2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊（華師版）教案 第25章隨機事件的概率25.2.2頻率與概率

第25章隨機事件的概率25.2隨機事件的概率2頻率與概率教學(xué)目標(biāo)1.知道通過大量重復(fù)試驗，可以用頻率估計概率.2.掌握用列表法、畫樹狀圖法求簡單事件概率的方法.3.運用頻率估計概率解決實際問題.教學(xué)重難點重點：掌握用列表法、畫樹狀圖法求簡單事件概率的方法.難點：由試驗得出的頻率與理論分析得出的概率之間的關(guān)系.教學(xué)過程復(fù)習(xí)鞏固概率：一個事件發(fā)生的可能性叫做該事件的概率..導(dǎo)入新課【問題1】拋擲一枚均勻的硬幣，硬幣落下后，會出現(xiàn)兩種情況：一種是正面朝上，另一種是正面朝下.你認(rèn)為正面朝上和正面朝下的可能性相同嗎？學(xué)生討論，師歸納總結(jié)引出課題：25.2隨機事件的概率2頻率與概率探究新知探究點一頻率與概率的關(guān)系活動1（學(xué)生互動，教師點評）請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的硬幣：（1）同桌兩人做20次擲硬幣的游戲，并將數(shù)據(jù)填在下表中：試驗總次數(shù)20正面朝上的次數(shù)正面朝下的次數(shù)正面朝上的頻率（正面朝上的次數(shù)/試驗總次數(shù)）正面朝下的頻率（正面朝下的次數(shù)/試驗總次數(shù)）（2）各組分工合作，分別累計正面朝上的次數(shù)到20、40、60、80、100、120、140、160、180、200次，并完成下表：試驗總次數(shù)20406080100120140160180200正面朝上的次數(shù)正面朝上的頻率正面朝下的次數(shù)正面朝下的頻率（3）請同學(xué)們根據(jù)已填的表格，完成下面的折線統(tǒng)計圖（4）觀察上面的折線統(tǒng)計圖，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？結(jié)論：（學(xué)生回答，老師點評）當(dāng)拋擲硬幣的次數(shù)很多時,出現(xiàn)正面的頻率值是穩(wěn)定的,接近于常數(shù)0.5,在它左右擺動.無論是擲質(zhì)地均勻的硬幣還是擲圖釘，在試驗次數(shù)很大時正面朝上（釘尖朝上）的頻率都會在一個常數(shù)附近擺動，這就是頻率的穩(wěn)定性.【總結(jié)】（老師點評總結(jié)）1.對一般的隨機事件，在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總是在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時,事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù),在它附近擺動,這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率,記做P(A)＝.一般地，我們可以通過大量的重復(fù)試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率.2.頻率與概率的關(guān)系概率是頻率的穩(wěn)定值,而頻率是概率的近似值.【即學(xué)即練】（小組討論，老師點評）某籃球隊教練記錄該隊一名主力前鋒練習(xí)罰籃的結(jié)果如下：練習(xí)罰籃次數(shù)306090150200300400500罰中次數(shù)274578118161239322401罰中頻率（1）填表（精確到0.001）.（2）比賽中該前鋒隊員上籃得分并造成對手犯規(guī)，罰籃一次，估計這次他能罰中的概率.【解】（1）表格中從左往右依次為0.900，0.750，0.867，0.787，0.805，0.797，0.805，0.802（2）從表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，隨著練習(xí)次數(shù)的增加，該前鋒罰籃命中的頻率穩(wěn)定在0.8左右，所以估計他這次能罰中的概率為0.8.探究點二列表法或樹狀圖法求概率【問題2】小明、小凡和小穎周末都想去看電影，但只有一張電影票.三人決定一起做游戲，誰獲勝誰就去看電影.游戲規(guī)則如下：連續(xù)拋擲兩枚均勻的硬幣，若兩枚硬幣都正面朝上，則小明獲勝；若都反面朝上，則小穎獲勝；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，則小凡獲勝.你認(rèn)為這個游戲公平嗎？活動2（學(xué)生互動，教師點評）讓學(xué)生每人拋擲硬幣（課前準(zhǔn)備好）20次，并記錄每次的試驗結(jié)果，通過觀察自己的結(jié)果說明游戲是否公平.5個學(xué)生為一個小組，把5個人的試驗結(jié)果數(shù)據(jù)匯總，得到小組試驗數(shù)據(jù)100次，然后填入下表：拋擲的結(jié)果兩枚正面朝上兩枚反面朝上一枚正面朝上，一枚反面朝上頻數(shù)頻率依次累計各組的試驗數(shù)據(jù)，得到試驗200次、300次、400次、500次…時的試驗結(jié)果，全班一起填寫上表.通過做試驗讓學(xué)生思考從試驗中有哪些發(fā)現(xiàn).(學(xué)生總結(jié)，教師點評)從試驗中我們發(fā)現(xiàn)，試驗次數(shù)較大時，試驗頻率基本穩(wěn)定，而且在一般情況下，“一枚正面朝上，一枚反面朝上”發(fā)生的概率大于其他兩個事件發(fā)生的概率.所以，這個游戲不公平，它對小凡比較有利.【合作探究】議一議：在上面拋擲硬幣的試驗中，（1）拋擲第一枚硬幣可能出現(xiàn)哪些結(jié)果？它們發(fā)生的可能性是否一樣？（2）拋擲第二枚硬幣可能出現(xiàn)哪些結(jié)果？它們發(fā)生的可能性是否一樣？（3）在第一枚硬幣正面朝上的情況下，拋擲第二枚硬幣可能出現(xiàn)哪些結(jié)果？它們發(fā)生的可能性是否一樣？如果第一枚硬幣反面朝上呢？問題1：上述問題中一次試驗涉及幾個因素？你是用什么方法不重復(fù)、不遺漏地列出所有可能結(jié)果的？先讓學(xué)生討論，然后找學(xué)生代表敘述自己的解答過程，最后教師給出標(biāo)準(zhǔn)答案.總共有4種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.其中，小明獲勝的結(jié)果有1種：（正，正）.所以小明獲勝的概率是14小穎獲勝的結(jié)果有1種：（反，反）.所以小穎獲勝的概率是14小凡獲勝的結(jié)果有2種：（正，反），（反，正）.所以小凡獲勝的概率是24因此，這個游戲?qū)θ耸遣还降?問題2：利用樹狀圖或表格的優(yōu)點是什么？什么時候用樹狀圖比較方便？什么時候用表格比較方便？(學(xué)生總結(jié)，教師點評)當(dāng)試驗包含兩步時，列表和畫樹狀圖都可以，當(dāng)試驗包含三步或三步以上時，畫樹狀圖比較方便.典例講解（學(xué)生交流，老師點評）例1如圖，甲為三等分?jǐn)?shù)字轉(zhuǎn)盤，乙為四等分?jǐn)?shù)字轉(zhuǎn)盤.同時自由轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，用列舉的方法求兩個轉(zhuǎn)盤指針指向的數(shù)字均為奇數(shù)的概率.【解】列表如下：乙甲12341（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）由表格可知，一共有12種等可能的結(jié)果.其中兩個轉(zhuǎn)盤指針指向的數(shù)字均為奇數(shù)的有4種，故P(均為奇數(shù))=＝.【總結(jié)】1.列表法就是把要求的對象用表格一一表示出來分析求解的方法.當(dāng)一次試驗要涉及兩個元素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時,為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用列表的方法.2.當(dāng)一次試驗要涉及兩個以上的元素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時,為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用畫樹狀圖的方法.例2準(zhǔn)備兩組相同的牌，每組兩張，兩張牌的牌面數(shù)字分別是1和2.從每組牌中各摸出一張，稱為一次試驗.(1)一次試驗中兩張牌的牌面數(shù)字之和可能有哪些值？(2)兩張牌的牌面數(shù)字之和等于3的概率是多少？【探索思路】(引發(fā)學(xué)生思考)一張牌有幾種結(jié)果？一次試驗涉及幾個元素？【解】通過畫樹狀圖的方法表示出所有可能的結(jié)果：(1)由樹狀圖可知，兩張牌的牌面數(shù)字之和可能是2,3,4.(2)總共有4種等可能的結(jié)果，兩張牌的牌面數(shù)字之和為3的結(jié)果有2種，因此P(兩張牌的牌面數(shù)字之和等于3)＝＝.【題后總結(jié)】在一次試驗中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果比較多，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，那么我們可以利用樹狀圖或表格不重復(fù)、不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，從而求出某些事件發(fā)生的概率.【即學(xué)即練】【互動】（小組討論）經(jīng)過某十字路口的汽車，它可以繼續(xù)直行，也可以向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn).如果這三種可能性大小相同，則兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全部繼續(xù)直行的概率是()A. B.C. D.【解析】列表如下：第二輛第一輛直左右直(直，直)(直，左)(直，右)左(左，直)(左，左)(左，右)右(右，直)(右，左)(右，右)由表格知，一共有9種等可能的情況，其中兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全部繼續(xù)直行的有一種，所以兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全部繼續(xù)直行的概率是.【答案】A課堂練習(xí)1.“六一”兒童節(jié)，某玩具超市設(shè)立了一個如圖所示的可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，開展抽獎活動.顧客購買玩具就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)獎品.下表是該活動的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù):轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n1001502005008001000落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)m68108140355560690落在“鉛筆”區(qū)域的頻率m0.680.720.700.710.700.69下列說法中不正確的是()A.當(dāng)n很大時，指針落在“鉛筆”區(qū)域的頻率大約是0.70B.假如你去轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率大約是0.70C.如果轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2000次，指針落在“文具盒”區(qū)域的次數(shù)大約有600次D.如果轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤10次，一定有3次獲得文具盒2.兩個正四面體骰子的各面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,若同時投擲這兩個正四面體骰子，則著地的面所得的點數(shù)之和等于5的概率為()A.14 B.316 C.343.把1枚質(zhì)地均勻的普通硬幣重復(fù)擲兩次，落地后兩次都是正面朝上的概率是()A.1 B.12C.134.從1，2，-3三個數(shù)中，隨機抽取兩個數(shù)相乘，積是正數(shù)的概率是()A.0 B.13C.25.現(xiàn)有兩個不透明的袋子，其中一個裝有標(biāo)號分別為1、2的兩個小球，另一個裝有標(biāo)號分別為2、3、4的三個小球，小球除標(biāo)號外其他均相同.從兩個袋子中各隨機摸出1個小球，兩球標(biāo)號恰好相同的概率是()A.12 B.13C.1參考答案1.D【解析】A.由題意知A選項不符合題意；由A可知,轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率大約是0.70，故B選項不符合題意；C.指針落在“文具盒”區(qū)域的概率大約為0.30，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2000次，指針落在“文具盒”區(qū)域的次數(shù)大約有2000×0.3=600(次)，故C選項不符合題意；D.隨機事件，結(jié)果不確定，故D選項符合題意.2.A【解析】同時投擲兩個正四面體骰子，有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，(4,4)共16種結(jié)果，點數(shù)之和等于5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4種情況，所以P(點數(shù)之和等于5)＝＝.3.D【解析】畫樹狀圖如圖所示.∴P(兩次都是正面朝上)=.4.B【解析】隨機從1，2，-3中抽取兩個數(shù)相乘，積的結(jié)果共有1×2=2,1×(-3)=-3,2×(-3)=-6三種，所以積為正數(shù)的概率是.5.D【解析】畫樹狀圖，如圖所示.由圖可知共有6種等可能結(jié)果，其中標(biāo)號相同的只有1種，所以兩球標(biāo)號恰好相同的概率是.課堂小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點評)一、頻率與概率的關(guān)系概率是頻率的穩(wěn)定值,而頻率是概率的近似值.二、用列表法或樹狀圖法求概率（.（3）當(dāng)一次試驗要涉