長度每多1米就多用4根木桿是解本題的關(guān)鍵。12．

12

2n＋2【分析】依據(jù)題圖可知，一個桌子可以支配4個座位，至此以后，每增加一個桌子就增加2個座位，據(jù)此可知當(dāng)有n個桌子時，可以支配4＋2（n－1）＝2n＋2個座位，據(jù)此解答即可。【詳解】當(dāng)有n個桌子時，可以支配（2n＋2）個座位；當(dāng)n＝5時；2n＋2＝2×5＋2＝125個方桌拼成的大桌一共可以支配12個座位。【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是依據(jù)題圖找到規(guī)律，再依據(jù)這一規(guī)律解決實(shí)際問題。13．63【分析】通過觀看分析可知，表中下一行中數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍，所以第n行的數(shù)字的個數(shù)為個，又每一行中最終一個數(shù)為前邊從第一行到這一行中全部字的個數(shù)，如第三行中最終一個數(shù)為7，則一至三行中共有7個數(shù)字，由此可知，到第n行中最終一個數(shù)字為1＋2＋4＋…＋。【詳解】＝＝＝2×2×2×2×2＝321＋2＋4＋8＋16＋32＝63【點(diǎn)睛】查找數(shù)字排列中的規(guī)律，平常要留意多積累，培育數(shù)感。14．

【分析】觀看數(shù)列可知，各分?jǐn)?shù)的分子依據(jù)1、3、5、7、9排列，相鄰兩個數(shù)的差是2；分母分別為4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，所以后面兩個分?jǐn)?shù)的分母應(yīng)為72＝49，82＝64。據(jù)此解答即可?！驹斀狻?＋2＝11，11＋2＝1372＝49，82＝64、、、、、、?！军c(diǎn)睛】本題考查數(shù)字排列規(guī)律，發(fā)覺規(guī)律，利用規(guī)律是解題的關(guān)鍵。15．

0.3

256

0.0625【分析】（1）4.8÷1.2＝4，0.075÷0.01875＝4，前面的數(shù)是后面的數(shù)的4倍；（2）32÷4＝8，4÷0.5＝8，前面的數(shù)是后面的數(shù)的8倍。【詳解】由分析得，（1）1.2÷4＝0.3（2）32×8＝2560.5÷8＝0.0625【點(diǎn)睛】此題考查的是找規(guī)律，解答此題關(guān)鍵是正確找出規(guī)律并用規(guī)律解決問題。16．64【分析】2÷1＝2，4÷2＝2，后一個數(shù)是前一個數(shù)的2倍，由此求解。【詳解】16×2＝32，32×2＝641，2，4，8，16，32，（

64

），……【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是；正確找出該組數(shù)字的變化規(guī)律，并能找到它們之間的聯(lián)系即可。17．√【分析】從1開頭，有幾個連續(xù)的奇數(shù)相加，和就是幾的平方，據(jù)此解答。【詳解】由分析得，1＋3＋5＋7＝42，5＋3＋1＝32所以，1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝42＋32＝16＋9＝25＝52故答案：√【點(diǎn)睛】此題考查的是數(shù)與形結(jié)合，解答此題關(guān)鍵是正確找出規(guī)律，并用規(guī)律解決問題。18．√【分析】依據(jù)算式可知，后面一個數(shù)是前一個數(shù)的，假如把一條線段看作1，先取它的一半表示，再取余下的一半的一半表示，這樣不斷地取下去，最終相當(dāng)于取了整條線段。所以…＝1，據(jù)此解答即可?！驹斀狻俊?，說法正確；故答案為：√?！军c(diǎn)睛】本題接受了數(shù)形結(jié)合的思想，使題目形象化，再利用極限思想得到結(jié)果。19．√【詳解】這個數(shù)列中從左到右分別是1、3、5、7、9、11、13、15、17、19……分母從左到右分別是12,22,32,42,52,……由此可知：第10個數(shù)分子是19，分母是100。故答案為：√20．正確【詳解】規(guī)律：第一個因數(shù)依次增加一個數(shù)字9，其次個因數(shù)6前面依次增加一個數(shù)字9，結(jié)果是5前面是9，5和4中間是0，9的個數(shù)和0的個數(shù)等于其次個因數(shù)中9的個數(shù)。21．【分析】每幅圖中的小圓圈都是以最中心的一個向三個方向延長，每次都是每個方向增加1個，并且每個方向上的小圓圈都是黑白交替排列的；第四幅圖，在第三幅圖的基礎(chǔ)上，每個方向增加一個白色的小圓圈?！驹斀狻咳鐖D：【點(diǎn)睛】本題也可以先考慮數(shù)量上的變化規(guī)律，再考慮顏色的排列規(guī)律。22．【分析】觀看圖形可知：第一個圖形是1個，其次個圖形是3個，第三個圖形是5個，第四個圖形就是7個，第五個圖形就是9個，它們的規(guī)律是連續(xù)加2；據(jù)此即可解答問題；解決此類問題的關(guān)鍵是：依據(jù)題干中的圖形找出事物排列的一般規(guī)律，從而即可解答?！驹斀狻坎煜旅娴膱D形可知，按規(guī)律在“？”處填上7個三角形。如圖：23．（1）（2）64根【分析】（1）擺一個圖形需要4根火柴棒，可以寫成3×1＋1；擺2個圖形需要7根火柴棒，可以寫成3×2＋1；擺三個圖形需要10根火柴棒，可以寫成3×3＋1…；由此可以推理得出一般規(guī)律解答問題；（2）當(dāng)n＝21時，代入算式，求出需要火柴棒的數(shù)量?！驹斀狻浚?）依據(jù)分析可知，擺一個圖形需要火柴棒的數(shù)量：（3×1＋1）根擺二個圖形需要火柴棒的數(shù)量：（3×2＋1）根擺三個圖形需要火柴棒的數(shù)量：（3×3＋1）根由此可知擺n圖形需要火柴棒的數(shù)量：（3n＋1）根（2）當(dāng)n＝21時3×21＋1＝63＋1＝64（根）答：擺21個正方形需要64個火柴棒?！军c(diǎn)睛】依據(jù)題干中已知圖形排列特點(diǎn)以及數(shù)量關(guān)系，推理得出一般結(jié)論進(jìn)行解答是此類問題的關(guān)鍵。24．（1）72－52＝24（2）40；道理見詳解【分析】觀看可知，最外圈小正方形的個數(shù)＝大正方形邊長×邊長－臨圈正方形邊長×邊長，如第一個圖形：32－1＝8＝1×8，其次個圖形：52－32＝16＝2×8，第三個圖形：72－52＝24＝3×8……所以第幾個圖形最外圈小正方形的個數(shù)就用幾×8，據(jù)此分析?！驹斀狻浚?）第三個圖形：72－52＝24（2）5×8＝40（個）第5個圖形最外圈有40個小正方形。從前3個圖的計算結(jié)果看，第一個圖形最外圈的小正方形的個數(shù)的是1的8倍，其次圖形最外圈的小正方形的個數(shù)的是2的8倍，第三圖形最外圈的小正方形的個數(shù)的是3的8倍，以此類推，第五圖形最外圈的小正方形的個數(shù)的是5的8倍，是40個?！军c(diǎn)睛】數(shù)和圖形的規(guī)律是相對應(yīng)的，圖形的排列有什么變化規(guī)律，數(shù)的排列就有相應(yīng)的變化規(guī)律。25．251行第2列【分析】依據(jù)上表可以得出以下信息，即每一行為4個相鄰的奇數(shù)，當(dāng)行數(shù)為奇數(shù)時從其次列開頭到第五列，當(dāng)行數(shù)為偶數(shù)時，從第四列開頭到第一列，奇數(shù)都是遞增排列的，所以可以得出2001的位置。【詳解】由題意可知：排列為1，3，5，7，……2n－1，2n－1＝2001解：2n－1＋1＝2001＋12n＝20022n÷2＝2002÷2n＝1001說明2001是第1001個奇數(shù)1001÷4＝250……1所以是在第251行，該行是從左到右寫，因此是第2列。答：數(shù)2011排在第251行第2列?！军c(diǎn)睛】通過觀看，分析、歸納并發(fā)覺其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)覺的規(guī)律解決問題是