2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊（華師版）教案 第24章解直角三角形24.4解直角三角形及其簡單的應(yīng)用（第3課時）

第24章解直角三角形24.4解直角三角形解與坡度、坡角有關(guān)的直角三角形（第3課時）教學(xué)目標(biāo)1.理解坡度與坡角的概念，能準(zhǔn)確運(yùn)用這些概念來解決一些實際問題.2.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題.教學(xué)重難點重點：理解坡度與坡角的概念.難點：運(yùn)用解直角三角形的知識解決與坡度、坡角等有關(guān)的實際問題.教學(xué)過程復(fù)習(xí)鞏固1.銳角三角函數(shù)：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，則兩銳角關(guān)系：∠A+∠B＝90°.三邊關(guān)系：a2+b2＝c2.邊角關(guān)系：(1)∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝eq\f(∠A的對邊,斜邊)；(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝；(3)∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝.2.解直角三角形有以下基本類型：基本類型選擇的關(guān)系式已知兩邊斜邊和一直角邊(c，a)b＝；由sinA＝，求∠A；∠B＝90°-∠A兩直角邊(a，b)c＝；由tanA＝，求∠A；∠B＝90°-∠A已知邊和角斜邊和一銳角(c，∠A)∠B＝90°-∠A；由sinA＝，求a＝c·sinA；由cosA＝，求b＝c·cosA，∠B＝90°-∠A；由tanA＝,求b＝；由sinA＝,求c＝導(dǎo)入新課我們已經(jīng)掌握了直角三角的有關(guān)性質(zhì)以及邊角之間的各種關(guān)系，這些都是解決與直角三角形有關(guān)的實際問題的重要依據(jù)，這節(jié)課就是利用直角三角形解與坡度、坡角有關(guān)的問題.教師引出課題：24.4解直角三角形解與坡度、坡角有關(guān)的直角三角形（第3課時）探究新知探究點一坡度、坡角的概念活動1（學(xué)生交流，教師點評）閱讀教材第115頁讀一讀【總結(jié)】在修路、挖河、開渠和筑壩時，設(shè)計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度.如圖，坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i，即i＝.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作∠α，即i＝＝tanα.顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.活動2（學(xué)生交流，教師點評）典例講解(師生互動)例1如圖，一段路基的橫斷面是梯形，高為4.2米，上底的寬是12.51米，路基的坡面與地面的傾角分別是32°和28°.求路基下底的寬.（精確到0.1米）【探索思路】(引發(fā)學(xué)生思考)本題要求AB的長，由圖示可知作梯形的兩條高把梯形分成兩個直角三角形和一個矩形，把線段AB分成三部分，只要求出這三部分的長，即可得到路基下底的寬.【解】作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn).由題意可知DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）.在Rt△ADE中，∵∴在Rt△BCF中，同理可得∴AB＝AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1（米）.答：路基下底的寬約為27.1米.【即學(xué)即練】1.利用土埂修筑一條渠道，在埂中間挖去深為0.6m的一塊(圖中陰影部分是挖去部分)，已知渠道內(nèi)坡度為1∶1.5，渠道底面寬BC為0.5m

，求：①橫斷面(等腰梯形)ABCD的面積；②修一條長為100m的渠道要挖去的土方數(shù).【解】如圖分別過點B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，∵，∴AE＝1.5×0.6＝0.9(m).在等腰梯形ABCD中，可得FD＝AE＝0.9(m).∴AD＝2×0.9+0.5＝2.3(m).S梯形ABCD總土方數(shù)＝截面積×渠長＝0.8×100＝80(m

3).答：橫斷面ABCD面積為0.8m2，修一條長為100m的渠道要挖出的土方數(shù)為80m3.【題后總結(jié)】把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題，如果示意圖不是直角三角形，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出直角三角形.活動3（學(xué)生交流，教師點評）【總結(jié)】利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：（1）將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；（2）根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案；（4）得到實際問題的答案.探究點二方向角活動4（學(xué)生交流，教師點評）【思考】下圖中，你能說出射線OA，射線OB，射線OC表示的方向嗎？射線OA，表示南偏西25°；射線OB表示北偏西70°；射線OC表示南偏東60°.【總結(jié)】指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角.如圖：點A在點O的北偏東30°方向上，點B在點O的南偏西45°方向上.（西南方向）活動5（學(xué)生交流，教師點評）典例講解（師生互動）例2海中有一個小島A，它的周圍8海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？【探索思路】(引發(fā)學(xué)生思考)要判斷漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險，只要求出點A到直線BF的距離與8海里相比較，因此想到過點A作BF的垂線，構(gòu)造直角三角形，來解直角三角形.【解】過點A作AF⊥BD，交BD的延長線于點F，∠AFD＝90°.由題意圖示可知∠DAF＝30°，設(shè)DF＝x，AD＝2x，則在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理，得x.在Rt△ABF中，tan∠ABF＝，tan30°＝＝.解得x＝6，∴AF＝x＝≈10.4.∵10.4>8，∴沒有觸礁危險.【題后總結(jié)】點A到直線BF的距離，如果大于8海里，則沒有危險，如果小于8海里，則有危險.【即學(xué)即練】2.如圖所示，一漁船在海島A南偏東20°方向的B處遇險，測得海島A與B的距離為20nmile.漁船將險情報告給位于A處的救援船后，沿北偏西80°方向向海島C靠近.同時，從A處出發(fā)的救援船沿南偏西10°方向勻速航行.20min后，救援船在海島C處恰好追上漁船，那么救援船航行的速度為()A.103nmile/hB.30nmile/hC.203nmile/hD.303nmile/答案:D【解析】在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝80°-20°＝60°，∴∠C＝180°-∠BAC-∠ABC＝180°-30°-60°＝90°，∴cos∠BAC＝，即cos30°＝，∴AC＝103(nmile)，∴救援船航行的速度v＝＝303(nmile/h).課堂練習(xí)1.已知沿一山坡水平方向前進(jìn)40m，就升高20m，那么這個山坡的坡度是()A.1∶2 B.2∶1 C.1∶5 D.5∶2.如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1∶3，堤高BC＝10m，則坡面AB的長度是A.15m B.203C.20m D.1033.如圖，鐵路路基的橫斷面是四邊形ABCD，AD∥BC，路基頂寬BC＝9.8m，路基高BE＝5.8m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求鐵路路基下底寬AD的值(精確到0.1m)與斜坡的坡角α和β(精確到1°)的值.4.（2019·湖北隨州中考）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A，B同時收到某事故漁船的求救訊息，已知此時救助船B在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里.（1）求收到求救訊息時事故漁船偏P與救助船B之間的距離；（2）若救助船A，B分別以40海里／小時、30海里／小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船P處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達(dá).參考答案1.A【解析】設(shè)這個山坡的坡角為α，則tanα＝，所以這個山坡的坡度是1∶2.2.C【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝，∵BC＝10m，tanA＝1∶3∴，AC＝103，∴AB＝＝＝20(m).∴AB的長度為20m.3.【解】過點C作CF⊥AD于點F，則CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8m，i＝1∶1.6，i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m).∴AD＝AE+FE+DF＝9.28+9.8+14.5≈33.6(m).由tanα＝i＝1∶1.6，tanβ＝i′＝1∶2.5，得α≈32°，β≈22°.即鐵路路基下底寬為33.6m，斜坡的坡角分別為32°和22°.4.【解】（1）過點P作PH⊥AB，由題意得∠A＝30°，∠B＝45°，在Rt△PHA中，∵AP＝120，∠A＝30°，∴PH＝PA＝60.在Rt△PHB中，∵∠B＝45°，sinB＝，∴PB＝PH＝60（海里）.答：收到求救訊息時事故漁船偏P與救助船B之間相距60海里.（2）依題意可得A船所需時間為＝＝3（小時），B船所需時間為＝＝2（小時）.因為＞，所以B船先到達(dá).課堂小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點評)坡度、坡角的概念：坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.記作i，即i＝.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作∠，即i＝＝tan.顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.布置作業(yè)教材第116頁練習(xí)題，習(xí)題24.4第4題