數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案：角的概念的推廣

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2角的概念的推廣問題導(dǎo)學(xué)1．角的概念的理解活動(dòng)與探究1時(shí)鐘走了3小時(shí)20分,則分針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為多少？時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為多少？遷移與應(yīng)用已知A＝{銳角}，B＝｛α｜0°≤α＜90°｝，C＝{第一象限角｝，D＝｛小于90°的角}，求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D．對推廣后角的概念的理解．（1)緊緊抓住“旋轉(zhuǎn)”二字，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看角．(2）結(jié)合實(shí)際意義明確角的概念經(jīng)過推廣后，角的范圍不再局限于0°～360°，而是包括正角、負(fù)角和零角．(3)正確理解正角、負(fù)角和零角的概念，既要注意始邊位置和旋轉(zhuǎn)量，又要注意旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針、順時(shí)針，還是沒有轉(zhuǎn)動(dòng)．2．終邊相同的角及象限角活動(dòng)與探究2已知α＝－1910°．（1）把α寫成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第幾象限的角；(2）求θ，使θ與α的終邊相同，且－720°≤θ＜0°．遷移與應(yīng)用將下列各角表示為k·360°＋α(k∈Z，0°≤α＜360°)的形式，并指出是第幾象限角．（1）－1840°;(2)1690°．終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍．判定一個(gè)角在第幾象限,只要找與它終邊相同的0°～360°范圍內(nèi)的角,這個(gè)0°~360°范圍內(nèi)的角所在象限即為所求．3．區(qū)域角的表示活動(dòng)與探究3如圖所示,寫出終邊落在陰影部分(實(shí)線包括邊界，虛線不包括邊界)的角的集合．遷移與應(yīng)用如圖所示,寫出終邊落在圖中陰影部分(實(shí)線包括邊界，虛線不包括邊界)的角的集合．區(qū)域角及其表示方法區(qū)域角是指終邊落在平面直角坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角．其寫法可分為三步：（1)先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°到360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α＜x＜β}；(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)把起始、終止邊界對應(yīng)角α、β加上k·360°（k∈Z）．特別地,如“活動(dòng)與探究3”中，若是對頂區(qū)域，如圖②，可用一個(gè)表達(dá)式表示：先在一個(gè)陰影中找出區(qū)間角如[45°，90°］,然后再在兩邊加上n×180°(n∈Z)即可；若區(qū)域包括了x軸非負(fù)半軸,則可由負(fù)角到正角，如圖③，兩邊再加上k×360°(k∈Z)．4．已知α角所在的象限,判斷角eq\f(α，2）的終邊所在的位置活動(dòng)與探究4已知角α是第二象限角,試判斷角eq\f（α，2）是第幾象限角．遷移與應(yīng)用已知角α是第一象限角,試判斷2α，eq\f(α，2）是第幾象限角．與象限角有關(guān)的角的范圍求法：（1)解決與象限角有關(guān)的角的范圍問題時(shí)，必須熟練掌握各象限角的表示，第一象限角：{α｜k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z｝第二象限角：｛α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}第三象限角：{α｜180°＋k×360°＜α＜270°＋k×360°,k∈Z}第四象限角：{α|270°＋k×360°＜α＜360°＋k×360°，k∈Z}（2）已知α角所在的象限,確定eq\f（α,2）所在象限,方法一：是將k分為2n,2n＋1這兩種情況討論分析，再進(jìn)行判斷;方法二：作出各個(gè)象限的角平分線，它們與坐標(biāo)軸把周角等分成8個(gè)區(qū)域，從x軸的非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針方向把這8個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上號(hào)碼1、2、3、4,則標(biāo)號(hào)是幾的兩個(gè)區(qū)域,就是α為第幾象限角時(shí)，eq\f（α,2)終邊落在的區(qū)域,即eq\f（α，2)所在的象限就可以直觀地看出，如圖所示．當(dāng)堂檢測1．已知α是第四象限角,則eq\f（α，2)是（）．A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第二或第四象限角D．第三或第四象限角2．給出下列四個(gè)命題:①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角;③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中正確的命題有()．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3．與405°角終邊相同的角是()．A．k·360°－45°,k∈ZB．k·360°－405°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°,k∈Z4．(1）一個(gè)30°的角，將其終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)三周，則旋轉(zhuǎn)后的角是________．(2）若時(shí)鐘走過2小時(shí)40分,則分針轉(zhuǎn)過的角度是________．5．終邊在第一、三象限角平分線上的角的集合為________;終邊在第二、四象限角平分線上的角的集合為________．提示：用最精煉的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來并進(jìn)行識(shí)記。答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1．一條射線端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)2．(1）逆時(shí)針順時(shí)針沒有作任何旋轉(zhuǎn)(2）原點(diǎn)終邊（除端點(diǎn)外)3．原點(diǎn)終邊（除端點(diǎn)外）預(yù)習(xí)交流1(1)略(2)一三四3．S＝｛β|β＝α＋k×360°，k∈Z｝整數(shù)預(yù)習(xí)交流2(1）D（2）{α｜α＝20°＋k·360°，k∈Z}課堂合作探究【問題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究1分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為－1200°;時(shí)針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為－100°遷移與應(yīng)用解：A∩B＝｛α|0°＜α＜90°}，A∪C＝｛α｜k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z}，C∩D＝｛α|k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z,k≤0｝，A∪D＝{α|α＜90°}．活動(dòng)與探究2解：（1)－1910°＝－6×360°＋250°，其中β＝250°，k＝－6，從而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．（2)令θ＝250°＋k×360°（k∈Z)，取k＝－1，－2就得到滿足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°。所以θ為－110°，－470°。遷移與應(yīng)用解：（1）－1840°＝－6×360°＋320°，故－1840°是第四象限角．（2)1690°＝4×360°＋250°,故1690°是第三象限角．活動(dòng)與探究3圖①中S＝{α|60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°，k∈Z}．圖②中S＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z}．圖③中S＝{α|－30°＋k×360°＜α＜30°＋k×360°，k∈Z}．遷移與應(yīng)用解:終邊落在第二象限內(nèi)陰影部分中的角的集合可表示為{x｜k×360°＋135°＜x≤k×360°＋180°,k∈Z}，終邊落在第四象限內(nèi)陰影部分中的角的集合可表示為{x|k×360°－15°≤x≤k×360°，k∈Z｝，∴終邊落在陰影部分的角的集合可表示為{x｜k×360°＋135°＜x≤k×360°＋180°或－15°＋k×360°≤x≤k×360°，k∈Z｝．活動(dòng)與探究4解法一：（分類討論法）∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.∵k×180°＋45°＜eq\f（α,2)＜k×180°＋90°，k∈Z，∴當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)，n×360°＋45°＜eq\f（α，2)＜n×360°＋90°，即角eq\f(α，2）是第一象限角；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，n×360°＋225°＜eq\f（α,2)＜n×360°＋270°，即角eq\f（α,2)是第三象限角．∴角eq\f(α,2）的終邊落在第一或第三象限．解法二：（幾何法）先將各象限二等分，從x軸非負(fù)半軸起,按逆時(shí)針方向依次將各區(qū)域標(biāo)上1，2，3,4,標(biāo)有2的區(qū)域即為角eq\f（α,2）