2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊（華師版）教案 第23章圖形的相似23.3.2相似三角形的判定（第2課時）

第23章圖形的相似23.3相似三角形2相似三角形的判定（第2課時）教學(xué)目標(biāo).掌握相似三角形的判定定理2.教學(xué)重難點重點：掌握相似三角形的判定定理2.難點：會運用相似三角形的判定定理2解決問題.教學(xué)過程復(fù)習(xí)鞏固1.什么叫相似三角形？對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等的兩個三角形叫做相似三角形.2.什么叫相似比？相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.3.判定三角形相似的方法：（1）平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.（2）判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.4.相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，相似比等于對應(yīng)邊的比.導(dǎo)入新課【問題】活動1（學(xué)生交流，教師點評）思考如圖，如果有一點E在邊AC上，那么點E應(yīng)該在什么位置才能使△ADE與△ABC相似呢？圖中△ADE與△ABC的一組對應(yīng)邊AD與AB的長度之比為13，點E由點A開始在AC上移動，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)AE＝13AC時，△ADE∽△ADAB＝13，AEAC如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形一定相似嗎？【答案】一定相似.學(xué)生交流，教師點評.教師引出課題：23.3相似三角形2相似三角形的判定（第2課時）探究新知探究點一相似三角形的判定2.活動2小組討論（師生互學(xué)）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.已知：如圖所示，△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，A′B′∶AB＝A′C′∶AC.求證：△ABC∽△A′B′C′.【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）作輔助線，把△A′B′C′轉(zhuǎn)移到△ABC，再運用平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.連結(jié)DE,則△ADE≌△A′B′C′.∵A′B′∶AB＝A′C′∶AC，∴AD∶AB＝AE:AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′.活動3（學(xué)生交流，教師點評）典例講解（師生互動）例1如圖所示，D、E分別是△ABC的邊AC、AB上的點，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且ADAB＝34，∵AE＝1.5，AC＝2，∴，∵，∴.又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似）.∴.∵BC＝3，∴DE＝34【即學(xué)即練】（師生互動）如圖所示，在△ABC中，D、E是AB、AC上點，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，求證：△ADE∽△ABC.【證明】因為＝，＝＝，所以＝，而∠A＝∠A，所以△ADE∽△ACB.活動4【綜合提升】（學(xué)生交流，教師點評）典例講解（師生互動）例2如圖所示，在正方形ABCD中，P是BC上的一點，且BP＝3PC，Q是CD的中點.求證：△ADQ∽△QCP.【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）已知線段倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段比例式，再根據(jù)線段的中點，得到線段的倍數(shù)之間關(guān)系，看能否得到對應(yīng)線段成比例，若能成比例，再找夾角進而證明兩個三角形相似.設(shè)正方形的邊長為a.∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝BC＝CD＝a.∵Q是CD的中點，∴DQ＝QC＝12∵BP＝3PC，∴PC＝14∴

，∴＝.又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.【題后總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）解決此類問題的關(guān)鍵是：（1）利用觀察法和圖形的性質(zhì)找出隱含條件（對頂角、直角、公共邊等）；（2）利用分析法找出邊之間的比例關(guān)系.活動5（學(xué)生交流探討）【拓展訓(xùn)練】如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE＝ED，DF＝DC，連結(jié)EF并延長交BC的延長線于點G.（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長.（1）【證明】∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°.∵AE＝ED，∴＝.∵DF＝DC，∴＝，∴＝，∴△ABE∽△DEF.（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴ED∥BG，∴＝.又∵DF＝eq\f(1,4)DC，正方形的邊長為4，∴ED＝2，CG＝6，∴BG＝BC+CG＝4+6＝10.課堂練習(xí)1.如圖所示，在△ABC中，點D在線段BC上，且△ABC∽△DBA，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.AB2＝BC·BDB.AB2＝AC·BDC.AB·AD＝BD·BCD.AB·AD＝AD·CD2.如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點，DE⊥AB于點E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，則AD的長為（）A.3B.4C.5D.63.如圖所示，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且將這個四邊形分成①、②、③、④四個三角形.若OA∶OC＝OB∶OD，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A.①與②相似B.①與③相似C.①與④相似D.②與④相似4.如圖所示，已知AD·AC＝AB·AE.求證：△ADE∽△ABC.5.如圖所示，在△ABC中，D、E是AB、AC上點，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，試判斷△ADE與△ABC是否會相似，小麗同學(xué)的判斷理由是這樣的：解：∵AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，∴AE＝6-2.1＝3.9.∵ADAB∴△ADE與△ABC不會相似.你同意小麗同學(xué)的判斷嗎?請你說說理由.參考答案1.A2.C3.B4.【證明】∵AD·AC＝AE·AB，∴＝.在△ABC與△ADE中，∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.5.-AA，∴△ADE∽△ABC.課堂小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點評）相似三角形的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.如圖所示，在△ABC與△A′B′C′中，∵＝且∠B＝∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.布置作業(yè)教材第70頁練習(xí)題第1（2）（3）題，第2題，第75頁習(xí)題23.3第