數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.3。2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1．借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示的意義．2．了解向量與坐標(biāo)的關(guān)系，會求給定向量的坐標(biāo)．1．平面向量的正交分解把一個平面向量分解為兩個互相______的向量，叫做平面向量的正交分解．【做一做1】如圖所示，在矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O,下列是正交分解的是(）A。eq\o（AB,\s\up6(→）)＝eq\o(OB，\s\up6(→)）－eq\o（OA,\s\up6（→）) B.eq\o（BD,\s\up6（→））＝eq\o（AD，\s\up6（→)）－eq\o(AB，\s\up6（→）) C。eq\o(AD,\s\up6(→)）＝eq\o（AB,\s\up6（→））＋eq\o(BD，\s\up6(→)） D.eq\o（AB，\s\up6(→))＝eq\o(AC，\s\up6（→))＋eq\o（CB，\s\up6(→)）2．平面向量的坐標(biāo)表示(1)基底:在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向______的兩個______向量i,j作為______．（2）坐標(biāo):對于平面內(nèi)的一個向量a,__________對實(shí)數(shù)x，y,使得a＝xi＋yj，我們把有序?qū)崝?shù)對______叫做向量a的坐標(biāo),記作a＝（x，y），其中x叫做向量a在____軸上的坐標(biāo)，y叫做向量a在____軸上的坐標(biāo)．(3）坐標(biāo)表示：a＝（x，y）就叫做向量的坐標(biāo)表示．(4）特殊向量的坐標(biāo):i＝______，j＝______,0＝______.【做一做2】已知基向量i＝(1，0)，j＝（0，1)，m＝4i－j，則m的坐標(biāo)是（)A．（4,1) B．（－4，1） C．(4，－1) D．(－4,－1）3．向量與坐標(biāo)的關(guān)系設(shè)eq\o(OA，\s\up6(→））＝xi＋yj，則向量eq\o（OA,\s\up6(→）)的坐標(biāo)______就是終點(diǎn)A的坐標(biāo);反過來，終點(diǎn)A的______就是向量eq\o(OA，\s\up6(→）)的坐標(biāo)（x，y）．因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對唯一表示．即以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量與實(shí)數(shù)對是________的．向量的坐標(biāo)和這個向量終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同．當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)時，向量的坐標(biāo)和這個向量終點(diǎn)的坐標(biāo)才相同．【做一做3】平面直角坐標(biāo)系中，任意向量m的坐標(biāo)有________個．答案：1．垂直【做一做1】B由于eq\o(AD,\s\up6（→）)⊥eq\o(AB,\s\up6（→)），則eq\o（BD,\s\up6(→）)＝eq\o(AD,\s\up6（→））－eq\o(AB,\s\up6（→））是正交分解．2．(1）相同單位基底(2）有且只有一（x，y）xy（4)（1，0)(0，1）(0,0)【做一做2】C3．(x,y）坐標(biāo)一一對應(yīng)【做一做3】1由于向量和有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的,則任意向量m的坐標(biāo)僅有1個．1．向量的表示法剖析：向量的表示方法有三種：①字母表示法：用一個小寫的英文字母來表示,例如向量a；也可以用上面加箭頭的兩個大寫英文字母來表示，例如向量eq\o(AB，\s\up6（→)），該向量的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B。②幾何表示法：用有向線段來表示．③代數(shù)表示法：用坐標(biāo)表示．2．點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的聯(lián)系與區(qū)別剖析：(1)表示形式不同，向量a＝(x,y）中間用等號連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x,y)中間沒有等號．(2）意義不同,點(diǎn)A(x，y)的坐標(biāo)(x，y）表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a＝(x，y）的坐標(biāo)(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x,y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時應(yīng)指明點(diǎn)（x，y）或向量a＝（x,y)．（3)聯(lián)系:當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同．題型一求向量的坐標(biāo)【例1】如圖所示，已知點(diǎn)M（1,2)，N(5，4），試求eq\o（MN,\s\up6（→)）的坐標(biāo)．分析：用基底i和j表示eq\o(MN,\s\up6（→）)＝xi＋yj,則（x，y)是eq\o（MN,\s\up6（→））的坐標(biāo)．反思：向量a的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置沒有關(guān)系，只與其相對位置有關(guān)系．特別地,M(x1,y1），N（x2,y2），則eq\o（MN,\s\up6(→)）＝（x2－x1，y2－y1)．題型二由向量共線求參數(shù)值【例2】設(shè)a，b是兩個不共線的非零向量，若向量ka＋b與2a＋kb共線,求實(shí)數(shù)k的值反思：解答由向量共線求參數(shù)值的題目，應(yīng)由向量共線定理：λa＋μb＝0（a，b不共線)，則λ＝0,μ＝0列出方程組,再解方程組得參數(shù)值．題型三平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示【例3】已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，｜OA｜＝4eq\r（3），∠xOA＝60°，求向量eq\o(OA，\s\up6(→)）的坐標(biāo)．反思：求向量的坐標(biāo)時，將向量的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)后，利用三角知識求出終點(diǎn)坐標(biāo)即可．答案：【例1】解：分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，則eq\o（MN,\s\up6（→）)＝4i＋2j，所以eq\o（MN,\s\up6(→)）的坐標(biāo)是(4,2）．【例2】解：∵向量ka＋b與2a＋kb∴存在實(shí)數(shù)λ使ka＋b＝λ（2a＋kb）即(k－2λ)a＝（kλ－1）b.∵a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（k－2λ＝0,，kλ－1＝0）)k2＝2?！鄈＝±eq\r(2).【例3】解：設(shè)點(diǎn)A（x,y），則x＝|eq\o(OA，\s\up6(→））|cos60°＝2eq\r（3），y＝｜eq\o（OA,\s\up6(→）)|sin60°＝6，即A(2eq\r（3）,6），∴eq\o（OA,\s\up6(→）)＝(2eq\r(3），6)．1．已知a＝（3,2x－1)，b＝（y＋1,x)，且a＝b，則xy＝________.2．如圖所示，向量的坐標(biāo)是________．3．在直角坐標(biāo)系中，|a|＝4，|b|＝3，a,b如圖所示，求它們的坐標(biāo)．答案：1．2∵a＝b，∴解得x＝1，y＝