（基礎(chǔ)版講義）小升初數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)講練測(cè)第10講 工程問題（解析）

（基礎(chǔ)版講義）小升初數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)講練測(cè)第10講工程問題（解析）（基礎(chǔ)版講義）小升初數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)講練測(cè)第10講工程問題（解析）（基礎(chǔ)版講義）小升初數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)講練測(cè)第10講工程問題（解析）基礎(chǔ)版（通用）2022-2023學(xué)年小升初數(shù)學(xué)精講精練專題匯編講義第10講工程問題知識(shí)精講知識(shí)精講工程問題是小升初數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充。工程問題可分為兩大類：一類是已知具體工作量，另一類是未給出具體工作量；本講重點(diǎn)研究沒有具體給出工作量的工程問題。一、基本概念：定義：工程問題是指用分?jǐn)?shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時(shí)間和工作效率之間相互關(guān)系的問題1.工作總量:完成某一項(xiàng)工程所需的所有工作的數(shù)量和，常用“1”來表示.2.工作時(shí)間：完成工作總量所需的時(shí)間。3.工作效率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成的工作量，它是衡量一個(gè)人工作快慢的量。二、基本關(guān)系：1．一般公式：工作總量＝工作效率×工作時(shí)間工作效率＝工作總量÷工作時(shí)間工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特別注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作時(shí)間不能。2．巧解工程問題：一般不知道工作總量的時(shí)候，我們常常用假設(shè)法求解。我們把工作總量假設(shè)為單位“1”，這個(gè)巧解方法的公式有：（1）一般給出工作時(shí)間，工作效率＝QUOTE1工作時(shí)間1工作時(shí)間。（2）一般給出工作效率QUOTE1a1a，就可以知道工作時(shí)間為a。三、工程問題的類型和常用方法：類型：雙人工程問題多人工程問題周期工程問題水管問題計(jì)算工程費(fèi)用問題方法：基本關(guān)系法，整體轉(zhuǎn)化法、對(duì)比分析法、方程法、比例法

提高達(dá)標(biāo)百分練提高達(dá)標(biāo)百分練一、精挑細(xì)選(共5題；每題2分，共10分)1．（2分）（2020六上·舒蘭期末）修一條330米的公路，甲單獨(dú)修要5天完成，乙單獨(dú)修要6天完成，兩隊(duì)合修要多少天完成？列式是（）A．1÷（+）B．330÷（5+6）C．330÷（+）【答案】A【規(guī)范解答】解：1÷（＋）。

故答案為：A?！舅悸伏c(diǎn)撥】?jī)申?duì)合修完成需要的時(shí)間=工作總量÷（甲的工效＋乙的工效）。2．（2分）（2020六上·和平期中）加工64個(gè)零件，由師傅單獨(dú)做需用4小時(shí)，由徒弟單獨(dú)做需用8小時(shí)，師徒合做需用幾小時(shí)?正確的列式是（）.A．64÷4＋64÷8 B．C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：正確的列式是：1÷（＋）

故答案為：C。

【思路點(diǎn)撥】把工作總量看作單位“1”，師徒合做需用的時(shí)間=工作總量÷工效和。3．（2分）錄入一篇書稿，甲單獨(dú)錄完要小時(shí)，乙單獨(dú)錄完要小時(shí)，甲乙合作（）小時(shí)能完成．

A． B． C．【答案】C【規(guī)范解答】1÷（1÷+1÷）＝1÷（3+4）＝1÷7＝故答案為：C?！舅悸伏c(diǎn)撥】此題主要考查了工程應(yīng)用題，把錄入這篇書稿的工作總量看作單位“1”，工作總量÷工作時(shí)間=工作效率，分別求出甲、乙的工作效率，然后用工作總量÷（甲的工作效率+乙的工作效率）=甲乙合作的時(shí)間，據(jù)此列式解答。4．（2分）（2020六上·鞏義期末）挖一條長(zhǎng)1200米的水渠．王叔叔每天挖整條水渠的，李叔叔單獨(dú)10天可以挖完．兩人合作，幾天挖完？下面列式正確的是（）A．1÷（+）B．1200÷（12+10）C．1200÷（+）【答案】A【規(guī)范解答】1÷（+）＝1÷＝

＝（天）故答案為：A?！舅悸伏c(diǎn)撥】此題主要考查了工程問題，根據(jù)題意，把修這條水渠的工作總量看作單位“1”，用工作總量÷工作時(shí)間=工作效率，先求出李叔叔的工作效率，然后用工作總量÷（王叔叔的工作效率+李叔叔的工作效率）=兩人合作的時(shí)間，據(jù)此列式解答。5．（2分）（2019六上·微山期中）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做4天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做6天完成。兩隊(duì)合做幾天可以完成工程的。正確的列式是（）A．B．1÷C．【答案】A【規(guī)范解答】甲隊(duì)的工作效率：1÷4=

乙隊(duì)的工作效率：1÷6=

合作時(shí)間：÷（+）

故答案為：A。

【思路點(diǎn)撥】把一項(xiàng)工程看作單位“1”，應(yīng)用工作總量÷工作時(shí)間=工作效率，先分別求出甲乙兩隊(duì)的工作效率，最后用合作工作量÷工作效率和=合作時(shí)間，據(jù)此代入數(shù)據(jù)即可。二、仔細(xì)想，認(rèn)真填(共10題；每空1分，共17分)6．（1分）（2023六上·紅寺堡期末）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做4天可以完成，乙隊(duì)單獨(dú)做6天可以完成。兩隊(duì)合作一起做，天可以完成這項(xiàng)工程。

【答案】【規(guī)范解答】解：1÷（＋）

=1÷

=（天）。

故答案為：?！舅悸伏c(diǎn)撥】?jī)申?duì)合作完成這項(xiàng)工程需要的天數(shù)=工作總量÷工作效率和。7．（1分）（2023六上·石景山期末）隨著科技的發(fā)展，無人智能配送車已經(jīng)走進(jìn)了我們的生活。某快遞公司正在使用無人智能配送車為客戶配送一批快件，甲配送車單獨(dú)配送，6小時(shí)可以送完；乙配送車單獨(dú)配送，3小時(shí)可以送完。如果兩車同時(shí)配送，小時(shí)送完這批快件。【答案】2【規(guī)范解答】1÷（+）

=1÷

=2（小時(shí)）

故答案為：2?！舅悸伏c(diǎn)撥】此題主要考查了工程應(yīng)用題，把工作總量看作單位“1”，工作總量÷工作時(shí)間=工作效率，分別求出甲、乙的工作效率，然后用工作總量÷合作的工作效率=合作需要的時(shí)間，據(jù)此列式解答。8．（2分）（2022六上·巴州期中）一項(xiàng)工程10天完成，平均每天完成這項(xiàng)工程，完成這項(xiàng)工程的需要天。

【答案】；6【規(guī)范解答】解：1÷10=

÷=6（天）。

故答案為：；6?！舅悸伏c(diǎn)撥】平均每天完成這項(xiàng)工程的分率=單位“1”÷完成需要的天數(shù)；完成這項(xiàng)工程的需要的天數(shù)=÷平均每天完成這項(xiàng)工程的分率。9．（3分）（2022六上·吳興期末）一條180米的公路，如果甲隊(duì)單獨(dú)修需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修需要15天完成。甲、乙兩隊(duì)合作天可以修完；甲、乙兩隊(duì)的工作效率之比是：?！敬鸢浮?；3；2【規(guī)范解答】解：1÷（+）=6天，所以甲、乙兩隊(duì)合作6天可以修完；甲、乙兩隊(duì)的工作效率之比是：=3：2。

故答案為：6；3；2。

【思路點(diǎn)撥】把修這條公路看成單位“1”，那么兩隊(duì)合作完成需要的天數(shù)=1÷兩隊(duì)每天一共修這條路的幾分之幾；甲隊(duì)的工作效率：乙隊(duì)的工作效率=（1÷甲隊(duì)單獨(dú)修需要的天數(shù)）：（1÷乙隊(duì)單獨(dú)修需要的天數(shù)）。10．（2分）（）一項(xiàng)工程甲獨(dú)做8小時(shí)完成，乙獨(dú)做12小時(shí)完成，兩人合做，2小時(shí)完成這項(xiàng)工程的，余下的由甲獨(dú)做還要小時(shí)完成。【答案】；【規(guī)范解答】解：1÷8=

1÷12=

（＋）×2

=×2

=

（1-）÷

=÷

=（小時(shí)）

故答案為：；。【思路點(diǎn)撥】?jī)扇撕献觯?小時(shí)完成這項(xiàng)工程的分率=（甲的工效＋乙的工效）×工作時(shí)間；余下的由甲獨(dú)做還需要的時(shí)間=（單位“1”-兩人合做，2小時(shí)完成的工作總量）÷甲的工效。11．（2分）（2020六上·諸暨期末）加工一批零件，第一小組單獨(dú)做需要12小時(shí)，同樣的時(shí)間第二小組只能完成，第二小組單獨(dú)做需要小時(shí)，兩個(gè)小組合作需要小時(shí)。【答案】16；【規(guī)范解答】解：12÷=16（小時(shí)）

1÷（＋）

=1÷

=（小時(shí)）

故答案為：16；?！舅悸伏c(diǎn)撥】第二小組單獨(dú)做需要的時(shí)間=第一小組單獨(dú)做需要的時(shí)間÷；兩個(gè)小組合作需要的時(shí)間=工作總量÷工效和。12．（1分）（2020六上·南開期中）有一堆貨物，用甲車單獨(dú)運(yùn)15次運(yùn)完，用乙車單獨(dú)運(yùn)10次運(yùn)完。如果兩車同時(shí)運(yùn)，次就可以運(yùn)完?！敬鸢浮?【規(guī)范解答】解：1÷（＋）

=1÷

=6（次）

故答案為：6。

【思路點(diǎn)撥】運(yùn)完需要的次數(shù)=工作總量÷工效和。13．（1分）加工一批零件，原計(jì)劃15天完成，現(xiàn)在工作效率提高了20%。現(xiàn)在天可以完成。【答案】12.5【規(guī)范解答】計(jì)劃的工效：1÷15=，

實(shí)際的工效：

×（1+20%）

=×120%

=0.08

1÷0.08=12.5（天）

故答案為：12.5。

【思路點(diǎn)撥】此題主要考查了工程應(yīng)用題，把工作總量看作單位“1”，工作總量÷工作時(shí)間=工作效率，先求出原來的工作效率，然后用原來的工作效率×（1+20%）=現(xiàn)在的工作效率，最后用工作總量÷現(xiàn)在的工作效率=現(xiàn)在的工作時(shí)間，據(jù)此列式解答。14．（2分）（2019六上·江北期末）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做2天完成，乙隊(duì)獨(dú)做要9天完成。甲、乙兩隊(duì)工作效率的比是；如果兩隊(duì)合做，天就能完成工程?！敬鸢浮?：2；【規(guī)范解答】解：÷2=；

1÷9=；

：=（×18）：（×18）=3：2；

1÷（＋）

=1÷

=（天）。

故答案為：3：2；。

【思路點(diǎn)撥】甲的工效=甲完成的工作總量÷時(shí)間，乙的工效=單位“1”÷工作時(shí)間，然后把甲和乙的工效寫成比，并且化簡(jiǎn)比；兩隊(duì)合作需要的時(shí)間=單位“1”÷工效和。15．（2分）（2019六上·海曙期末）挖一條溝渠，甲隊(duì)單獨(dú)挖要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)挖要15天完成。甲隊(duì)和乙隊(duì)的工作效率比是?，F(xiàn)在甲乙兩隊(duì)一起挖，

天可以完成?！敬鸢浮?：2；6【規(guī)范解答】解：1÷10=；

1÷15=；

：=3：2；

1÷（＋）

=1÷

=6（天）。

故答案為：3：2；6。

【思路點(diǎn)撥】把這條溝渠看作單位“1”，工效=工作總量÷工作時(shí)間；甲乙兩隊(duì)一起挖，完成需要的時(shí)間=工作總量÷（甲的工效＋乙的工效）。三、綜合提升(共2題；共8分)16．（3分）（2020六上·鼓樓期末）只列式不計(jì)算．（1）（1分）某工廠去年生產(chǎn)化肥250萬噸，今年比去年增產(chǎn)25萬噸，增產(chǎn)百分之幾？列示：．（2）（1分）六年（1）班今天出勤48人，缺勤2人，今天的出勤率是多少？列示：（3）（1分）單獨(dú)修一段長(zhǎng)30km的路，甲隊(duì)3天完成，乙隊(duì)5天完成．兩隊(duì)合修幾天修完？列示：．【答案】（1）25÷250（2）48÷（48+2）×100%（3）30÷（30÷3+30÷5）【思路點(diǎn)撥】

）（1）根據(jù)原題可知，要求增產(chǎn)百分之幾，依據(jù)今年比去年增產(chǎn)部分÷去年的產(chǎn)量=增產(chǎn)百分之幾，據(jù)此列式；

（2）根據(jù)出勤率=出勤人數(shù)÷（出勤人數(shù)+缺勤人數(shù)）×100%，據(jù)此列式；

（3）根據(jù)工作總量÷（工作總量÷甲隊(duì)單獨(dú)修需要的時(shí)間+工作總量÷乙隊(duì)單獨(dú)修需要的時(shí)間）=合修需要的時(shí)間，據(jù)此列式。17．（5分）（2019六上·襄陽期末）只列式不計(jì)算．（1）（1分）每年的3月22日是“世界水日”．我國的水資源人均占有量只有2300立方米，約為世界人均水平的．世界水資源人均占有量是多少立方米？（2）（1分）美國人均淡水資源量約為1.38萬立方米，我國人均淡水資源量?jī)H為美國的．我國我均淡水資源量是多少萬立方米？（3）（1分）2100千克油菜籽可榨油882千克，油菜籽的出油率是多少？（4）（1分）一只掛鐘的分針長(zhǎng)20cm，經(jīng)過45分鐘后，分針的尖端所走的路是多少厘米？（5）（1分）一條高速峰山遂洞，如果甲隊(duì)單獨(dú)修6個(gè)月才能打通，如果乙隊(duì)單獨(dú)修7個(gè)月才能打通．如果兩隊(duì)合修，幾個(gè)月就能打通？【答案】（1）2300÷（2）1.38×（3）×100%（4）3.14×2×20×（45÷60）（5）1÷（+）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)條件“我國的水資源人均占有量只有2300立方米，約為世界人均水平的”可知，把世界水資源人均占有量看作單位“1”，要求單位“1”，用除法計(jì)算，據(jù)此列式解答；

（2）根據(jù)條件“

美國人均淡水資源量約為1.38萬立方米，我國人均淡水資源量?jī)H為美國的”可知，把美國人均淡水資源量看作單位“1”，求單位“1”的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算，據(jù)此列式解答；

（3）此題主要考查了百分率的計(jì)算，油菜籽的出油率=榨油的質(zhì)量÷油菜籽的質(zhì)量×100%，據(jù)此列式解答；

（4）此題主要考查了工程應(yīng)用題，把這條路的工作總量看作單位“1”，用工作總量÷合作的工作效率之和=合作的時(shí)間，據(jù)此列式解答。四、解答問題(共12題；共65分)18．（5分）（2023六上·增城期末）修一條公路，如果甲隊(duì)單獨(dú)修，需要20天，如果乙隊(duì)單獨(dú)修，需要30天?，F(xiàn)在兩隊(duì)合修，需要多少天完成？【答案】解：1÷（＋）

=1÷

=12（天）

答：需要12天完成?！舅悸伏c(diǎn)撥】現(xiàn)在兩隊(duì)合修完成需要的天數(shù)=工作總量÷工作效率的和。19．（5分）（2022六上·龍湖期中）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)完成需要20天，乙隊(duì)單獨(dú)完成需要30天。如果甲、乙兩隊(duì)一起做這項(xiàng)工程，幾天能完成？【答案】解：1÷（+）

=1÷

=12（天）答：12天能完成。【思路點(diǎn)撥】乙兩隊(duì)一起做這項(xiàng)工程完成需要的天數(shù)=工作總量÷工作效率的和。20．（5分）（2022六上·淮濱期中）修一條長(zhǎng)180m的隧道，甲工程隊(duì)單獨(dú)修需要30天，乙工程隊(duì)單獨(dú)修需要20天，甲、乙兩隊(duì)合修需要多少天修完？【答案】解：180÷30=6（米）

180÷20=9（米）

180÷（6+9）

=180÷15

=12（天）

答：甲、乙兩隊(duì)合修需要12天修完?！舅悸伏c(diǎn)撥】隧道長(zhǎng)度÷修的天數(shù)=每天修的長(zhǎng)度，隧道總長(zhǎng)÷甲、乙工程隊(duì)每天和修的長(zhǎng)度=修完需要的天數(shù)。21．（5分）（2022六上·贛州期中）師徒二人加工一批零件，如果單獨(dú)加工，師傅8天可以完成，徒弟12天可以完成?，F(xiàn)在師徒二人合作加工，5天可以完成嗎？【答案】解：1÷（+）＝1÷＝4.8（天）4.8＜5答：5天可以完成。【思路點(diǎn)撥】把這批零件的總數(shù)看作單位“1”，用分子是1的分?jǐn)?shù)分別表示處兩人的工作效率，然后用1除以兩人的工作效率和求出合作完成需要的天數(shù)，再與5天比較后判斷能否完成。22．（7分）（2022六上·奉化期末）請(qǐng)根據(jù)本學(xué)期所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解釋說明下列現(xiàn)象。（1）（3分）為什么體育比賽中，100米比賽各道起跑線一樣，400米各道起跑線卻不一樣？（2）（4分）在解決“修一條路，一隊(duì)單獨(dú)修12天完成，二隊(duì)單獨(dú)修18天完成，兩隊(duì)合修幾天完成？”問題時(shí)，為什么假設(shè)這條路為36千米和1千米，算出來的答案都是相同的？【答案】（1）解：100米比賽都是直道，各跑道起跑線和終點(diǎn)線一樣；而400米要跑彎道，彎道各跑道長(zhǎng)度是不同的。（2）解：36÷（＋）

=36÷5

=7.2（天）

1÷（＋）

=1÷

=7.2（天）

答：兩隊(duì)合修7.2天完成?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）400米彎道各跑道長(zhǎng)度是不同的，越往外，半徑越大，周長(zhǎng)也就越大，因此，400米各道起跑線不一樣；

（2）工作時(shí)間=工作總量÷工作效率的和。23．（5分）（2021六上·臨沂期中）加工一批零件，王師傅單獨(dú)做需要12小時(shí)完成，李師傅單獨(dú)加工需要8個(gè)小時(shí)，兩人合作幾小時(shí)可以加工這批零件的一半？【答案】解：1÷12=

1÷8=

（1÷2）÷（＋）

=÷

=2.4（小時(shí)）

答：兩人合作2.4小時(shí)可以加工這批零件的一半?！舅悸伏c(diǎn)撥】?jī)扇撕献骷庸み@批零件的一半需要的時(shí)間=工作總量÷2÷工效和；其中，工效=工作總量÷工作時(shí)間。24．（5分）小明站著不動(dòng)乘電動(dòng)扶梯上樓需30秒，如果在乘電動(dòng)扶梯的同時(shí)小明繼續(xù)向上走需12秒，那么電動(dòng)扶梯不動(dòng)時(shí)，小明徒步沿扶梯上樓需多少秒？【答案】解：電梯每秒完成，電梯加小明徒步上樓每秒完成，小明徒步上樓每秒完成，所以小明徒步上樓需（秒）。

答：小明徒步沿扶梯上樓需20秒。

【規(guī)范解答】上樓總路程設(shè)為1，電梯速度為1÷30=，小明徒步上樓+電梯的速度為1÷12=，小明徒步上樓速度為：-=，小明徒步上樓的時(shí)間：1÷=20（秒）

【思路點(diǎn)撥】此題很類似于”工程問題“，設(shè)總的為單位1，速度就=1÷時(shí)間，再利用速度和-一個(gè)速度=另一個(gè)速度，最后利用時(shí)間=路程÷速度，由此得解。25．（5分）（2021六上·磐石期末）某農(nóng)場(chǎng)有一千畝小麥地，采用無人機(jī)噴灑農(nóng)藥，一臺(tái)無人機(jī)6小時(shí)可以完成，另一臺(tái)無人機(jī)10小時(shí)可以完成。兩臺(tái)無人機(jī)同時(shí)工作，幾小時(shí)可以噴灑完？【答案】解：÷（+）＝÷＝（小時(shí)）答：小時(shí)可以噴灑完。【思路點(diǎn)撥】噴灑完需要的時(shí)間=工作總量÷工作效率和。26．（5分）甲、乙兩隊(duì)要挖一條水渠，甲隊(duì)獨(dú)挖要15天完成，乙隊(duì)獨(dú)挖要12天完成，現(xiàn)在甲隊(duì)兩隊(duì)合挖4天，還剩下這條水渠的幾分之幾？【答案】解：1-（+)×4=答：還剩水渠的.【思路點(diǎn)撥】把總工作量看作單位“1”，用分?jǐn)?shù)分別表示出兩隊(duì)的工作效率，用工作效率和乘4求出完成的工作量，用1減去完成的工作量即可求出還剩下的工作量.27．（5分）（2023六上·渝中期末）

甲、乙兩人合作完成一項(xiàng)工作，由于配合默契，甲的功效比單獨(dú)做時(shí)提高了，乙的功效比單獨(dú)做時(shí)提高了，甲、乙合作6小時(shí)完成此項(xiàng)工作。已知甲單獨(dú)做需要12小時(shí)，那么乙單獨(dú)做需要多少小時(shí)？【答案】解：合作時(shí)甲的工作效率：

×（1+）

=×

=

合作時(shí)乙的工作效率：-=

乙單獨(dú)做時(shí)的工作效率：

÷（1+）

=÷

=

乙單獨(dú)做需要的時(shí)間：1÷=17.5（小時(shí)）

答：乙單獨(dú)做需要17.5小時(shí)?！舅悸伏c(diǎn)撥】合作時(shí)甲的工作效率是原來的（1+），根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義先求出