2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)（華師版）教案 第24章解直角三角形24.2直角三角形的性質(zhì)

第24章解直角三角形24.2直角三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.掌握直角三角形邊、角的性質(zhì).2.掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”和“含30°的直角三角形”的性質(zhì).3.會(huì)運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)定理的應(yīng)用.難點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)定理的證明方法.教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)鞏固直角三角形兩銳角、三邊之間的關(guān)系：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.兩銳角關(guān)系：A+∠B＝90°.三邊關(guān)系：AC2+BC2＝AB2.導(dǎo)入新課活動(dòng)1（小組討論，教師點(diǎn)評(píng))【探究】任意畫(huà)一個(gè)直角三角形，作出斜邊上的中線，并利用圓規(guī)比較中線與斜邊的一半的長(zhǎng)短，你發(fā)現(xiàn)了什么？再畫(huà)幾個(gè)直角三角形試一試，你的發(fā)現(xiàn)相同嗎？我們來(lái)驗(yàn)證一下！教師引出課題：24.2直角三角形的性質(zhì)探究新知探究點(diǎn)一直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)活動(dòng)2（小組討論，教師點(diǎn)評(píng))畫(huà)Rt△ABC，并畫(huà)出斜邊AB上的中線CD，量一量，看看CD與AB有什么關(guān)系.小組討論結(jié)果：發(fā)現(xiàn)CD恰好是AB的一半.師：下面讓我們用推理證明這一猜想.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線.求證：CD＝AB.【探索思路】中線輔助線作法：將中線延長(zhǎng)一倍.延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE＝CD，連結(jié)AE、BE.∵CD是斜邊AB的中線，∴AD＝BD.又∵DE＝CD，∴四邊形ACBE是平行四邊形.又∵∠ACB＝90°，∴四邊形ACBE是矩形，∴CE＝AB，∴.【總結(jié)】在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AD＝BD＝AB.（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)合作探究，解決問(wèn)題（小組討論，教師點(diǎn)評(píng)）典例講解（師生互動(dòng)）例1如圖，在△ABC中，BD，CE分別是AC，AB邊上的高，M，N分別是BC，ED的中點(diǎn)，試說(shuō)明：MN⊥DE.得到EM＝DM，再根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)使問(wèn)題得證.【證明】連結(jié)EM、DM.∵BD、CE是高，M是BC的中點(diǎn)，∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，EM＝DM.∴△DEM是等腰三角形.又∵N是ED的中點(diǎn)，∴MN⊥ED.【注意】推理過(guò)程中要有理有據(jù).【即學(xué)即練】（小組討論，教師點(diǎn)評(píng)）如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn).求證：EF⊥BD.【證明】如圖，連結(jié)BE、DE.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中點(diǎn)，∴BE＝AC＝DE.∵F是BD的中點(diǎn)，∴EF⊥BD.【題后總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))由中點(diǎn)我們一般可以聯(lián)想到中位線和直角三角形斜邊上的中線.熟記直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.探究點(diǎn)二含30°角的直角三角形的性質(zhì)（拓展）【問(wèn)題】用兩個(gè)含有30°角的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？【操作】【互動(dòng)】拼出的三角形中有等邊三角形嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由？由此你想到，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？【猜想】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則有BC＝AB.【證明】如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，連結(jié)AD.∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）.∴AB＝AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∴△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）.∴AB＝BD.∴BC＝BD＝AB.【總結(jié)】在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB(在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).合作探究，解決問(wèn)題（小組討論，教師點(diǎn)評(píng)）典例講解（師生互動(dòng)）例2如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，求證：CD＝AB.【探索思路】(引發(fā)學(xué)生思考)根據(jù)已知條件AB＝AC，∠B＝15°，結(jié)合圖形，可利用三角形外角的定理求出∠DAC＝30°.聯(lián)想到含30°角的直角三角形的性質(zhì).【解】在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°(已知)，∴∠B＝∠ACB＝15°（等邊對(duì)等角），∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC（在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）.∴CD＝AB.【題后總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三角形.【即學(xué)即練】2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，求AB的長(zhǎng)度.【解】在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∴在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，∴在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm，即AB的長(zhǎng)度是12cm.課堂練習(xí)1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，那么∠ACD的度數(shù)為()A.15° B.25°C.35° D.45°2.如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，且E是AC的中點(diǎn).若AD＝6，DE＝5，則CD的長(zhǎng)等于()A.5 B.6C.7 D.83.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，且EC＝5，則AE的長(zhǎng)為.4.如圖，在△ABC中，若∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥AC于點(diǎn)A，BD＝3，則BC＝______.5.如圖，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝，等腰Rt△ACD的斜邊AD在AB邊上，求BC的長(zhǎng).6.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一點(diǎn)(不與A、B重合)，DE⊥BC于點(diǎn)E，若P是CD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷△PAE的形狀，并說(shuō)明理由.參考答案1.C2.D3.10.4.95.【解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB于點(diǎn)E.由△ACD是等腰直角三角形可得△AEC是等腰直角三角形.設(shè)CE＝x，則2x2＝()2，∴x＝1，即CE＝1.在Rt△CEB中，∠CEB＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2CE＝2.6.【解】△PAE為等邊三角形.理由：∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜邊CD的中點(diǎn)，∴PA＝PC＝eq\f(1,2)CD，∴∠ACD＝∠PAC，∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD.同理，在Rt△CED中，PE＝PC＝eq\f(1,2)CD，∠DPE＝2∠DCB，∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，∴△PAE是等邊三角形.課堂小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))布置作業(yè)教材第104頁(yè)練習(xí)第1，2，3題，習(xí)題24.2第1，2，3題.板書(shū)設(shè)計(jì)課題24.2直角三角形的性質(zhì)