人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)史上+九年級(jí)數(shù)學(xué)上期導(dǎo)學(xué)案+期中考試試題

最新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)史上最全+九年級(jí)數(shù)學(xué)上期導(dǎo)學(xué)案+期中考試試題

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

21.1一元二次方程

知識(shí)點(diǎn)----元二次方程的定義

等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）

的方程，叫做一元二次方程。

注意一下幾點(diǎn)：

①只含有一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程。

知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax?+bx+c=0（aW0）.其中，ax?是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是

一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。

知識(shí)點(diǎn)三一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二

次方程的根。方程的解的定義是解方程過(guò)程中驗(yàn)根的依據(jù)。

21.2降次一一解一元二次方程

21.2.1配方法

知識(shí)點(diǎn)一直接開(kāi)平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直

接開(kāi)平方。一般地，對(duì)于形如x2=a（a與0）的方程，根據(jù)平方根的定義可解得

Xi=-\[G,X2=-?

（2）直接開(kāi)平方法適用于解形如x2=p或（mx+a）2=p（mro）形式的方程，如果p20,

就可以利用直接開(kāi)平方法。

(3)用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平

方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

(4)直接開(kāi)平方法解一元二次方程的步驟是：①移項(xiàng)；②使二次項(xiàng)系數(shù)或含有未知

數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為1;③兩邊直接開(kāi)平方，使原方程變?yōu)閮蓚€(gè)一元二

次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知識(shí)點(diǎn)二配方法解一元二次方程

通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次,

把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解。

配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開(kāi)。

(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；⑵方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；

⑶方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；⑷若等

號(hào)右邊為非負(fù)數(shù)，直接開(kāi)平方求出方程的解。

21.2.2公式法

知識(shí)點(diǎn)一公式法解一元二次方程

(1)一般地，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0),如果b^Yac＞。，那么方程的

--4ac

兩個(gè)根為x=—N------，這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求

2a

根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解

方程的方法叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(aWO)的過(guò)程。

(3)公式法解一元二次方程的具體步驟：

①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a#0),一般a化為正值②確定公式中a,b,c

的值，注意符號(hào)；

③求出b?-4ac的值；④若bLjac》。，則把a(bǔ),b,c和b-4ac的值代入公式即可求

解，若b2-4acV0,則方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程根的判別式

式子b?-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(aW0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即

△=b2-4ac.

IA>0,方程ax,bx+cRSWO)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根

一元二次方程△=(),方程ax2+bx+c=0(a#0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

根的判別式

△<0,方程ax'bx+cR(aWO)無(wú)實(shí)數(shù)根

21.2.3因式分解法

知識(shí)點(diǎn)一因式分解法解一元二次方程

(1)把一元二次方程的一邊化為0,而另一邊分解成兩個(gè)一次因式的積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化

為求兩個(gè)求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。

(2)因式分解法的詳細(xì)步驟：

①移項(xiàng)，將所有的項(xiàng)都移到左邊，右邊化為0；

②把方程的左邊分解成兩個(gè)因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全

平方公式；

③令每一個(gè)因式分別為零，得到一元一次方程;

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知識(shí)點(diǎn)二用合適的方法解一元一次方程

方法名理論依據(jù)適用范圍

稱(chēng)

直接開(kāi)平平方根的意形如x?=p或(mx+n)2=p(p

方法義20)

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

因式分解當(dāng)ab=O,則a=0一邊為0,另一邊易于分解

法或b=0成兩個(gè)一次因式的積的一

元二次方程。

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

2

若一元二次方程x+px+q=0的兩個(gè)根為Xi,X2,則有Xi+x2=-p,XiX2=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0(aW0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根Xi,X2,則有xi+x=,XiX=-

2a2a

22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程

知識(shí)點(diǎn)一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：

(1)審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之

間的等量關(guān)系。

(2)設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。

(3)歹U：就是列方程，這是關(guān)鍵步驟，一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個(gè)

相等含義，然后列代數(shù)式表示這個(gè)相等關(guān)系中的各個(gè)量，就得到含有未知數(shù)的

等式，即方程。

(4)解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。

(5)驗(yàn)：是指檢驗(yàn)方程的解是否保證實(shí)際問(wèn)題有意義，符合題意。

(6)答:寫(xiě)出答案。

知識(shí)點(diǎn)二列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見(jiàn)類(lèi)型

(1)數(shù)字問(wèn)題

三個(gè)連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為x,則另兩個(gè)數(shù)分別為xT,x+lo

三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))：若中間的一個(gè)數(shù)為x,則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2,x+2。

三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a,b,c,則這個(gè)三位數(shù)是

100a+10b+c.

(2)增長(zhǎng)率問(wèn)題

設(shè)初始量為a,終止量為b,平均增長(zhǎng)率或平均降低率為x,則經(jīng)過(guò)兩次的增長(zhǎng)或降

低后的等量關(guān)系為a(l±x)2=bo

(3)利潤(rùn)問(wèn)題

利潤(rùn)問(wèn)題常用的相等關(guān)系式有：①總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售價(jià)-總成本；②總利潤(rùn)=單位利潤(rùn)X

總銷(xiāo)售量；③利潤(rùn)=成本義利潤(rùn)率

(4)圖形的面積問(wèn)題

根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的

代數(shù)式表示出來(lái)，建立一元二次方程。

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及相關(guān)典型題

第一部分基礎(chǔ)知識(shí)

1.定義：一般地，如果y=or?+Zu+c（a/,c是常數(shù)，。聲0）,那么y叫做x的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)y=o?的性質(zhì)

（1）拋物線y=ad的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸.

（2）函數(shù)y=ad的圖像與。的符號(hào)關(guān)系.

①當(dāng)a>0時(shí)。拋物線開(kāi)口向上O頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)a<0時(shí)=拋物線開(kāi)口向下=頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸的拋物線的解析式形式為yj/Qwo）.

3.二次函數(shù)y=^2+加+c的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.

4.二次函數(shù)y=a/+bx+c用配方法可化成：y=a（x-〃y+A的形式，其中

.b,Aac-b2

h=，k,—?

2a4a

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①丫=.；②”內(nèi)、女；

③y=a（x—〃I；（4）y=a（x-h）2+k；（5）y=ax1+bx+c.

6.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).

①。的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下；

|4相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作x=〃.特別地，y軸記作直線x=0.

7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)。相同，那么拋物

線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.

8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法

(1)公式法：y=ax2+bx+c=afx+—~,二頂點(diǎn)是(一>對(duì)稱(chēng)軸

2a)4a2a4。

是直線尤=_2.

2a

(2)配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為"小-娟+%的形式，得

到頂點(diǎn)為(力，％),對(duì)稱(chēng)軸是直線x=/z.

(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)

軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.

9.拋物線>=g?+/?x+c中，a,0,c的作用

(1)。決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與y=a/中的。完全一樣.

(2)人和。共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線ynai+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線

x=-—,故：①力=0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸；(2)->0(即a、b同號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在

2aa

y軸左側(cè)；③&<0(即a、》異號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在)，軸右側(cè).

a

(3)C的大小決定拋物線y=-+以+C與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)X=O時(shí)，y=c,.?.拋物線y=*+以+c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,c)：

①c=O,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負(fù)

半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，

則-<0.

a

10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=ax2x=0（y軸）（0,0）

y=ax2+kx=0（y軸）（0,k）

y=tz（x-/i）2x=h（〃，0）

y=a^x-hf+k當(dāng)4>O時(shí)x=h（A,k）

b

y=ax2+bx-\-c開(kāi)口向上x(chóng)------（b4ac-b2

2a

2a4。

當(dāng)”0時(shí)

）

開(kāi)口向下

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：y="2+以+C.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)X、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-〃)2+h已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

(3)交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)七、聲,通常選用交點(diǎn)式：y=a(x-X1)(x-X2).

12.直線與拋物線的交點(diǎn)

(1)y軸與拋物線y=?+〃x+c得交點(diǎn)為(0,c).

(2)與y軸平行的直線x=〃與拋物線產(chǎn)加+法+c有且只有一個(gè)交點(diǎn)

(h,ah2+bh+c).

(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)y=+>x+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)X|、x2,是對(duì)應(yīng)一元

二次方程以2+以+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的

一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)=A=Oo拋物線與x軸相切；

③沒(méi)有交點(diǎn)=A<0=拋物線與X軸相離.

(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同(3)一樣可能有。個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)

的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為3則橫坐標(biāo)是o?+以+c=k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(5)一次函數(shù)y=Zx+服不0)的圖像/與二次函數(shù)y=aY+"+c("O)的圖像G的交

點(diǎn)，由方麗)'"&：〃的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)

一y=ax++c

o/與G有兩個(gè)交點(diǎn)；②方程組只有一組解時(shí)。/與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程

組無(wú)解時(shí)。/與G沒(méi)有交點(diǎn).

(6)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線、="2+"+'與x軸兩交點(diǎn)為

4(孫0),8(%,0),由于陽(yáng)、當(dāng)是方程"2+6x+c=0的兩個(gè)根，故

bc

X]+x=——,x,-x=—

2a2a

AB

=%一%21=7(xi-X2?=J(為一7)2-4X/2=--="「J"=/

第二十三章旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

知識(shí)點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)的定義

在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)0轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn),

點(diǎn)。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)的三要素。

知識(shí)點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段

的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

理解以下幾點(diǎn)：

（1）圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中

心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)

生改變，只改變了圖形的位置。

知識(shí)點(diǎn)三利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖

旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為:

①連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中

心轉(zhuǎn)過(guò)一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）

③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；④

接：即連接到所連接的各點(diǎn)。

23.2中心對(duì)稱(chēng)

知識(shí)點(diǎn)一中心對(duì)稱(chēng)的定義

中心對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那

么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)中心。

注意以下幾點(diǎn)：

中心對(duì)稱(chēng)指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系；只有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；繞對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)180°兩

個(gè)圖形能夠完全重合。

知識(shí)點(diǎn)二作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖形

要作出一個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)的成中心對(duì)稱(chēng)的圖形，關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于

對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。最后將對(duì)稱(chēng)點(diǎn)按照原圖形的形狀連接起來(lái)，即可得出成中心對(duì)

稱(chēng)圖形。

知識(shí)點(diǎn)三中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

有以下幾點(diǎn)：

(1)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且都被對(duì)稱(chēng)中

心平分；

(2)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形能夠互相重合，是全等形；

(3)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行(或共線)且相等。

知識(shí)點(diǎn)四中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義

把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那

么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心。

知識(shí)點(diǎn)五關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)

在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)p(x,y)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(-x,-y)o

第二十四章圓

24.1圓

24.1.1圓

知識(shí)點(diǎn)一圓的定義

圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一

個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)。叫作圓心，線段0A叫作半徑。第二種:

圓心為0,半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)0的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合。

比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種是運(yùn)用集合

的觀點(diǎn)下的定義，但是都說(shuō)明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng)，也就確定了圓。

知識(shí)點(diǎn)二圓的相關(guān)概念

(1)弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑。

(2)?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)

把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

(3)等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。

(4)等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓

中完全重合的弧才是等弧，而不是長(zhǎng)度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直徑

知識(shí)點(diǎn)一圓的對(duì)稱(chēng)性

圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸。

知識(shí)點(diǎn)二垂徑定理

(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如圖所示，直

c

徑為CD,AB是弦，且CDLAB,

AD=BD

垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條

弧

如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點(diǎn)M,

CD±AB

iIAC=BC

AD=BD

注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必

須不是直徑，否則結(jié)論不成立。

24.1.3弧、弦、圓心角

知識(shí)點(diǎn)弦、弧、圓心角的關(guān)系

(1)弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的

弧相等，所對(duì)的弦也相等。

(2)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那

么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。

(3)注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心角

相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，

但此時(shí)弧、弦不一定相等。

24.1.4圓周角

知識(shí)點(diǎn)一圓周角定理

(1)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧

所對(duì)的圓心角的一半。

(2)圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)

弦是直徑。

(3)圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻?/p>

弧”是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周

角有兩類(lèi)。

知識(shí)點(diǎn)二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)

圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓

內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

24.2點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系

24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。

(2)用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)。0的半徑是r,點(diǎn)P到圓的距離OP=d,則有：

點(diǎn)P在圓外Qd>r；點(diǎn)p在圓上=dr；點(diǎn)p在圓內(nèi)qdVr。

知識(shí)點(diǎn)二過(guò)已知點(diǎn)作圓

(1)經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)的圓(如點(diǎn)A)

以點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)(如點(diǎn)0)為圓心，以0A為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可

?03

（2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A、B）

以線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)0）為圓心，以0A（或0B）為半徑作圓

即可，如圖，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。

B

（3）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓

①經(jīng)過(guò)在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓

②不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以

作圓，且只能作一個(gè)圓。如經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C作圓，作法:

連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相

交于點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，以0A（或OB、0C）的長(zhǎng)為半徑作圓即可，如圖，這樣

知識(shí)點(diǎn)三三角形的外接圓與外心

(1)經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。

(2)外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。

知識(shí)點(diǎn)四反證法

(1)反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不

正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。

(2)反證法的一般步驟：

①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等

相矛盾的結(jié)論；

③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系

(1)直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。

(2)直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示

若設(shè)。。的半徑是r,直線1與圓心0的距離為d,則有：

直線1和。夕相交d<r；塞線1和。0相切V=r；直線1和

。。相離d>ro

知識(shí)點(diǎn)二切線的判定和性質(zhì)

(1)切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

(2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

(3)切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)

過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；必過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓

心。

知識(shí)點(diǎn)三切線長(zhǎng)定理

(1)切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)園外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做

這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。

(2)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和

圓心的連線平分兩條切線的夾角。

(3)注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能

度量的；切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是在圓外一點(diǎn)，另

一個(gè)是切點(diǎn)。

知識(shí)點(diǎn)四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

(1)三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)

三角形叫做圓的外切三角形。

(2)三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。

(3)注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已

知時(shí)，過(guò)三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。

24.2.3圓和圓的位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系

(1)圓與圓的位置關(guān)系有五種：

①如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種；

②如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種；

③如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。

(2)圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示：

若設(shè)兩圓圓心之間的距離為d,兩圓的半徑分別是nn,且nVn,則有

<J=>

兩圓外離*d>ri+r2兩圓外切d=ri+r2u>兩圓相交=r2-ri<d<ri+r2兩

圓內(nèi)切d=r2-ri兩圓內(nèi)匕d<r2-ri

24.3正多邊形和圓

知識(shí)點(diǎn)一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n(n是大于2的自然數(shù))等份，順次連接

各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。

正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。

正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。

正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

知識(shí)點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)

(1)正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。

(2)所有的正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸，每條對(duì)稱(chēng)軸

都經(jīng)過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)正n邊形也是中心

對(duì)稱(chēng)圖形，正n邊形的中心就是對(duì)稱(chēng)中心。

(3)正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于("-2)x180。,中心角和外角相等，等于獨(dú)。

nn

24.4弧長(zhǎng)和扇形面積

知識(shí)點(diǎn)一弧長(zhǎng)公式1=峭

180

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)C=2nR,所以n°的圓

心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式1=—X2nR=^。

360180

知識(shí)點(diǎn)二扇形面積公式

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的扇形面積就是圓的面積S=nR2,所以圓心

角為n°的扇形的面積為S扇形=上弦。

360

比較扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：

o_n兀R’n7iR1?1匚匚…1

s扇形二行相二而“萬(wàn)""3伏'所以$扇形=3，"

JOU1oU，/Z

知識(shí)點(diǎn)三圓錐的側(cè)面積和全面積

圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，容易得到圓錐的側(cè)

面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為1,底面圓的半徑為r,那么這個(gè)扇形的半

徑為1,扇形的弧長(zhǎng)為2Jir,因此圓錐的側(cè)面積§刑制=(2次"="/。圓錐的全面積

為S網(wǎng)錐全=S惻錐側(cè)+5底="/+"°

25.1隨機(jī)事件與概率

25.1.1隨機(jī)事件

知識(shí)點(diǎn)一必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件

在一定條件下，有些事件必然會(huì)發(fā)生，這樣的事件稱(chēng)為必然事件；相反地，有些事

件必然不會(huì)發(fā)生，這樣的事件稱(chēng)為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不

會(huì)發(fā)生的事件稱(chēng)為隨機(jī)事件。

必然事件和不可能事件是否會(huì)發(fā)生，是可以事先確定的，所以它們統(tǒng)稱(chēng)為確定性

事件。

知識(shí)點(diǎn)二事件發(fā)生的可能性的大小

必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有

小。不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同。

25.1.2概率

知識(shí)點(diǎn)概率

一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A,我們把刻畫(huà)其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱(chēng)為隨機(jī)

事件A發(fā)生的概率，記作P(A)。

一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等,

事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=依。由m和n的含義可

n

知OWmWn,因此0W絲W1,因此OWP(A)W1.

n

當(dāng)A為必然事件時(shí)，P(A)=1；當(dāng)A為不可能事件時(shí)，P(A)=0.

25.2用列舉法求概率

知識(shí)點(diǎn)一用列舉法求概率

一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等,

事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=-

n0

知識(shí)點(diǎn)二用列表發(fā)求概率

當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所

有可能的結(jié)果，通常用列表法。

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件

發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。

知識(shí)點(diǎn)三用樹(shù)形圖求概率

當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素時(shí)一，列方形表就不方便了，為不重不

漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)形圖。樹(shù)形圖是反映事件發(fā)生的各種情況出

現(xiàn)的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。

(1)樹(shù)形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)求概率的方法。

(2)在用列表法和樹(shù)形圖法求隨機(jī)事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能

性務(wù)必相同。

25.3用頻率估計(jì)概率

知識(shí)點(diǎn)

在隨機(jī)事件中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生與否事先無(wú)法預(yù)測(cè)，表面上看似無(wú)規(guī)律可循，

但當(dāng)我們做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，這個(gè)事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，因此做了大量試

驗(yàn)后，可以用一個(gè)事件發(fā)生的頻率作為這個(gè)事件的概率的估計(jì)值。

一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率%穩(wěn)定于某一個(gè)常數(shù)P,那

n

么事件A發(fā)生的頻率P（A）=po

九年級(jí)第一學(xué)期數(shù)學(xué)期中測(cè)試題

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.下列圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，不能與原來(lái)圖形重合的是（）

ABCD

2.下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是()

A.ctx~+hx+c=0B.—―H—=2C.x~+2x=-1D.3(x+1)~=2(x+1)

XX

3.下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是()

A.y=l一鏡x‘B.y=2(x—l)J+4C.~(x—1)(x+4)D.y=(x-2)'—x"

4.方程（x+l）（x-3）=5的解是（）

=

A.x}=l,x2=—3B.2=4,x2=—2C.x]=—l,x2D.=—4,x2=2

5.把二次函數(shù)y=—x+3用配方法化成y=a(x—h)4k的形式()

A.y=一；(x-2"+2B.y=；(x—2)，+4C.y=—；(x+2)。+4D.y=&—^)+3

6.一元二次方程(相一2)--43+2加一6=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則相等于()

A.-6或1B.1C.-6D.2

7.對(duì)拋物線y=—x?+2x—3而言，下列結(jié)論正確的是（）

A.與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)B.開(kāi)口向上

C.與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3)D.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-2)

8.若點(diǎn)A(”,2)與點(diǎn)8(—3,⑼關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則〃一加=()

A.-1B.一5C.1D.5

9.如下圖的四個(gè)圖案中，既可用旋轉(zhuǎn)來(lái)分析整個(gè)圖案的形成過(guò)程，又可用軸對(duì)稱(chēng)來(lái)分析整個(gè)圖案的形成過(guò)程的

有()__________

HHHS

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax?+8x+b的圖象

、填空題(11——16每題3分，第17題6分，共24分)

11.方程2/-1=岳的二次項(xiàng)系數(shù)是,一次項(xiàng)系數(shù)是,常數(shù)項(xiàng)是。

12.若函數(shù)y=(m—3)x"'+2，"T3是二次函數(shù)，則皿二

13.已知二次函數(shù)的圖象過(guò)(1,0),(2,0)和(0,2)三點(diǎn)，則該函數(shù)的解析式是()

A.y=2x+%+2B.y=x+3x+2

C.y=/—2x+3D.3%+2

14.如圖，將等邊△?(劭沿被中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到現(xiàn)給出下列命題：①四邊形力質(zhì)是菱形；②四邊形心⑦

是中心對(duì)稱(chēng)圖形；③四邊形/靦是軸對(duì)稱(chēng)圖形；④其中正確的是(寫(xiě)上正確的序

15.拋物線y=2x?—bx+3的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=l,則b的值為.

16.如果一元二方程(加一2)/+3彳+疝-4=0有一個(gè)根為0,貝!)m=.

17.認(rèn)真觀察圖J23-3-3中的四個(gè)圖案，回答下列問(wèn)題：

(1)請(qǐng)寫(xiě)出這四個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征：

特征1：；特征2：.

（2）請(qǐng)你在下圖中設(shè)計(jì)出你心中最美的圖案，使它也具備你所寫(xiě)出的上述特征.

二、解答題（共66分）

18、解方程（每題4分，共8分）

（1）x2-2x-S-Q（用因式分解法）(2)(x-2)(x-5)=-2

19.（8分）已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為8,腰長(zhǎng)是方程丁-9x+2°=°的一個(gè)根,

求這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)。

20.（8分）用長(zhǎng)為20cm的鐵絲，折成一個(gè)矩形，設(shè)它的一邊長(zhǎng)為xcm,面積為yen?。

（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式。（2）當(dāng)邊長(zhǎng)x為多少時(shí)，矩形的面積最大，最大面積是多少？

K21.（8分）一商店1月份的利潤(rùn)是2500元，3月份的利潤(rùn)達(dá)到3025元，這兩個(gè)月的利潤(rùn)月增長(zhǎng)的百分率相同,

求這個(gè)百分率。

22、(10分)如圖，在菱形A3C。中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,48=13,80=24,在菱形ABCD的外

部以AB為邊作等邊三角形ABE。點(diǎn)廠是對(duì)角線3。上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)F不與點(diǎn)8、D重合)，將線段AF繞點(diǎn)A順

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段40,連接月0。

(1)求A。的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)廠在線段80上，且點(diǎn)M,EC三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，

求證：ZACM=30°

(3)連接￡M,若41￡^的面積為40,請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出AA月以的周長(zhǎng)。

23.(10分)行駛中的汽車(chē)，在剎車(chē)后由于慣性的作用，還要向前方滑行一段距離才

能停止，這段距離稱(chēng)為“剎車(chē)距離”，為了測(cè)定某種型號(hào)的汽車(chē)的剎車(chē)性能(車(chē)速

不超過(guò)140km/h),對(duì)這種汽車(chē)進(jìn)行測(cè)試，測(cè)得數(shù)據(jù)如下表：

剎車(chē)時(shí)車(chē)速

0102030405060

/km?h

剎車(chē)距離/m00.31.02.13.65.57.8

(1)以車(chē)速為x軸，以剎車(chē)距離為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)上表對(duì)應(yīng)值作出

函數(shù)的大致圖象；

(2)觀察圖象估計(jì)函數(shù)的類(lèi)型，并確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式;

(3)該型號(hào)汽車(chē)在國(guó)道發(fā)生了一次交通事故，現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得剎車(chē)距離為46.5m,推測(cè)剎車(chē)

時(shí)的車(chē)速是多少？請(qǐng)問(wèn)事故發(fā)生時(shí)，汽車(chē)是超速行駛還是正常行駛?

24.(14分)已知，如圖拋物線y=ax2+3ax+c(a>0)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè).點(diǎn)

B的坐標(biāo)為(1,0),0C=30B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),求四邊形ABCD面積的最大(3)若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上.是

否存在以A,C,E,P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.w

新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上期導(dǎo)學(xué)案

班級(jí)一學(xué)習(xí)小組一_學(xué)生姓名一

課題一元二次方程(1)課型新授課

年級(jí)九年級(jí)單元第組單元課時(shí)第L課時(shí)

1、會(huì)根據(jù)具體問(wèn)題列出一元二次方程，體會(huì)方程的模型思想，提高歸納、

學(xué)習(xí)

目標(biāo)分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；會(huì)把一個(gè)一

元二次方程化為一般形式；會(huì)判斷一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)

和常數(shù)項(xiàng)。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)由實(shí)際問(wèn)題列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

學(xué)習(xí)由實(shí)際問(wèn)題列出一元二次方程。準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)一元二次方程的二次項(xiàng)和系數(shù)以及

難點(diǎn)

一次項(xiàng)和系數(shù)還有常數(shù)項(xiàng)。

學(xué)法指導(dǎo)自主探究，合作交流

知識(shí)鏈接一元一次方程的相關(guān)知識(shí)

自學(xué)課本P27—29頁(yè)，完成下列要求：

導(dǎo)案1、理解并背誦一元二次方程的定義及一元二次方程的一般形式；

課自學(xué)2、準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)一元二次方程的二次項(xiàng)和系數(shù)以及一次項(xiàng)和系數(shù)還有常數(shù)項(xiàng)。

刖

1、自學(xué)課本導(dǎo)圖，走進(jìn)一元二次方程

分析：現(xiàn)設(shè)雕像下部高x米，則度可列方程

_________________________去括號(hào)得_________________①

你知道這是一個(gè)什么方程嗎？你能求出它的解嗎？想一想你以前學(xué)過(guò)

自學(xué)

什么方程，它的特點(diǎn)是什么？

完成

2、探究新知

自學(xué)課本25頁(yè)問(wèn)題1、問(wèn)題2(列方程、整理后與課本對(duì)照)，并完成下列

各題：

問(wèn)題］可列方程_______________整理得________________缸

問(wèn)題2可列方程_______________整理得________________③

觀察上述三個(gè)方程以及①②兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)特征，類(lèi)比一元一次方程的定

義，自己試著歸納出一元二次方程的定義。

一元二次方程的是：

1)、只含有______個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是___________，

這樣的___________方程，叫做一元二次方程。

2)、一元二次方程的一般形式：___________________________，其中

二次項(xiàng)，___________是一次項(xiàng)，_________是常數(shù)項(xiàng)，______二次項(xiàng)系數(shù)，

一次項(xiàng)系數(shù)。

3、展示反饋【挑戰(zhàn)自我】判斷下列方程是否為一元二次方程。

①41=81；⑵2(1-1)=3了；(3)5丁一1=4%；

12

+ix=°!(5)2X2+3X-1；(6)3X(X-1)=5(X+2)；

(7)關(guān)于X的方程⑻關(guān)于y的方程

爾2-3x+2=0；(/+l)j?+(2a-l)y+5-a=0.其中為一元二次方

程的是：___________________________0

小結(jié)

1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？2、學(xué)習(xí)過(guò)程中用了哪些數(shù)學(xué)方法？

3、確定一元二次方程的項(xiàng)及系數(shù)時(shí)要注意什么？

1、將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系

數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

(1)5X2-1=4X；(2)81=4x>

反

饋(3)4x(x+2)=25(4)(3x-2)(x+l)=8x-3

練

2、列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式：

習(xí)

1、一個(gè)正方形的面積的2倍等于50,這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？

2、一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)大3,且這兩個(gè)數(shù)之積為這個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)。

3、一塊面積是150cm2長(zhǎng)方形鐵片，它的長(zhǎng)比寬多5cm,則鐵片的長(zhǎng)是多少？

課課后

后反思

達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)

1、判斷下列方程是否是一元二次方程;

1Q

(1)2x一一%2--=0()(2)2x2-y+5=0()

32

(3)ax2+/?Jt+c=0()(4)4x2——+7=0()

X

2、將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)

項(xiàng)：

(1)3X-A=2；(2)7x-3=2x(3)(2x—l)—3X(矛-2)=0(4)2x(x—l)=3x.

新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上期導(dǎo)學(xué)案

班級(jí)—學(xué)習(xí)小組_學(xué)生姓名_________________

課題一元二次方程(2)課型新授課

年級(jí)九年級(jí)單元第組單元課時(shí)第二課時(shí)

學(xué)習(xí)了解一元二次方程根的用關(guān)念，會(huì)判定一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)一元二次方程的根及

目標(biāo)利用它們解決一些具體N習(xí)題.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根；

學(xué)習(xí)由實(shí)際問(wèn)題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實(shí)際

難點(diǎn)問(wèn)題的根.

學(xué)法指導(dǎo)自主探究，合作交流

知識(shí)鏈」餒一元一次方程的相關(guān)知識(shí)

課前導(dǎo)自學(xué)課本P27—29頁(yè)，完成下列要求：

案3、理解并背誦一元二次方程的根的定義。

自4、注意一元二次方程的根如何找。

學(xué)5、理解一元二次方程的根的定義。

1、前面有關(guān)排球邀請(qǐng)賽的問(wèn)題中，我們列出方程X2-X=56

當(dāng)x=l時(shí)，x2-x=O；當(dāng)x=2時(shí)，x2-x=2；......我們可以得出下表的值

X12345678910???.

x2-x02???

從中發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=8時(shí)，x2-x=；所以x=8是方程

自一元二次方程的__________也是一元二次方程的根。

學(xué)2、歸納一元二次方程的根的定義：_________________

完

成先獨(dú)立思考，完成下列各題

1.下面哪些數(shù)是方程x2-x-6=0的根?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

2.你能用以前所學(xué)的知識(shí)求出下列方程的根嗎？

(1)x2-36=0(2)4x2-9=0(3)x2-3x=0

小你今天學(xué)會(huì)了解怎樣找的一元二次方程的根？步驟是什么?

結(jié)_________________________________

1.下面哪些數(shù)是方程x2+x-12=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

2.寫(xiě)出下列方程的根

(1)9x2=1(2)25x2-4=0(3)4x2=2

反

Wi

綜

習(xí)

3.你能想出下列方程的根嗎？

(1)(x-2)2=1(2)X2+2X+1=4(3)x2-6x+9=0

課后課

后

反

思

自查自省

選擇題

1.方程x(x-1)=2的兩根為().

A.xi=O,X2=lB.Xi=O,X2=-lC.Xi=l,X2=2D.XI=-1,X2=2

2.方程2x(x-3)+(3-x)=0的根是().

A.Xi=3,X2=2B.XI=3,X2=—C.XI=2,X2=—D.XI=4,X2=9

22

填空題

1.如果X2-81=0,那么X2-81=0的兩個(gè)根分別是XI=,x2=

2.已知方程5x2+mx-6=0的一個(gè)根是x=3,則m的值為

3.方程(x+1)2+V2x(x+1)=0,那么方程的根Xi=；X2=

綜合提高題

1.如果x=l是方程ax2+bx+3=0的一?個(gè)根，求a+b的值.

新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上期導(dǎo)學(xué)案

班級(jí)__________學(xué)習(xí)小組__________學(xué)生姓名__________

課題22.2配方法(一)課型新授課

年級(jí)九年級(jí)單元第組單元課時(shí)第L課時(shí)

1、初步掌握用直接開(kāi)平方法解一元二次方程，會(huì)用直接開(kāi)平方法解形如

x2=p(p20)或(mx+n)2=p(p\0)的方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)2、理解一元二次方程解法的基本思想及其與一元一次方程的聯(lián)系，體會(huì)兩

者之間相互比較和轉(zhuǎn)化的思想方法；

3、能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)掌握用直接開(kāi)平方法解一元二次方程的步驟。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)理解并應(yīng)用直接開(kāi)平方法解特殊的一元二次方程。

學(xué)法指導(dǎo)自主探究，合作交流

知識(shí)鏈:餒完全平方公式、平方根的相關(guān)知識(shí)

課前導(dǎo)自學(xué)課本P30—31頁(yè)，完成下列要求：

案1理解并掌握一元二次方程的解法。

自2注意開(kāi)平方時(shí)有兩個(gè)根。

學(xué)

小交流課前學(xué)習(xí)內(nèi)容，互幫互助，提高學(xué)習(xí)思想，掌握多變的學(xué)習(xí)方