福建省福州市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測試題 數(shù)學(xué) 含解析

第1頁/共1頁福州三中2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷命題人：高三數(shù)學(xué)集備組審卷人：高三數(shù)學(xué)集備組注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的班級、準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上.2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆書寫作答.若在試題卷上作答，答案無效.第Ⅰ卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出再求即可.【詳解】由題知，，則.故選：B.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因為可得：當(dāng)時，，充分性成立；當(dāng)時，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.3.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計算即可詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.4.已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時，取得最小值，故選：．5.函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是．A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】是奇函數(shù)，故；又是減函數(shù)，，即則有，解得，故選D.6.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊在第三象限.則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對A、B：舉出反例即可得；對C、D：借助三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及其值域計算即可得.【詳解】由題意可得、，，對A：當(dāng)時，，則，，此時，故A錯誤；對B：當(dāng)時，，故B錯誤；對C、D：，由，故，則，即，故C正確，D錯誤.故選：C.7.在正四棱臺中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求解棱臺的高,進(jìn)而根據(jù)相切，由勾股定理求解球半徑，即可由表面積公式求解.【詳解】設(shè)棱臺上下底面的中心為,連接，則，所以棱臺的高,設(shè)球半徑為,根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知：球與上底面相切于,與棱均相切于各邊中點(diǎn)處，設(shè)中點(diǎn)為，連接,所以，解得，所以球的表面積為，故選：C8.已知函數(shù)，，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)函數(shù)，的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，，即該方程有兩個不同的實(shí)根，則設(shè)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性與取值情況，即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：設(shè)函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，且，函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，且，又，則公切線的斜率，則，所以，則公切線方程為，即，代入得：，則，整理得，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則方程有兩個不同的實(shí)根，設(shè)，則，令得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，又可得，則時，；時，，則函數(shù)的大致圖象如下：所以，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的公切線、函數(shù)方程與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大.解決本題的關(guān)鍵是，根據(jù)公切線的幾何意義，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，且，，且，可得，即有，得公切線方程為，代入切點(diǎn)將雙變量方程轉(zhuǎn)化為單變量方程，根據(jù)含參方程進(jìn)行“參變分離”得，轉(zhuǎn)化為一曲一直問題，即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，且，則（）A. B.C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可以判斷A正確；利用等差數(shù)列通項公式可以判斷B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的概念可判斷C，根據(jù)特例可判斷D.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，對A，因為是等差數(shù)列，且，則由等差數(shù)列性質(zhì)可得，故A正確；對B，，則，故B錯誤；對C，因為，則數(shù)列是等差數(shù)列，故C正確；對D，如數(shù)列為，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯誤;故選：AC.10.如圖，在正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等C.平面截正方體所得截面圖形為等腰梯形D.平面將正方體分割成的上、下兩部分的體積之比為【答案】BCD【解析】【分析】假設(shè)平面，證得，顯然不成立，即得A錯誤；證明四點(diǎn)共面，即得截面四邊形，再結(jié)合平行關(guān)系和長度關(guān)系即判斷C正確；利用線面平行的判定定理證明平面，即證B正確；計算分割的上面部分棱臺的體積和正方體體積，即得下面部分體積，證得D正確.【詳解】正方體中，不妨設(shè)棱長為2.假設(shè)平面，則，而底面，則，與相交于平面內(nèi)，所以平面，則，顯然不成立，即選項A錯誤；連接，，由知，四點(diǎn)共面，即為平面截正方體所得截面圖形，而，，故截面圖形為等腰梯形，C正確；由,知四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，故平面，所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，選項B正確；平面將正方體分割的上面部分是棱臺，上底面面積為，下底面面積為，高，所以體積，而正方體體積為，所以分割的下面部分體積，所以，即選項D正確.故選：BCD.11.已知奇函數(shù)的定義域為，，對于任意的正數(shù)，都有，且時，都有，則（）A.B.函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增C.對于任意都有D.不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知應(yīng)用賦值法判斷A選項，結(jié)合奇函數(shù)判斷C選項，根據(jù)單調(diào)性定義判斷B選項，結(jié)合單調(diào)性解不等式判斷D選項.【詳解】已知,令可得,令可得,得,,A選項正確;奇函數(shù)的定義域為,，所以,又知,所以函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)遞增,B選項錯誤;對于任意的正數(shù)，都有，對于任意都有,,,又因為函數(shù)為奇函數(shù)，可得,C選項正確;對于任意的正數(shù)，都有，,又因為,所以,所以,又因為所以,所以,所以函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增,又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增,不等式,,已知,令,因為可得，函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增,所以,已知,令,因為,可得，同理，,又因為函數(shù)為奇函數(shù)，,,又因為函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增,所以不等式的解集為,D選項正確；故選:ACD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡相應(yīng)橫線上.12.已知單位向量，向量，，若，則實(shí)數(shù)λ＝________．【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以故.故答案為：13.直線被圓截得最大弦長為______．【答案】【解析】【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用垂徑定理與勾股定理建立關(guān)系即可得到答案.【詳解】由已知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，解得，所以弦長為，因為，所以，所以弦長，當(dāng)即時，弦長有最大值.故答案為：.14.對于正整數(shù)n，設(shè)是關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根.記，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則____________；設(shè)數(shù)列的前n項和為則___.【答案】①.0②.1010【解析】【分析】（1）當(dāng)時，化簡方程，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，找到函數(shù)零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而求出結(jié)果.（2）令，化簡方程，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，找到零點(diǎn)的范圍，即得范圍，分類討論為奇數(shù)和偶數(shù)時，求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，設(shè)單調(diào)遞減，，，所以，（2）令，則方程化為：令，則在(0,+∞)單調(diào)遞增；由零點(diǎn)存在定理可得：，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以當(dāng)，故答案為：①0；②1010【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、零點(diǎn)存在定理，數(shù)列求和等基本知識，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由的關(guān)系分是否等于1進(jìn)行討論即可求解；（2）首先得，進(jìn)一步結(jié)合錯位相減法以及等比數(shù)列求和公式即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，，兩式相減得，，數(shù)列是以2為首項，2為公比等比數(shù)列，【小問2詳解】由（1）可知，記，，，兩式相減得.16.在中，角的對邊分別為的面積為，已知.（1）求角；（2）若的周長為，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等變換即可求解；(2)由余弦定理及三角形的面積公式得，再由基本不等式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因為，所以，即，由正弦定理，得，因為，所以，因為，所以，所以，又，所以.【小問2詳解】由余弦定理，得，即，所以，即，因為，，所以，所以，又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即的最大值為.17.已知橢圓：的右焦點(diǎn)F在直線上，A，B分別為的左、右頂點(diǎn)，且.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線交C于M，N兩點(diǎn)，使得直線，的斜率之和等于-1？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，.【解析】【分析】（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得出橢圓中的，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)可出答案.（2）設(shè)直線的方程為：，Mx1,y1，N【小問1詳解】設(shè)右焦點(diǎn)Fc,0直線與x軸的交點(diǎn)為1,0，所以橢圓C右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為1,0，故在橢圓C中，由題意，結(jié)合，則，，所以橢圓C的方程為：；【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率為0時，顯然不滿足條件，當(dāng)直線的傾斜角不為時，設(shè)直線的方程為：，Mx1,y1由，可得，由題意Δ=36則，，由，由，即，故存在滿足條件的直線，直線的方程為：.18.如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面.（1）求證：平面平面.（2）求二面角的余弦值.（3）為平面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用余弦定理先證，由面面垂直的性質(zhì)得出，結(jié)合勾股定理及線面垂直的判定證明平面即可；（2）法一、利用二面角的定義結(jié)合第一問得出二面角的一個平面角，再由余弦定理計算即可；法二、以B為中心建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算面面角即可；（3）法一、利用線線垂直、線面垂直的性質(zhì)與判定作出平面，解三角形即可；法二、利用（2）的坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)結(jié)合空間向量基本定理及空間向量數(shù)量積計算求G點(diǎn)坐標(biāo)即可.【小問1詳解】連接，在中，，，則，，，平面平面，，平面平面，平面，平面，所以，在中，,又，∴，在中：，∴，又，平面，平面，且平面，平面平面.【小問2詳解】法一、由上可知：，則二面角的一個平面角為，在中，由余弦定理知；法二、如圖建系：設(shè)軸與交于，過P作與E，設(shè)，則，∴，，解之得，易知，所以，則，設(shè)為平面的一個法向量，則：，令，則，所以，易知是平面一個法向量，設(shè)二面角的一個平面角為，則，由圖形可知該二面角為鈍角，所以；小問3詳解】法一：過作，垂足為，過作，在中，過作，過作，因為平面，所以平面，又平面，所以，而平面，所以平面，即G為所求.分別延長交于，連接，過作，由（1）易知，平面，平面，∴，設(shè)，，∴，則，設(shè)，在平面內(nèi)，由幾何關(guān)系知，所以；法二：?。?）的坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，所以，又：，即，19.設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù).（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時，對任意，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，證明：.（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）答案見解析（2）.（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出，對函數(shù)求導(dǎo)，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）原問題等價于有2個不同的解，然后構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，分析即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，對問題進(jìn)行等價變形，適當(dāng)放縮，利用分析法即可證明結(jié)論.【小問1詳解】因