（基礎(chǔ)版講義）小升初數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)講練測第10講 工程問題（解析）

（基礎(chǔ)版講義）小升初數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)講練測第10講工程問題（解析）（基礎(chǔ)版講義）小升初數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)講練測第10講工程問題（解析）（基礎(chǔ)版講義）小升初數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)講練測第10講工程問題（解析）基礎(chǔ)版（通用）2022-2023學(xué)年小升初數(shù)學(xué)精講精練專題匯編講義第10講工程問題知識精講知識精講工程問題是小升初數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的重點，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補充。工程問題可分為兩大類：一類是已知具體工作量，另一類是未給出具體工作量；本講重點研究沒有具體給出工作量的工程問題。一、基本概念：定義：工程問題是指用分?jǐn)?shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時間和工作效率之間相互關(guān)系的問題1.工作總量:完成某一項工程所需的所有工作的數(shù)量和，常用“1”來表示.2.工作時間：完成工作總量所需的時間。3.工作效率：單位時間內(nèi)完成的工作量，它是衡量一個人工作快慢的量。二、基本關(guān)系：1．一般公式：工作總量＝工作效率×工作時間工作效率＝工作總量÷工作時間工作時間＝工作總量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特別注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作時間不能。2．巧解工程問題：一般不知道工作總量的時候，我們常常用假設(shè)法求解。我們把工作總量假設(shè)為單位“1”，這個巧解方法的公式有：（1）一般給出工作時間，工作效率＝QUOTE1工作時間1工作時間。（2）一般給出工作效率QUOTE1a1a，就可以知道工作時間為a。三、工程問題的類型和常用方法：類型：雙人工程問題多人工程問題周期工程問題水管問題計算工程費用問題方法：基本關(guān)系法，整體轉(zhuǎn)化法、對比分析法、方程法、比例法

提高達(dá)標(biāo)百分練提高達(dá)標(biāo)百分練一、精挑細(xì)選(共5題；每題2分，共10分)1．（2分）（2020六上·舒蘭期末）修一條330米的公路，甲單獨修要5天完成，乙單獨修要6天完成，兩隊合修要多少天完成？列式是（）A．1÷（+）B．330÷（5+6）C．330÷（+）【答案】A【規(guī)范解答】解：1÷（＋）。

故答案為：A?！舅悸伏c撥】兩隊合修完成需要的時間=工作總量÷（甲的工效＋乙的工效）。2．（2分）（2020六上·和平期中）加工64個零件，由師傅單獨做需用4小時，由徒弟單獨做需用8小時，師徒合做需用幾小時?正確的列式是（）.A．64÷4＋64÷8 B．C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：正確的列式是：1÷（＋）

故答案為：C。

【思路點撥】把工作總量看作單位“1”，師徒合做需用的時間=工作總量÷工效和。3．（2分）錄入一篇書稿，甲單獨錄完要小時，乙單獨錄完要小時，甲乙合作（）小時能完成．

A． B． C．【答案】C【規(guī)范解答】1÷（1÷+1÷）＝1÷（3+4）＝1÷7＝故答案為：C。【思路點撥】此題主要考查了工程應(yīng)用題，把錄入這篇書稿的工作總量看作單位“1”，工作總量÷工作時間=工作效率，分別求出甲、乙的工作效率，然后用工作總量÷（甲的工作效率+乙的工作效率）=甲乙合作的時間，據(jù)此列式解答。4．（2分）（2020六上·鞏義期末）挖一條長1200米的水渠．王叔叔每天挖整條水渠的，李叔叔單獨10天可以挖完．兩人合作，幾天挖完？下面列式正確的是（）A．1÷（+）B．1200÷（12+10）C．1200÷（+）【答案】A【規(guī)范解答】1÷（+）＝1÷＝

＝（天）故答案為：A?！舅悸伏c撥】此題主要考查了工程問題，根據(jù)題意，把修這條水渠的工作總量看作單位“1”，用工作總量÷工作時間=工作效率，先求出李叔叔的工作效率，然后用工作總量÷（王叔叔的工作效率+李叔叔的工作效率）=兩人合作的時間，據(jù)此列式解答。5．（2分）（2019六上·微山期中）一項工程，甲隊單獨做4天完成，乙隊單獨做6天完成。兩隊合做幾天可以完成工程的。正確的列式是（）A．B．1÷C．【答案】A【規(guī)范解答】甲隊的工作效率：1÷4=

乙隊的工作效率：1÷6=

合作時間：÷（+）

故答案為：A。

【思路點撥】把一項工程看作單位“1”，應(yīng)用工作總量÷工作時間=工作效率，先分別求出甲乙兩隊的工作效率，最后用合作工作量÷工作效率和=合作時間，據(jù)此代入數(shù)據(jù)即可。二、仔細(xì)想，認(rèn)真填(共10題；每空1分，共17分)6．（1分）（2023六上·紅寺堡期末）一項工程，甲隊單獨做4天可以完成，乙隊單獨做6天可以完成。兩隊合作一起做，天可以完成這項工程。

【答案】【規(guī)范解答】解：1÷（＋）

=1÷

=（天）。

故答案為：?！舅悸伏c撥】兩隊合作完成這項工程需要的天數(shù)=工作總量÷工作效率和。7．（1分）（2023六上·石景山期末）隨著科技的發(fā)展，無人智能配送車已經(jīng)走進(jìn)了我們的生活。某快遞公司正在使用無人智能配送車為客戶配送一批快件，甲配送車單獨配送，6小時可以送完；乙配送車單獨配送，3小時可以送完。如果兩車同時配送，小時送完這批快件。【答案】2【規(guī)范解答】1÷（+）

=1÷

=2（小時）

故答案為：2?！舅悸伏c撥】此題主要考查了工程應(yīng)用題，把工作總量看作單位“1”，工作總量÷工作時間=工作效率，分別求出甲、乙的工作效率，然后用工作總量÷合作的工作效率=合作需要的時間，據(jù)此列式解答。8．（2分）（2022六上·巴州期中）一項工程10天完成，平均每天完成這項工程，完成這項工程的需要天。

【答案】；6【規(guī)范解答】解：1÷10=

÷=6（天）。

故答案為：；6?！舅悸伏c撥】平均每天完成這項工程的分率=單位“1”÷完成需要的天數(shù)；完成這項工程的需要的天數(shù)=÷平均每天完成這項工程的分率。9．（3分）（2022六上·吳興期末）一條180米的公路，如果甲隊單獨修需要10天完成，乙隊單獨修需要15天完成。甲、乙兩隊合作天可以修完；甲、乙兩隊的工作效率之比是：?！敬鸢浮?；3；2【規(guī)范解答】解：1÷（+）=6天，所以甲、乙兩隊合作6天可以修完；甲、乙兩隊的工作效率之比是：=3：2。

故答案為：6；3；2。

【思路點撥】把修這條公路看成單位“1”，那么兩隊合作完成需要的天數(shù)=1÷兩隊每天一共修這條路的幾分之幾；甲隊的工作效率：乙隊的工作效率=（1÷甲隊單獨修需要的天數(shù)）：（1÷乙隊單獨修需要的天數(shù)）。10．（2分）（）一項工程甲獨做8小時完成，乙獨做12小時完成，兩人合做，2小時完成這項工程的，余下的由甲獨做還要小時完成?！敬鸢浮?；【規(guī)范解答】解：1÷8=

1÷12=

（＋）×2

=×2

=

（1-）÷

=÷

=（小時）

故答案為：；。【思路點撥】兩人合做，2小時完成這項工程的分率=（甲的工效＋乙的工效）×工作時間；余下的由甲獨做還需要的時間=（單位“1”-兩人合做，2小時完成的工作總量）÷甲的工效。11．（2分）（2020六上·諸暨期末）加工一批零件，第一小組單獨做需要12小時，同樣的時間第二小組只能完成，第二小組單獨做需要小時，兩個小組合作需要小時。【答案】16；【規(guī)范解答】解：12÷=16（小時）

1÷（＋）

=1÷

=（小時）

故答案為：16；?！舅悸伏c撥】第二小組單獨做需要的時間=第一小組單獨做需要的時間÷；兩個小組合作需要的時間=工作總量÷工效和。12．（1分）（2020六上·南開期中）有一堆貨物，用甲車單獨運15次運完，用乙車單獨運10次運完。如果兩車同時運，次就可以運完?！敬鸢浮?【規(guī)范解答】解：1÷（＋）

=1÷

=6（次）

故答案為：6。

【思路點撥】運完需要的次數(shù)=工作總量÷工效和。13．（1分）加工一批零件，原計劃15天完成，現(xiàn)在工作效率提高了20%?，F(xiàn)在天可以完成?！敬鸢浮?2.5【規(guī)范解答】計劃的工效：1÷15=，

實際的工效：

×（1+20%）

=×120%

=0.08

1÷0.08=12.5（天）

故答案為：12.5。

【思路點撥】此題主要考查了工程應(yīng)用題，把工作總量看作單位“1”，工作總量÷工作時間=工作效率，先求出原來的工作效率，然后用原來的工作效率×（1+20%）=現(xiàn)在的工作效率，最后用工作總量÷現(xiàn)在的工作效率=現(xiàn)在的工作時間，據(jù)此列式解答。14．（2分）（2019六上·江北期末）一項工程，甲隊獨做2天完成，乙隊獨做要9天完成。甲、乙兩隊工作效率的比是；如果兩隊合做，天就能完成工程。【答案】3：2；【規(guī)范解答】解：÷2=；

1÷9=；

：=（×18）：（×18）=3：2；

1÷（＋）

=1÷

=（天）。

故答案為：3：2；。

【思路點撥】甲的工效=甲完成的工作總量÷時間，乙的工效=單位“1”÷工作時間，然后把甲和乙的工效寫成比，并且化簡比；兩隊合作需要的時間=單位“1”÷工效和。15．（2分）（2019六上·海曙期末）挖一條溝渠，甲隊單獨挖要10天完成，乙隊單獨挖要15天完成。甲隊和乙隊的工作效率比是。現(xiàn)在甲乙兩隊一起挖，

天可以完成?！敬鸢浮?：2；6【規(guī)范解答】解：1÷10=；

1÷15=；

：=3：2；

1÷（＋）

=1÷

=6（天）。

故答案為：3：2；6。

【思路點撥】把這條溝渠看作單位“1”，工效=工作總量÷工作時間；甲乙兩隊一起挖，完成需要的時間=工作總量÷（甲的工效＋乙的工效）。三、綜合提升(共2題；共8分)16．（3分）（2020六上·鼓樓期末）只列式不計算．（1）（1分）某工廠去年生產(chǎn)化肥250萬噸，今年比去年增產(chǎn)25萬噸，增產(chǎn)百分之幾？列示：．（2）（1分）六年（1）班今天出勤48人，缺勤2人，今天的出勤率是多少？列示：（3）（1分）單獨修一段長30km的路，甲隊3天完成，乙隊5天完成．兩隊合修幾天修完？列示：．【答案】（1）25÷250（2）48÷（48+2）×100%（3）30÷（30÷3+30÷5）【思路點撥】

）（1）根據(jù)原題可知，要求增產(chǎn)百分之幾，依據(jù)今年比去年增產(chǎn)部分÷去年的產(chǎn)量=增產(chǎn)百分之幾，據(jù)此列式；

（2）根據(jù)出勤率=出勤人數(shù)÷（出勤人數(shù)+缺勤人數(shù)）×100%，據(jù)此列式；

（3）根據(jù)工作總量÷（工作總量÷甲隊單獨修需要的時間+工作總量÷乙隊單獨修需要的時間）=合修需要的時間，據(jù)此列式。17．（5分）（2019六上·襄陽期末）只列式不計算．（1）（1分）每年的3月22日是“世界水日”．我國的水資源人均占有量只有2300立方米，約為世界人均水平的．世界水資源人均占有量是多少立方米？（2）（1分）美國人均淡水資源量約為1.38萬立方米，我國人均淡水資源量僅為美國的．我國我均淡水資源量是多少萬立方米？（3）（1分）2100千克油菜籽可榨油882千克，油菜籽的出油率是多少？（4）（1分）一只掛鐘的分針長20cm，經(jīng)過45分鐘后，分針的尖端所走的路是多少厘米？（5）（1分）一條高速峰山遂洞，如果甲隊單獨修6個月才能打通，如果乙隊單獨修7個月才能打通．如果兩隊合修，幾個月就能打通？【答案】（1）2300÷（2）1.38×（3）×100%（4）3.14×2×20×（45÷60）（5）1÷（+）【思路點撥】（1）根據(jù)條件“我國的水資源人均占有量只有2300立方米，約為世界人均水平的”可知，把世界水資源人均占有量看作單位“1”，要求單位“1”，用除法計算，據(jù)此列式解答；

（2）根據(jù)條件“

美國人均淡水資源量約為1.38萬立方米，我國人均淡水資源量僅為美國的”可知，把美國人均淡水資源量看作單位“1”，求單位“1”的幾分之幾是多少，用乘法計算，據(jù)此列式解答；

（3）此題主要考查了百分率的計算，油菜籽的出油率=榨油的質(zhì)量÷油菜籽的質(zhì)量×100%，據(jù)此列式解答；

（4）此題主要考查了工程應(yīng)用題，把這條路的工作總量看作單位“1”，用工作總量÷合作的工作效率之和=合作的時間，據(jù)此列式解答。四、解答問題(共12題；共65分)18．（5分）（2023六上·增城期末）修一條公路，如果甲隊單獨修，需要20天，如果乙隊單獨修，需要30天?，F(xiàn)在兩隊合修，需要多少天完成？【答案】解：1÷（＋）

=1÷

=12（天）

答：需要12天完成。【思路點撥】現(xiàn)在兩隊合修完成需要的天數(shù)=工作總量÷工作效率的和。19．（5分）（2022六上·龍湖期中）一項工程，甲隊單獨完成需要20天，乙隊單獨完成需要30天。如果甲、乙兩隊一起做這項工程，幾天能完成？【答案】解：1÷（+）

=1÷

=12（天）答：12天能完成?！舅悸伏c撥】乙兩隊一起做這項工程完成需要的天數(shù)=工作總量÷工作效率的和。20．（5分）（2022六上·淮濱期中）修一條長180m的隧道，甲工程隊單獨修需要30天，乙工程隊單獨修需要20天，甲、乙兩隊合修需要多少天修完？【答案】解：180÷30=6（米）

180÷20=9（米）

180÷（6+9）

=180÷15

=12（天）

答：甲、乙兩隊合修需要12天修完。【思路點撥】隧道長度÷修的天數(shù)=每天修的長度，隧道總長÷甲、乙工程隊每天和修的長度=修完需要的天數(shù)。21．（5分）（2022六上·贛州期中）師徒二人加工一批零件，如果單獨加工，師傅8天可以完成，徒弟12天可以完成?，F(xiàn)在師徒二人合作加工，5天可以完成嗎？【答案】解：1÷（+）＝1÷＝4.8（天）4.8＜5答：5天可以完成?！舅悸伏c撥】把這批零件的總數(shù)看作單位“1”，用分子是1的分?jǐn)?shù)分別表示處兩人的工作效率，然后用1除以兩人的工作效率和求出合作完成需要的天數(shù)，再與5天比較后判斷能否完成。22．（7分）（2022六上·奉化期末）請根據(jù)本學(xué)期所學(xué)數(shù)學(xué)知識解釋說明下列現(xiàn)象。（1）（3分）為什么體育比賽中，100米比賽各道起跑線一樣，400米各道起跑線卻不一樣？（2）（4分）在解決“修一條路，一隊單獨修12天完成，二隊單獨修18天完成，兩隊合修幾天完成？”問題時，為什么假設(shè)這條路為36千米和1千米，算出來的答案都是相同的？【答案】（1）解：100米比賽都是直道，各跑道起跑線和終點線一樣；而400米要跑彎道，彎道各跑道長度是不同的。（2）解：36÷（＋）

=36÷5

=7.2（天）

1÷（＋）

=1÷

=7.2（天）

答：兩隊合修7.2天完成?！舅悸伏c撥】（1）400米彎道各跑道長度是不同的，越往外，半徑越大，周長也就越大，因此，400米各道起跑線不一樣；

（2）工作時間=工作總量÷工作效率的和。23．（5分）（2021六上·臨沂期中）加工一批零件，王師傅單獨做需要12小時完成，李師傅單獨加工需要8個小時，兩人合作幾小時可以加工這批零件的一半？【答案】解：1÷12=

1÷8=

（1÷2）÷（＋）

=÷

=2.4（小時）

答：兩人合作2.4小時可以加工這批零件的一半?！舅悸伏c撥】兩人合作加工這批零件的一半需要的時間=工作總量÷2÷工效和；其中，工效=工作總量÷工作時間。24．（5分）小明站著不動乘電動扶梯上樓需30秒，如果在乘電動扶梯的同時小明繼續(xù)向上走需12秒，那么電動扶梯不動時，小明徒步沿扶梯上樓需多少秒？【答案】解：電梯每秒完成，電梯加小明徒步上樓每秒完成，小明徒步上樓每秒完成，所以小明徒步上樓需（秒）。

答：小明徒步沿扶梯上樓需20秒。

【規(guī)范解答】上樓總路程設(shè)為1，電梯速度為1÷30=，小明徒步上樓+電梯的速度為1÷12=，小明徒步上樓速度為：-=，小明徒步上樓的時間：1÷=20（秒）

【思路點撥】此題很類似于”工程問題“，設(shè)總的為單位1，速度就=1÷時間，再利用速度和-一個速度=另一個速度，最后利用時間=路程÷速度，由此得解。25．（5分）（2021六上·磐石期末）某農(nóng)場有一千畝小麥地，采用無人機(jī)噴灑農(nóng)藥，一臺無人機(jī)6小時可以完成，另一臺無人機(jī)10小時可以完成。兩臺無人機(jī)同時工作，幾小時可以噴灑完？【答案】解：÷（+）＝÷＝（小時）答：小時可以噴灑完?！舅悸伏c撥】噴灑完需要的時間=工作總量÷工作效率和。26．（5分）甲、乙兩隊要挖一條水渠，甲隊獨挖要15天完成，乙隊獨挖要12天完成，現(xiàn)在甲隊兩隊合挖4天，還剩下這條水渠的幾分之幾？【答案】解：1-（+)×4=答：還剩水渠的.【思路點撥】把總工作量看作單位“1”，用分?jǐn)?shù)分別表示出兩隊的工作效率，用工作效率和乘4求出完成的工作量，用1減去完成的工作量即可求出還剩下的工作量.27．（5分）（2023六上·渝中期末）

甲、乙兩人合作完成一項工作，由于配合默契，甲的功效比單獨做時提高了，乙的功效比單獨做時提高了，甲、乙合作6小時完成此項工作。已知甲單獨做需要12小時，那么乙單獨做需要多少小時？【答案】解：合作時甲的工作效率：

×（1+）

=×

=

合作時乙的工作效率：-=

乙單獨做時的工作效率：

÷（1+）

=÷

=

乙單獨做需要的時間：1÷=17.5（小時）

答：乙單獨做需要17.5小時。【思路點撥】合作時甲的工作效率是原來的（1+），根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義先求出